第二章函数第三节函数性质的综合应用随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第二章　函数 第2章　 函数性质的综合应用 1．下列四个图象中，函数y＝的图象是(　　) 2．(多选题)已知点在幂函数f (x)＝(a－1)·xb的图象上，则函数f (x)(　　) A．是奇函数 B．在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数 D．在(0，＋∞)上单调递减 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 5．(多选题)已知函数f (x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f (x1)≠f (x2)，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．[－1，2] D．[3，＋∞) 6．已知α∈，若幂函数f (x)＝xα的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________． ①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0. 8．已知函数f (x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 9．已知函数f (x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f (x)的最小值． 高考训练 10．若幂函数y＝x|m－1|与y＝(m∈Z)在(0，＋∞)上都是单调递增的，则满足条件的整数m的值为(　　) A．0 B．1和2 C．2 D．0和3 11．已知点在幂函数f (x)＝xn的图象上，设a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________． 13．函数f (x)满足下列性质： (1)定义域为R，值域为[1，＋∞)； (2)图象关于直线x＝2对称； (3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0. 请写出函数f (x)的一个解析式________．(只要写出一个即可) 14．如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________． 15．已知a∈R，函数f (x)＝x2－2ax＋5. (1)若a＞1，且函数f (x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若不等式x|f (x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围． 答案解析 1、B　解析：因为y＝＝，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A，D，且函数在定义域上单调递增，故B正确．故选B． 2、AD　解析：由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，b＝－1，故f (x)＝x－1是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减． 3、D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0.所以－1＜n＜0＜m＜1，故选D． 4、A　解析：由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0.又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x)先减后增，所以a>0.故选A． 5、AD　解析：二次函数f (x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1.因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f (x1)≠f (x2)，即f (x)在区间[－1，2]上是单调的，所以a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 6、－2　解析：因为幂函数f (x)＝xα的图象关于y轴对称，则α必为偶数，又f (x)＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，则α为负数，综合得α＝－2. 7、①②⑤　解析：由题图知，a<0，－>0，c>0，所以b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0，故①正确．又由题图知f (－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确． 8、　解析：因为函数图象开口向上， 所以根据题意只需满足 解得－<m<0. 9、解：当a＝0时，f (x)＝－2x在[0，1]上单调递减，所以f (x)min＝f (1)＝－2. 当a>0时，f (x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝. ①当≤1，即a≥1时，f (x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以f (x)min＝f ＝＝－. ②当>1，即0<a<1时，f (x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧， 所以f (x)在[0，1]上单调递减，所以f (x)min＝f (1)＝a－2. 当a<0时，f (x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝<0， 所以f (x)在[0，1]上单调递减，所以f (x)min＝f (1)＝a－2. 综上所述，f (x)min＝ 10、C　解析：由题意可得解得m＝2，故选C． 11、C　解析：因为点在函数f (x)的图象上，所以＝2n，解得n＝－3，所以f (x)＝x－3.易知当x>0时，f (x)单调递减．因为<<1，ln π>ln e＝1，所以f >f >f (ln π)，即a>c>b.故选C． 12、　解析：二次函数图象的对称轴为直线x＝，且f ＝－，f (3)＝f (0)＝－4，结合如图所示函数图象，可得m∈. 13、f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　解析：由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f (x)＝(x－2)2＋1，此时f (x)图象的对称轴为直线x＝2，开口向上，满足(2)；因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0，等价于f (x)在(－∞，0)上单调递减，满足(3)；又f (x)＝(x－2)2＋1≥1，满足(1)．故答案可以为f (x)＝x2－4x＋5. 14、　解析：依题意得Q，P，则|AQ|＋|CP|＝＝.记＝t(t>1)，f (t)＝|AQ|＋|CP|，则f (t)＝≥2，当且仅当＝，即t2＝时取等号，此时a＝. 15、解：(1)因为f (x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)， 所以f (x)在[1，a]上单调递减，所以f (x)的值域为[f (a)，f (1)]. 又已知值域为[1，a]， 所以解得a＝2. (2)由x|f (x)－x2|≤1，得－≤a≤(*)． 令＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t. 记g(t)＝－t2＋t＝－＋， 则g(t)max＝g＝，所以a≥； 记h(t)＝t2＋t＝，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7. 综上所述，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$