黑龙江省哈尔滨市第六中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学试题 第 1页 共 4页 哈尔滨市第六中学 2022 级上学期期中考试 高三数学试题 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1.若 i z z   1 1 ，则 z （ ） A. i1 B. i1 C. i1 D. i1 2.已知半径为 2 的圆O上有两点 DC, ， 3 2 COD ，设向量 ODOCa 2 ， ODmOCb  ， 若 6ba ，则实数m的值为（ ） A.6 B.3 C. 1 D. 1 3.已知 nm, 是两条不同的直线，  , 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.若  // ， m ， n ，则 nm // B.若   ， //m ， //n ，则 nm  C.若 m ， n ， nm // ，则   D.若 nm  ， m ， n ，则   4.若函数 axexf x  )1ln()( 是偶函数，则曲线 )(xfy  在 0x 处的切线斜率为（ ） A． 2 1  B．0 C． 2 1 D． 2 3 5.在正方体 1111 DCBAABCD 中， FE, 分别是棱 AD和 11DC 的中点，则异面直线 EF与 CB1 所 成角的余弦值是（ ） A． 3 3 B． 3 6 C． 6 3 D． 6 6 6.已知函数 xaxxf 2cos2sin)(  的图象关于点 )0, 8 (  对称，若 2)()( 21 xfxf ，则 21 xxa  的最小值为（ ） A. 2 3 B. C. 4 3 D. 2  7.已知数列 na 满足 3 1 1 a ， na a n a n nn     1 1 ，若 4 3 21321211  naaaaaaaaa  成立， 则 n的最大值为（ ） A. 4 B.6 C.8 D.10 8.在体积为 2 3 的三棱锥 BCDA 中， ADAC  ， BDBC  ，平面 ACD 平面 BCD， 6  ACD ， 4  BCD ，若点 DCBA ,,, 都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 32 D. 48 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求） 9.已知 ABC 的内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A.在 ABC 中，若 BA sinsin  ，则 BA  B.若 3  B ， 2b ， 3c ，则 ABC 有两个解 C.若 BbAa coscos  ，则 ABC 是等腰三角形或直角三角形 D.若 acBbca 3tan)( 222  ，则角 3  B 10.已知数列 na 满足 01 a ，         为偶数， 为奇数， na na a n n n n 2 )2( 1 1 ，设 nn ab 2 ，记数列 na 的前 n2 项和为 nS2 ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，则下列结论正确的是（ ） A. 43 a B. n n nb 2 C. 22 1  nn nT D. 62)32( 1 2  n n nS 高三数学试题 第 2页 共 4页 11.如图，棱长为4的正方体 1111 DCBAABCD 中， E为棱 1DD 的中点， F 为正方形 11CCDD 内 一个动点（包括边界），且 //1FB 平面 BEA1 ，则下列说法正确的有（ ） A．动点 F 轨迹的长度为 22 B．平面 BEA1 截正方体所得的截面图形的面积为9 C．存在 F 点，使得 BAFB 11  D．若 P为CD的中点，以点 P为球心， 6 为半径的球面与 四边形 11AACC 的交线长为 2 3 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案写在答题卡上相应的位置） 12.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为 2 ，则该圆锥的体积为_____________. 13.已知数列 na 是各项均为正数的等比数列， 451 aa ，则  522212 logloglog aaa  __________ . 14.已知正四面体 ABCD中， 1AB ， nPPP ,,, 21  在线段 AB上，且 nn PPPPAP 1211   BPn ，过点 1P作平行于直线 AC和 BD的平面，该平面截正四面体 ABCD的截面面积为 na ， 则 ___________na ；若 nn n nnb 2 )56()1( 2    ，则数列 nnba 的最大项为 ____________ . 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分 13 分） 如图，已知四棱锥 ABCDP  的底面 ABCD是菱形，对角线 AC与 BD交于点O， 4OA , 3OB , 4OP , OP 底面 ABCD，点M 是 PC的中点. （1）求证：平面 PAC 平面 PBD； （2）求平面MBD与平面 PBD夹角的余弦值. 高三数学试题 第 3页 共 4页 16.（本小题满分 15 分） 已知函数 xxxxf 2cos3cossin)(  ，在 ABC 中，内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ， 且 3) 2 ( Cf （1）求函数 )(xf 在区间 ] 2 ,0[  上的值域； （2）求角C； （3）若 BAC abba coscoscos322  ，求 ABC 的面积. 17.（本小题满分 15 分） 已知函数 x x aee xxf )( ， Ra ． （1）当 1a 时，求 )(xf 的单调区间和极值； （2）若 Rx ， 1)(  xexf ，求 a的取值范围． 高三数学试题 第 4页 共 4页 18.（本小题满分 17 分） 已知矩形 ABCD中， 4AB ， 2BC ，E是CD的中点，如图所示，沿 BE将 BCE 翻折至 BFE ， 使得平面 BFE 平面 ABCD. （1）证明： AEBF  ； （2）已知在线段 BD上存在点 P（点 P与点 DB, 均不重合），使得 PF与平面DEF所成的角的 正弦值是 3 6 ① 求 DB DP 的值； ② 求点 P到平面DEF的距离. 19.（本小题满分 17 分） 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数 对 ),( 21 aa 表示，平面向量又称为二维向量.一般地，n元有序实数组 ),,,( 21 naaa  称为 n维向量， 它是二维向量的推广.类似二维向量，对于 n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模） 等：设 ),,,( 21 naaaa  ， ),,,( 21 nbbbb  ，则 nnbabababa  2211 ， 22 2 2 1 naaaa   已知向量 ),,,( 21 naaaa  满足 nan  ，向量 ),,,( 21 nbbbb  满足 n nb )1( （1）求 ba  的值； （2）若 ),,( 21 ncccc  ，其中 n n n a ac 1ln  . ① 求证： 1 1   n cn ； ② 当 2n 且  Nn 时，证明： 42   n nc .