第二章函数 第三节函数的奇偶性、周期性、对称性随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第二章　函数 第三节 函数的奇偶性、周期性、对称性 1．(2024·广东模拟)已知函数f (x＋1)的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝f (x)＋1 B．y＝f (x＋2)＋1 C．y＝f (x)－1 D．y＝f (x＋2)－1 2．已知偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)＝，则f (x－1)<的解集为(　 　) A．(0，2) B． C．(－∞，0)∪(2, ＋∞) D． 3．(2024·南通模拟)双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学、经济和金融领域．若双曲正切函数为tanh x＝，则tanh x(　　) A．是偶函数，且在R上单调递减 B．是偶函数，且在R上单调递增 C．是奇函数，且在R上单调递减 D．是奇函数，且在R上单调递增 4．若f (x)＝e－x－aex为奇函数，则f (x)≤的解集为(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 5．(2024·潍坊模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (x＋4)＝f (－x)，则(　　) A．函数f (x)为偶函数 B．f (3)＝0 C．f D．f (2 023)＝0 6．(多选题)已知函数f (x)＝2sin x，下列结论正确的有(　　) A．f (x)是周期函数 B．f (x)的图象关于原点对称 C．f (x)的值域为 D．f (x)在区间上单调递增 7．(多选题)已知函数f (x)为R上的奇函数，f (1＋x)为偶函数，则(　　) A．f (－2－x)＋f (x)＝0 B．f (1－x)＝f (1＋x) C．f (x＋2)＝f (x－2) D．f (2 023)＝0 8．偶函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，若f (4)＝2，则f (－2)＝________. 9．若f (x)是R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为f (x)＝________.(写出符合条件的一个即可) 10．周期为4的函数f (x)满足f (x)＝f (4－x)，且当x∈[0，2]时f (x)＝x3－1，则不等式f (x)≤0在[－2，2]上的解集为________. 高考模拟 11．定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f ＝0，则满足xf (x－4)≥0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪[2，6] B．(－∞，0]∪[2，6] C．(－∞，0)∪[4，6] D．(－∞，0]∪[4，6] 12．(多选题)函数f (x)的定义域为R，且f (x－1)与f (x＋1)都为奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)是周期为2的周期函数 B．f (x)是周期为4的周期函数 C．f (x＋2)为奇函数 D．f (x＋3)为奇函数 13．已知函数f (x)满足f (2－x)＋f (2＋x)＝6，g(x)＝，且f (x)与g(x)的图象交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8的值为(　　) A．20 B．24 C．36 D．40 14． 函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，则对于函数f (x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f (x)的值域为[0，1)；②f (x)是以1为周期的周期函数；③f (x)是偶函数；④f (x)在区间[1，2)上单调递增．其中，正确的命题序号为________. 答案解析 1、D　解析：由题意知，将函数f (x＋1)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点(0，0)对称，则所得函数为奇函数，所以y＝f (x＋2)－1为奇函数．故选D． 2、C 3、D　解析：令f (x)＝，定义域为R，因为f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．又因为f ′(x)＝>0，所以f (x)在R上单调递增．故选D． 4、D　解析：由f (x)＝e－x－aex为奇函数，得f (－x)＋f (x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝e－x－ex，易知函数f (x)是R上的减函数．不等式f (x)≤－e等价于f (x)≤f (1)，因此x≥1，所以不等式f (x)≤－e的解集为[1，＋∞)．故选D． 5、A　解析：因为f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝ f (－x＋1)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以f (x＋2)＝f (－x)．又因为f (x＋4)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于x＝2对称，所以由得f (x＋4)＝f (x＋2)，即f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为2的函数．由得f (－x)＝ f (x)，所以f (x)为偶函数．故选A． 6、AD解析：对于A，因为f(x＋2kπ)＝2sin(x+2kπ)＝2sinx＝f(x)(k∈Z)，所以f(x)是周期函数，所以A正确； 对于B，因为f(－x)＝2sin(－x)＝2－sinx＝≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)的图象不关于原点对称，所以B错误； 对于C，因为－1≤sinx≤1，所以2－1≤2sinx≤21，即≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为，所以C错误； 对于D，令t＝sinx，则y＝2t，因为t＝sinx在上单调递增，y＝2t在R上单调递增，所以f(x)在区间上单调递增，所以D正确． 7、BC　解析：因为f (x)为R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．因为f (1＋x)为偶函数，所以f (－x＋1)＝f (x＋1)，故B正确．由f (－x＋1)＝f (x＋1)，可得f (－x)＝f (x＋2)，所以f (x＋2)＝－f (x)．因为f (－2－x)＋f (x)＝f (x)－f (x＋2)，其结果不一定为零，故A不正确．由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x)＝－f (x－2)，所以f (x＋2)＝f (x－2)，故C正确．由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)的周期为4，所以f (2 023)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)，因为f (1)从题意无法得出，故D不正确．故选BC． 8、2　解析：(方法一)由函数f (x)为偶函数，得f (－2)＝f (2)．由函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，得f (2)＝f (4)＝2，所以f (－2)＝2. (方法二)由函数f (x)为偶函数及函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，得f (x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f (－2)＝f (4)＝2. 9、－x2(答案不唯一)　解析：若f (x)＝－x2，则f (－x)＝－(－x)2＝－x2＝f (x)，故f (x)为偶函数，且易知f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故f (x)在上单调递减，符合条件． 10、[－1，1]　解析：因为f (x)的周期是4，则f (x)＝f (4－x)＝f (－x)，所以f (x)是偶函数．当x∈[0，2]时，f (x)＝x3－1是增函数，且f (1)＝0，所以不等式f (x)≤0可化为f (|x|)≤f (1)，所以|x|≤1，即－1≤x≤1. 11、B　解析：定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，可得f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又＝f (－2)＝f (2)＝0， 则当－2≤x≤2时，f (x)≥0；当x≤－2或x≥2时，f (x)≤0. 又xf (x－4)≥0等价为或 即或 解得2≤x≤6或x≤0.故选B． 12、BD　解析：因为函数f (x)的定义域为R，且f (x－1)与f (x＋1)都为奇函数，所以f (－x－1)＝－f (x－1)，f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (x)＝－f (－x－2)，f (x)＝－f (－x＋2)，所以f (－x－2)＝f (－x＋2)，即f (x＋4)＝f (x)，故B正确，A错误；因为f (x＋3)＝f (x＋3－4)＝f (x－1)，且f (x－1)为奇函数，所以f (x＋3)为奇函数，故D正确；因为f (x＋1)为奇函数，所以f (x＋1)＝－f (－x＋1)，则f (x＋2)＝－f (－x)，f (－x＋2)＝－f (x)，因为f (x)的奇偶性不确定，所以无法判断f (x＋2)是否为奇函数，故C错误． 13、D　解析：由于函数f (x)满足f (2－x)＋f (2＋x)＝6，当x＝0时，f (2)＝3，所以f (x)关于(2，3)中心对称．由于g(x)＝，所以g(x)关于(2，3)中心对称，故f (x)和g(x)都关于(2，3)中心对称．所以f (x)与g(x)的图象交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，两两关于(2，3)对称．所以x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8＝4×4＋4×6＝40.故选D． 14、①②④　解析：当x∈[n，n＋1)，n∈Z时，[x]＝n，f (x)＝|x－n|＝x－n，所以f (x)∈[0，1)，当n＝1时，x∈[1，2)，f (x)＝x－1单调递增，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，则x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f (x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f (x)，故②正确；f ，所以③错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$