14数列专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习14---数列专项训练 一、单选题 1．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（ ） A． B．1 C．6 D．12 3．等比数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 6．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 二、多选题 7．已知等比数列，则下面式子对任意正整数k都成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前n项和为，且，，若，则i的取值为（    ） A．1或2 B．3或4 C．5 D．11 三、填空题 9．已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是 ． 10．等差数列中． （1）若,，则＝ . （2）若，则 . 11．已知函数，数列为等比数列，，， ． 12．已知数列满足：，，且，，，当取最小值时， ． 四、解答题 13．已知数列满足 （1）若数列满足，求证：是等比数列； （2）若数列满足，求证： 14． 已知数列：，…，试求的前n项和． 15．已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． (1)求、的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．已知数列 的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D D C BD ABC 1．A 【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解. 【详解】解：设数列的首项为，公差为， 由题得，所以. 所以数列的通项为. 故选：A 2．D 【分析】根据数列新定义可得数列是以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意数列满足，且，可得， 可知正项数列是以为公比的等比数列， 则，解得. 故选：D 3．B 【分析】由给定的前n项和求出，进而求出t并验证作答. 【详解】，，则当时，， 当时，，依题意，满足上式，即，解得， 当时，，，数列是等比数列，且，符合题意， 所以. 故选：B 4．D 【分析】计算出的值，推导出数列中的奇数项成以为公比的等比数列，偶数项也成以公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】由可得， 当为奇数时，；当为偶数时，. 故当为奇数时，，，则， 当为偶数时，，，则. 故对任意的，. 所以，数列中的奇数项成以为公比的等比数列，偶数项也成以公比的等比数列， 因为，则， 所以，. 故选：D. 5．D 【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列的前项和为，即可求出. 【详解】因为任意有， 所以，，，……，， 上式累乘可得：， 因为，所以， 设数列的前项和为， ， ， ， 两式相减可得：， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 6．C 【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 7．BD 【分析】根据等比数列的通项和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，A不一定成立； 对于B， ，B成立； 对于C，， 当时，，C不一定成立； 对于D，一定成立， 故选：BD. 8．ABC 【分析】设等差数列的公差为d，根据，，求得通项公式求解. 【详解】解：设等差数列的公差为d， 因为，， 解得，， ∴． 若（i，，且）， 所以，即， ∴，或，或，或， 或，， ∴i的取值集合是． 故选：ABC． 9．6或7 【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小. 【详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小. 【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题. 10． 【分析】（1）根据成等差数列，得到； （2）先根据等差数列的性质得到，进而求出. 【详解】（1）∵成等差数列， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴. 故答案为：， 11． 【分析】根据函数的对称性，再结合等比数列的等比中项，利用倒序相加法求和即可得答案. 【详解】因为，所以. 又因为数列为等比数列，， 所以， 所以 设① 则② 由①+②得：所以 故答案为： 12． 【分析】设，由已知递推关系式可化简得到，由此确定，知为等差数列，由等差数列通项公式求得，进而得到，由二次函数的性质可确定结果. 【详解】由得：， 设，则，， 又，， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ，又， 由二次函数性质知：当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解通项公式的问题，解题关键是能够将已知递推关系式变形得到，由此构造出等差数列的形式. 13．(1) 见解析；(2)见解析. 【详解】试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证; （2）求得，先对其进行放缩得,再求和即可. 试题解析：(1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.                      (2) 由(1)知，从而，，有， 所以. 14． 【分析】由分组求和法、等差数列求和公式以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】令的前n项和为，则 ＝ ， 即数列的前n项和为． 15．(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，进而求出通项公式；利用前项和与第n项的关系求出的通项. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得，因此； 数列中，，当时，， 两式相减得，即，而，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以、的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， 则， 于是， 将两式相减得： ，则， 所以求数列的前项和. 16．(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用公式可求得，利用配凑法可求得； （2）化简，由此考虑用裂项求和法求不等式左边的和，并证明结论. 【详解】（1）因为， 令，得，即， 因为，所以， 两式相减，得， 所以，故，， 又数列是首项为, 所以数列是公比为的等比数列， 所以，即. （2）因为 所以 【点睛】方法点晴：利用公式是一个通解通法，在具体应用的过程中，可以考虑将转化为，也可以考虑反过来，将转化为.在完成第一步后，要注意验证当时是否成立.遇到形如的递推公式求通项的问题，可以采用配凑法，配凑成等比数列来求通项公式.最后一个考点就是裂项求和法. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$