精品解析：宁夏银川市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

银川二中2024-2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷共19 小题，满分150分.考试时间为150分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 命题“存在，使得”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 3. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则有（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 8. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 函数在定义域内是减函数； C. 函数的图象可由的图象向右平移1个单位长度得到； D. 函数的定义域为，则函数的定义域为. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 对任意的， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 13. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 14. 偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）求值：； （2）已知，求值：. 17. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 18. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； （3）用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2024-2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷共19 小题，满分150分.考试时间为150分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【详解】， ∴，则， 故选A． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2. 命题“存在，使得”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题“存在，使得”为特称命题，该命题的否定为对任意，都有 故选：B. 3. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 4. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法得到答案. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的单调性判断，根据的单调性判断，进而得到答案. 【详解】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以， 所以， 故选：B. 6. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】的解集为 且方程的两根为：和 ，解得： 即，解得： 的解集为 故选: 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题. 7. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出函数在单调递减，即可求出最大值. 【详解】在单调递减， . 故选：C. 8. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 函数在定义域内是减函数； C. 函数的图象可由的图象向右平移1个单位长度得到； D. 函数的定义域为，则函数的定义域为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的三要素可判断A；由函数的单调性可判断B；根据函数的平移变换可判断C；根据抽象函数的定义域可判断D. 【详解】A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故A错误； B，函数在，上单调递减，故B错误； C，将的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象， 故C正确； D，的定义域为，则函数的定义域满足， 解得，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：ABD 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 对任意的， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确； B：因为， 所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确； C：由上可以确定本选项正确； D：， 当时，，而，于是有， 当时，，而，于是有， 综上所述：对任意的，，因此本选项正确， 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 13. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【详解】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据单调性和奇偶性的概念求出在上的单调性，再将函数不等式转化为自变量不等式求解即可. 【详解】因为对于任意 ，均有 成立， 所以在上单调递减， 又是偶函数，所以在单调递增， 所以不等式即等价于， 即，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 16. （1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）3；（2）6 【解析】 【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可； （2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）由，而， 则，故. 17. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1） （2）年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售量售价-成本，即可写出利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； （2）当时，根据二次函数求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，比较两个最大值，即可解答. 【小问1详解】 每辆车售价8万元，年产量(百辆)时销售收入为800x万元， 总成本为， 【小问2详解】 由（1）当时， 所以百辆时，(万元)；   当时， 当且仅当即(百辆)时，(万元)，                    因为万元万元， 所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元. 18. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； （3）用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【答案】（1）函数为上的奇函数，理由如下： 因为， 所以函数为上的奇函数； （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明； （2）根据绝对值的定义变形，然后结合二次函数图象作图； （3）由，分类解方程和，求得方程的解后检验是否满足题意即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 图象如图所示， 【小问3详解】 ，若，则， 此时，，满足题意； 若，显然时，无解； 因此，，解得，此时满足题意． 所以或 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $