精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高一上学期10月质量检测数学试题

长水教育集团2024～2025学年第一学期质量检测（10月） 高一年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式写出集合，根据交集的定义，可得答案. 【详解】因为，，所以． 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合反例，可得答案. 【详解】对于，当时，，所以是假命题，是真命题． 对于，当时，是真命题，是假命题． 故选：C. 3. 已知集合，，则中非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由元素个数与非空真子集个数之间的关系即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 故， 故其非空真子集的个数为. 故选：B. 4. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合相等定义判断D， 根据与集合，，的关系，结合集合并集定义判断B. 【详解】由题意可得，为的真子集，故A，C均错误； ，，D正确； ，，，B错误. 故选：D. 5. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性成立，必要性可举出反例，证明不成立，得到正确答案. 【详解】由都是有理数，则一定是有理数， 但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数， 则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 7. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【解析】 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列对象能构成集合的有（ ） A. 接近于1的所有正整数 B. 小于0的实数 C. 与 D. 未来世界的高科技产品 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合的性质逐一分析即可. 【详解】对于A，接近于1的所有正整数标准不明确，故A不能构成集合； 对于B，小于0是一个明确的标准，故B能构成集合； 对于C， 与是两个不同的点，是确定的，故C能构成集合； 对于D，未来世界的高科技产品，不明确，故D不能构成一个集合． 故选：BC. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求解判断AD；消元并利用二次函数最值求解判断BC. 【详解】正数满足， 对于A，，，当且仅当时等号成立，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，，则， 当且仅当时等号成立，C正确； 对于D，， 当为仅当，即时等号成立，D正确. 故选：ABCD 11. 若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 即对任意恒成立，此时不存在； 当时，由对任意恒成立， 可设，，作出的图象如下， 由题意可知，再由，是整数可得或或 所以的可能取值为或或 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将全称量词命题否定为存在量词命题即可. 【详解】全称量词命题“”的否定为 存在量词命题“”． 故答案为： 13. 若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果. 【详解】的对称轴为 （1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去； （2）当，即， ，符合题意，故； 综上可知，的取值范围为 故答案为： 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 14. 设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为____________. 【答案】16 【解析】 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】 证明：因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 【解析】 【分析】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用分式不等式的求解方式求解，计算即可； （2）利用绝对值不等式的求解方式求解，然后利用集合的运算以及集合之间的关系求解参数范围即可. 【小问1详解】 由得， 即 即，所以，解得， 所以， 所以或. 【小问2详解】 不等式，解得或， 则， 因为，又因为，则， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知非空集合. （1）求集合； （2）时，求； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合； （2）应用集合的交、补运算求集合； （3）根据题意有是的真子集，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题意，即，解得或， 所以集合或. 【小问2详解】 当，此时且，故. 【小问3详解】 若“”是“”的充分不必要条件，且为非空集合，故是的真子集. 则且后两个不等式不能同时取等号，解得，则的取值范围为. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 （2）1 （3），，，或． 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 （Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． 【小问2详解】 （Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． 【小问3详解】 （Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2024～2025学年第一学期质量检测（10月） 高一年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知集合，，则中非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 4. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 5. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列对象能构成集合的有（ ） A. 接近于1的所有正整数 B. 小于0的实数 C. 与 D. 未来世界的高科技产品 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定为_______． 13. 若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为__________ 14. 设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 17. 已知非空集合. （1）求集合； （2）时，求； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $