第24章 圆 单元复习卷 2024--2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上学期《第24章 圆》单元复习卷 一．选择题（共12小题） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列说法中错误的是（　　） A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．90°的圆周角所对的弦是直径 3．如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 6．如图，北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中，其设计独特，由正八边形、菱形和圆形组合而成．中间雕着一条栩栩如生的盘龙，由整块金丝楠木精雕细琢而成，细节之处彰显匠人技艺．其中正八边形一个内角大小为（　　） A．108° B．120° C．135° D．150° 7．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 8．如图，五边形ABCDE是正五边形，点P在直线AB上运动当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线AB上会发出警报的点有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 9．把一个底面半径是5cm、高是9cm的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20cm的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面将下降（　　）cm． A．0.75 B．1 C．2.25 10．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为（　　） A．60π B．70π C．80π D．90π 11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 12．将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 13．⊙O的半径长为5，弦AB＝8，则AB的弦心距为 　 　． 14．已知⊙O的半径为10cm，OP＝8cm，则点P在⊙O的　 　（填“上面”、“内部”或“外部”）． 15．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 　 　m． 16．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　． 17．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　 　． 18．如图，圆锥的底面半径为1cm，母线AB的长为3cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　度． 19．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 　 　． 20．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝　 　． 21．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 　 　m2（结果保留π）． 22．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为　 　． 三．解答题（共8小题） 23．如图，AB是⊙O的弦AB＝6，AB⊥CD，垂足为M，OM＝1，求⊙O的半径． 24．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积． 25．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）． 26．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：； （2）若∠BAC＝50°，求∠AOE的度数． 27．如图，是正方形与半圆形的组合，A点是半圆弧的中点，请根据图中所标示的数据计算阴影部分的面积．（π的值取3） 28．如图，已知AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点D，连接BD，点F是⊙O上一点，连接AF，且DE⊥FA交其延长线于点E，FA、BD延长线交于点C． （1）求证：AB＝AC； （2）若AF＝3，DE＝2，求AB的长． 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长． 30．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠B＝30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若BC＝2，求AD的长度． 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内， ∴OP＜5． 故选：D． 2．下列说法中错误的是（　　） A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．90°的圆周角所对的弦是直径 【分析】根据垂径定理以及圆周角定理逐一分析判断即可． 【解答】解：A、等弧所对的弦相等，说法正确，故选项不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，故选项符合题意； C、同弧或等弧所对的圆周角相等，说法正确，故选项不符合题意； D、90°的圆周角所对的弦是直径，说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 3．如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【分析】根据图形可直接得出结论． 【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是：相交， 故选：B． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接OD，由圆周角定理得出∠AOD＝45°，根据垂径定理可得CE＝DE＝CD，证出△DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【解答】解：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4， ∴OD＝2，CE＝DE＝CD， ∵∠ACD＝22.5°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝45°， ∴△DOE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∴CD＝2DE＝2， 故选：C． 5．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】根据勾股定理和垂径定理求解． 【解答】解：如图， 根据题意得，D在OE上，OE⊥AB，DE＝2cm， ∴AB＝2AD， ∵OA＝OE＝×10＝5cm， ∴OD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， ∴52＝32+AD2， ∴AD＝4cm（负值已舍）， ∴AB＝8cm， 故选：D． 6．如图，北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中，其设计独特，由正八边形、菱形和圆形组合而成．中间雕着一条栩栩如生的盘龙，由整块金丝楠木精雕细琢而成，细节之处彰显匠人技艺．其中正八边形一个内角大小为（　　） A．108° B．120° C．135° D．150° 【分析】正八边形的每个内角相等，由此即可计算， 【解答】解：∵正八边形的每个内角相等， ∴正八边形一个内角大小是＝135°． 故选：C． 7．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长＝展开图的弧长可得． 【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm， ∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm）， ∴2π×3＝， 解得n＝216°． 故选：B． 8．如图，五边形ABCDE是正五边形，点P在直线AB上运动当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线AB上会发出警报的点有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【解答】解：如图，根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EA、BC、AB的垂直平分线与直线AB的交点， 分别为：P，A，B，P′，P″共五个． 故选：C． 9．把一个底面半径是5cm、高是9cm的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20cm的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面将下降（　　）cm． A．0.75 B．1 C．2.25 【分析】分别利用圆锥和圆柱的体积公式，根据“圆锥的体积等于水面下降部分水的体积”计算即可． 【解答】解：×9×52π÷[（）2π]＝0.75（cm）， ∴取出圆锥后，水面将下降0.75cm． 故选：A． 10．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为（　　） A．60π B．70π C．80π D．90π 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面展开图的面积． 【解答】解：∵圆锥的高为8cm，母线长为10cm， ∴圆锥的底面圆的半径为＝6（cm）， ∴圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×6×10＝60π（cm2）． 故选：A． 11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°． 故选：B． 12．将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（　　） A． B． C． D． 【分析】把360度折叠三次得到45°，则可根据弧长公式计算出虚线①所对的圆弧长，由于把圆分成两8个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解． 【解答】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形， 所以虚线①所对的圆弧长为＝， 展开后得到的多边形的内角和为180°×（8﹣2）＝1080°． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 13．⊙O的半径长为5，弦AB＝8，则AB的弦心距为 　3　． 【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为点C，则AC＝BC＝AB＝4， 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， ∴OC＝＝3， 即弦AB的弦心距为3， 故答案为：3． 14．已知⊙O的半径为10cm，OP＝8cm，则点P在⊙O的　内部　（填“上面”、“内部”或“外部”）． 【分析】根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系，即可判断； 【解答】解：∵⊙O的半径为r＝10cm，点P到圆心的距离OP＝d＝8cm， ∴d＜r， ∴点P在圆内， 故答案为内部． 15．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 　1.3　m． 【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m， 如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA， 则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m）， ∴OC＝（2.5﹣r）m， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2， 0.52+（2.5﹣r）2＝r2， 解得：r＝1.3， 即该门洞的半径为1.3m， 故答案为：1.3． 16．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　9　． 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，＝40°， 解得，n＝9， 故答案为：9． 17．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　1cm　． 【分析】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论． 【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD， ∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE＝＝＝6（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 故答案为：1cm． 18．如图，圆锥的底面半径为1cm，母线AB的长为3cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　120　度． 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷3π计算． 【解答】解：圆锥底面周长＝2×π×1＝2π， ∴扇形的圆心角α的度数＝圆锥底面周长×180÷3π＝120°． 故答案为：120． 19．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 　4　． 【分析】先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为90°． 【解答】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为22＝4， 故答案为：4． 20．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝　1　． 【分析】根据切线长定理得出AF＝AE，EC＝CD，DB＝BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴AF＝AE，EC＝CD，DB＝BF， ∵AE＝2，CD＝1，BF＝3， ∴AF＝2，EC＝1，BD＝3， ∴AB＝BF+AF＝3+2＝5，BC＝BD+DC＝4，AC＝AE+EC＝3， ∴△ABC是直角三角形， ∴内切圆的半径r＝＝1， 故答案为：1． 21．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 　　m2（结果保留π）． 【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，计算即可． 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 22．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为　25cm　． 【分析】连接OA，设圆的半径为r，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25cm． 三．解答题（共8小题） 23．如图，AB是⊙O的弦AB＝6，AB⊥CD，垂足为M，OM＝1，求⊙O的半径． 【分析】根据垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且CD为⊙O的直径，AB＝6， ∴AM＝AB＝3， ∵OM＝1， ∴OA＝＝＝． 24．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积． 【分析】连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积，阴影部分的面积等于弓形的6倍． 【解答】解：连接CO、DO， ∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD） ＝6（﹣25） ＝100π﹣150． 25．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）． 【分析】设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为r m，由垂径定理得AD＝BD＝9.1m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图2所示，设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为r， 由垂径定理可知OC⊥AB，OD⊥AB， ∴O，C，D三点共线， ∴，CD＝6.2m， ∴OD＝（r﹣6.2）m， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝9.12+（r﹣6.2）2， 解得 r＝9.8m， ∴此桥拱圆弧的半径约为9.8m． 26．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：； （2）若∠BAC＝50°，求∠AOE的度数． 【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论； （2）连接OE，先由等腰三角形的性质得∠OEA＝∠BAC＝50°，再由三角形内角和定理求出∠AOE＝80°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝； （2）解：连接OE，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴OA＝OE， ∴∠BAC＝∠OEA＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°． 27．如图，是正方形与半圆形的组合，A点是半圆弧的中点，请根据图中所标示的数据计算阴影部分的面积．（π的值取3） 【分析】过点A作直径的垂线平分正方形和半圆，根据题意得到阴影部分为一半的正方形和个圆减去三角形面积，即可解题． 【解答】解：如图，过点A作直径的垂线平分正方形和半圆， 可得阴影部分为一半的正方形和个圆减去三角形面积， 一半的正方形和个圆＝， 三角形面积＝， 阴影部分面积＝176﹣96＝80（cm2）， 答：阴影部分面积为80cm2． 28．如图，已知AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点D，连接BD，点F是⊙O上一点，连接AF，且DE⊥FA交其延长线于点E，FA、BD延长线交于点C． （1）求证：AB＝AC； （2）若AF＝3，DE＝2，求AB的长． 【分析】（1）如图，连接OD，由切线的性质得∠ODE＝90°，继而得到∠ODB+∠EDC＝90°，根据直角三角形两锐角互余得∠C+∠EDC＝90°，再根据OB＝OD，可推出∠C＝∠OBD，即可得证； （2）连接BF，AD，证明DE∥BF，根据等腰三角形的三线合一性质得，点D为BC中点，根据三角形中位线得BF＝2DE＝4，最后在Rt△FAB中，由勾股定理可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵DE切⊙O于点D， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ODB+∠EDC＝180°﹣∠ODE＝180°﹣90°＝90°， ∵DE⊥FC， ∴∠C+∠EDC＝90°， ∴∠C＝∠ODB， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠C＝∠OBD， ∴AB＝AC； （2）解：连接BF，AD， ∵AB为⊙O的直径，AF＝3，DE＝2， ∴∠BFA＝90°，∠BDA＝90°， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°， ∴DE∥BF， ∵AB＝AC，∠BDA＝90°， ∴点D为BC中点， ∴点E也为FC中点， ∴BF＝2DE＝2×2＝4， 在Rt△FAB中， ． 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长． 【分析】（1）如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论； （2）如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答． 【解答】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB＝90°， 即AE⊥BC． 又∵AB＝AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE＝CE； （2）解：∵AB＝6， ∴OA＝3． 又∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°， ∴的长为：＝． 30．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠B＝30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若BC＝2，求AD的长度． 【分析】对于（1），根据圆周角定理求出∠COD＝60°，可得∠ODB＝90°，即可得出答案； 对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADC，即可得出∠ACD，再根据三角形外角的性质得出∠B＝∠CDB，然后根据“等角对等边”得CD，最后根据正切得定义得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BAD＝30°， ∴∠COD＝60°， ∴∠ODB＝90°， ∴OD⊥BD， ∴BD是⊙O的切线； （2）如图，连结CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°． ∵∠BAD＝30°， ∴∠DCA＝90°﹣∠BAD＝60°， ∴∠BDC＝∠DCA﹣∠B＝30°， ∴∠B＝∠BDC， ∴CD＝BC＝2． 在Rt△ACD中，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$