一元函数的导数及其应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习15---一元函数的导数及其应用专项训练 一、单选题 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设在可导，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 5．函数在上的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 二、多选题 7．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，在旋转过程中，交于点，设为（其中），射线扫过的圆内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的有（    ）    A． B．函数的单调递增区间为 C．函数图象的对称中心为 D．函数在处的瞬时变化率最大 三、填空题 9．若，则 ． 10．已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有 个不动点． 12．关于函数，给出下列四个结论： ①是奇函数； ②0是的极值点； ③在上有且仅有1个零点； ④的值域是. 其中，所有正确结论的序号为 . 四、解答题 13．已知二次函数. (1)判断与的大小； (2)判断在区间与的平均变化率的大小. 14．已知w是t的函数，部分函数值如下表所示，且是这个函数的定义域的子集，试估计和时w的值. t 2 3 5 8 w 31 22.7 8.8 8.3 15．已知函数 （1）当时，求的最大值； （2）若在区间上存在零点，求实数的取值范围. 16．已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）用分别表示,； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C B C ABD ACD 1．D 【分析】利用常用函数的导函数公式及导函数运算法则进行计算. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 2．D 【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果. 【详解】因为在处可导， 由导数的定义可得：. 故选：D. 3．C 【分析】根据奇偶函数的定义判断为上的奇函数，利用导数判断的单调性，结合函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】为上的奇函数， 为上的单调递增函数，当且仅当时等号成立， 故原不等式等价于， 即，故， 又，所以. 故选：C 4．C 【分析】根据判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x＜0时的解析式，求出f(x)在x＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解． 【详解】已知满足，∴为奇函数， 当时，，因此， 则x＞0时，， 曲线在点处的切线斜率， 又， ∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为， 整理得﹒ 故选：C． 5．B 【分析】利用导数研究的单调性，进而求其在给定区间的最大值即可. 【详解】，令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，故， ∴在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上单调递增，则在上的最大值为. 故选：. 6．C 【分析】先令，代入求出导数；再求导,再令,即可求出结果. 【详解】因为，令，则， 则，再令，代入上式可得， 所以. 故选：C. 7．ABD 【分析】A选项，根据导函数得到函数的单调性，进而得到；B选项，根据条件得到函数图象上凸，画出函数图象，由的几何意义得到；CD选项，结合，结合图象得到答案. 【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增， 因为，所以，A正确； B选项，因为，，且，总有， 所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率， 显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正， 因为，所以，B正确； C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.    故选：ABD 8．ACD 【分析】根据扇形及三角形面积公式求出即可判断A，求导数利用三角函数的有界性可判断B，根据函数对称性的性质判断C，根据导数的几何意义三角函数有界性判断D. 【详解】由题意，，则. 所以，故选项A正确； 因为，故函数的单调递增区间为，故选项错误； 因为，所以的图象关于点中心对称，故选项C正确；，故时，函数的瞬时变化率最大，故选项D正确. 故选：ACD. 9． 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则即可计算出结果． 【详解】． 故答案为：． 10． 【分析】由为偶函数，算出，讨论的单调性奇偶性，利用性质解不等式. 【详解】为偶函数，有，即，得，则，，， 设，函数定义域为R，，，所以为奇函数在R上单调递增， 由，则 ∴，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11．1 【分析】由题意可知即求函数的零点个数，当时，,当时，，当时，对求导可得的单调性和值域，即可求出的零点个数. 【详解】令，即， 由题意可知即求函数的零点个数， 当时，，此时不存在零点； 当时，，此时不存在零点； 当时，， 令，，因为，解得：， 令，，因为，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 故在上有且仅有一个零点， 综上所述，仅有一个不动点． 故答案为：1. 12．①③④ 【分析】利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解 【详解】对于①，, 所以函数是奇函数，所以①正确. 对于②，， 当时，，所以在单调递增 当时，，所以在单调递增 所以 不是函数的极值点，所以②不正确. 对于③，由，当，， 所以在单调递增，又， 所以函数在上有且仅有1个零点，所以③正确. 对于④，函数在R上连续，当时 所以的值域是.所以④正确 故答案为：①③④ 13．(1)< (2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率 【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以，，所以<. （2）在区间的平均变化率为（1）， 在区间的平均变化率， 所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率. 14．时，w=8.3；时w=8.2 【分析】以直代曲来拟合函数，求出所需要的函数值 【详解】因为求解的是估计和时w的值 所以取点：， 设直线：，把，代入 解得： 所以直线解析式： 当时，；当时， 15．（1）0；（2）. 【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值； （2）先变量分离转化求对应函数值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1），， 令，得 所以在上单调递增，上单调递减    ∴. （2）在区间上存在零点，∴在上有解， 令（）， 设 因此,∴在上单调递增， 即， ∴. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题. 16．(1)；(2). 【详解】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用导数的知识求解. 试题解析： （1）因为，由题设，则有，解得. （2）由（1）知，， 令， 所以 ， 当时，，或， ①当时，有， 当时，，是减函数.又因为，所以时，，所以，故时，不恒成立； ②当时，有 当时，，则在上为增函数．所以，当时，，即.综上所述，所求的取值范围为 . 考点：导数在研究函数单调性和最值等方面的有关知识的综合运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求参数之间的关系.求解时借助题设条件和导数的几何意义,先求函数的导函数,再运用函数与直线相切的关系求出；第二问的求解中借助导数,先构造函数将问题等价转化为函数的最小值是的问题.进而通过分类分析推证求得实数的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$