阿波罗尼斯圆 讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

阿波罗尼奥斯圆 阿波罗尼奥斯（Apollonius约公元前 262~192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究。他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。 定义：平面上有两个定点A、B，P是平面内一动点，且PA与PB的线段长之比是定值（>0且≠1），那么P的轨迹就是一个圆，此圆称为“阿波罗尼奥斯圆”。且这个圆与直线AB的交点是线段AB的内、外分点，比例为：1。 注：时，点P的轨迹是线段AB的中垂线。 引理1、角平分线定理：如图△PAB中，AC平分∠APB，则PA：PB=CA：CB. 引理2、外角平分线定理：如图△PAB中，AD平分外角∠APE，则PA：PB=DA：DB. 证明： 由引理1、引理2可得： ∵A、B为定点，且为定值 ∴点C、D 为直线AB上的定点，且∠CPD=90° ∴点P的轨迹为以CD为直径的圆. 定理1、设P(x，y)、A（-a，0）、B（a，0），若PA：PB=（>0且≠1），则点P的轨迹方程为： 阿波罗尼奥斯圆的性质 1) 当时，点B在⊙O内，点A在⊙O外； 当时，点B在⊙O外，点A在⊙O内。 2) 阿波罗尼奥斯圆的直径为，面积为。 3) 因，故BP是⊙O的切线。若已知⊙O及⊙O外一点A，即可作出对应的点B，反之亦然。 4) 过B作⊙O的切线BP，则PC、PD分别为∠APB内、外角平分线。 5) 阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB的两个分点，即C为内分点，D为外分点，PC平分∠APB，PD平分∠APB的外角。 6) 过A作不与PA重合的弦EF，则AB平分∠EBF. 阿波罗尼奥斯圆的应用 真空中两个异种点电荷，电荷量不相等时，如果规定无穷远处电势为0，那么两个电荷附近区域内的等势面就是一个阿氏球。 例：如图，真空中电荷量为2q和-q（q>0）的两个点电荷分别位于M点和N点，形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面（取无穷远处电势为0），P为MN连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是（ ） A. P点电势低于S点电势 B. T点电场强度方向指向O点 C. 除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点 D. 将正试探电荷q0从T点移动到P点，静电力做正功 1、我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 2、古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3、阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．直线与曲线有公共点 C．曲线被轴截得的弦长为 D．面积的最大值为 5、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．当，，三点不共线时，则 C．在上存在点，使得 D．若，则的最小值为 6、阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是 ． 7、阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 . 8、已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 9、平面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为. (1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值； (2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标. 10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$