精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

华清中学高二年级上学期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：张胜利 校对人：黄红艳 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 圆圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 6. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C ＋＝1 D. ＋＝1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 已知点圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________． 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程： （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值. 16. 如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，EAB中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆：的离心率为，左焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值. 18. 已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B． （1）求实数k的取值范围； （2）O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 19. 椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华清中学高二年级上学期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：张胜利 校对人：黄红艳 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线即，则直线斜率， 所以倾斜角为. 故选：D 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 详解】由双曲线，可得，则， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值. 【详解】因为，则，解得或. 故选：C. 4. 已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的标准方程后可求基本量，从而可求渐近线方程，利用公式可求焦点到渐近线的距离. 【详解】由已知得，双曲线的标准方程为，则，， 设一个焦点，而一条渐近线的方程为， 即，所以焦点到渐近线的距离为， 故选：A． 5. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A. 【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 6. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 7. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 已知点圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解， 则有，解出其范围结合选项即得. 【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即， ∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________． 【答案】或. 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程. 【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得， 即； 当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得， 即，化简得. 综上可知，满足条件的直线方程为或. 故答案为：或. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】   如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 故答案为：3 14. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程： （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设易知在圆上，进而可得直线斜率为，应用点斜式写出直线方程； （2）由题设求出到的距离，结合已知及几何法求弦长列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由于，即在圆上，而圆心，则， 所以过点的切线斜率为， 故直线的方程为. 【小问2详解】 由，圆心，半径为， 则到的距离，又弦的长为2， 所以，可得. 16. 如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 连接 与交于点O，连接OE， 由分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，底面，故底面， 建立如图所示空间直角坐标系：则， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，则， 因为底面，所以为平面一个法向量， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角余弦值为. 17. 已知椭圆：的离心率为，左焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率，焦点坐标，求解，，得到椭圆方程． （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解中点坐标，结合圆的方程，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，解得， ∴椭圆的标准方程为； （2）设点、的坐标分别为，，线段的中点为， 联立，消得， 由韦达定理得：， ∴，， ∵点在圆上，∴， ∴，满足，∴. 18. 已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B． （1）求实数k的取值范围； （2）O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 【答案】（1）{k|k，且k≠±1} （2）或0 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程后由求解 （2）由弦长公式计算，表示△AOB面积后求解 【小问1详解】 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0， 当时，直线l与双曲线由两个不同的交点， 即，所以k取值范围为{x|k，且k≠±1}； 【小问2详解】 由（1）可知x1+x2，x1x2， 所以弦长|AB|， 原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d， 由题意，解得：k＝±或0，符合题意，所以实数k的值为或0． 19. 椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【小问1详解】 解：， 离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$