精品解析：广东省广州市科学城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广州市科学城中学2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的． 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出然后再求. 【详解】 又 故选：B 2. 若命题：，，则的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得出答案. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定形式为：，. 故选：D. 3. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式，直接判断. 【详解】函数在是增函数，并且是奇函数， 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断的范围，即可得答案. 【详解】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数， 故， 所以, 故选:D 6. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为 若函数在区间上是单调增函数，则，∴ 若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是. 故选：A. 7. 设函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，再代入即可求解. 【详解】, 故选：D 8. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】解：对于A：定义域为，且，故为奇函数，故A正确； 对于B：定义域为，且，故为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，但是，故为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，且，故为奇函数，故D正确； 故选：ABD 10. 下列四个命题中是真命题的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是””的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合充分必要条件的定义判断A；由正方形和长方形的关系判断B；由不等式的性质判断C；由对数的运算结合充分必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误． 对于B，x为正方体，一定能得出x为长方体，反之不成立，所以“x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件，B正确． 对于C，若，则，则未必成立，反之成立，所以“”是“”的必要不充分条件，C正确． 对于D，若，则，则，，反之亦成立，D正确． 故选：BCD 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由均值不等式“1”的代换可判断A，直接利用均值不等式可判断B，由消元法将转换为，由二次函数的性质可判断C，先将平方，再结合均值不等式可判断D. 【详解】由于，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以有最小值，故A正确； ，解得，当且仅当， 即，时取等号，所以的最大值是，故B正确； 由，， 而，解得，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C错误； ，，时取等号， 所以有最大值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可. 【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得. 故答案为： 13. 已知偶函数满足：当时，，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值. (1)且; (2) 【答案】(1)1； (2)； 【解析】 【分析】(1)运用对数公式计算即可； (2)运用指数运算的公式计算即可. 【详解】(1) (2) 【点睛】本题考查了指数、对数运算公式,熟练掌握公式是解题的关键,考查了数学运算能力. 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可； （2）分析得，分和讨论即可. 【小问1详解】 时，， 则，. 【小问2详解】 若，则以， 当时，则； 当时，则，则. 综上，的取值范围为. 17. 已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. （1）求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到和是方程，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，以及一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和， 可得和是方程，则满足，解得. 【小问2详解】 解：由（1）得，函数， 因为对于恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，所以， 解，解得或，所以实数的取值范围为.. 18. 服装厂拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品还需再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）求2022年促销该产品所获得的利润（万元）关于年促销费用（万元）的关系式； （2）若，则该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，所获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）3万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=总销售收入-总成本，列方程即可解决；（2）由（1）得，根据基本不等式解决即可. 【小问1详解】 由题意，知每件产品的销售价格为万元， 所以 所以． 【小问2详解】 由（1）得： ， 又， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该服装厂2022年的促销费用投入3万元时，所获得的利润最大. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市科学城中学2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的． 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中是真命题的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是””的充要条件 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域为_____________. 13. 已知偶函数满足：当时，，则______. 14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值. (1)且; (2) 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. （1）求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 18. 服装厂拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品还需再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）求2022年促销该产品所获得的利润（万元）关于年促销费用（万元）的关系式； （2）若，则该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，所获得的利润最大？ 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $