第二章函数 第二节函数的单调性与最值随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第二章　函数 第二节　函数的单调性与最值 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln (x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 2．(多选题)关于函数f (x)＝，下列判断正确的是(　　) A．f (x)在(－1，＋∞)上单调递减 B．f (x)在(－1，＋∞)上单调递增 C．f (x)在(－∞，－1)上单调递减 D．f (x)在(－∞，－1)上单调递增 3．已知函数f (x)＝，则f (x)的单调递增区间为(　　) A． B． C． D．D． 4．若函数f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(0，1] 5．若函数y＝1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　) A． B．2 C． D． 6．(多选题)(2024·重庆模拟)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0 C．f (a)≤f (x1)<f (x2)≤f (b) D．<0 7．已知函数f (x)是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x－4)>－1的实数x的取值范围是________． 8．已知函数y＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值是________． 9．(2024·石家庄模拟)若函数f (x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________． 10．已知函数f (x)＝＋2. (1)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若x∈[2，7]，求函数f (x)的最大值和最小值． 高考培优 11．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 12．已知减函数f (x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　) A．m－n<0 B．m－n>0 C．m＋n<0 D．m＋n>0 13．(2024·临沂模拟)已知函数f (x)在定义域R上单调，且f (f (x)＋2x)＝1，则f (－2)的值为(　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 14．能使“函数f (x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为________． 15．定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f (a)＋f (b)＝f (ab)；②当x>1时，f (x)<0；③f (2)＝－1. (1)求f (1)和f 的值； (2)试用单调性的定义证明：函数f (x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f (4x3－12x2)＋2>f (18x)的x的取值集合． 答案解析 1、A　解析：函数y＝ln (x＋2)的单调递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定单调递增． 2、AC　解析：因为f (x)＝，所以f (x)在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递减，则A，C正确，B，D错误．故选AC． 3、A　解析：函数f (x)＝3x2－3x＋1的定义域为R，令u＝x2－3x＋1，y＝3u，又y＝3u在R上单调递增，u＝x2－3x＋1的单调递增区间为，所以f (x)的单调递增区间为.故选A． 4、D　解析：因为g(x)＝在区间[1，2]上单调递减，所以a>0.因为函数f (x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f (x)在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0，1]. 5、A　解析：令t＝|x|，则1≤t≤4，得y＝，易知y＝在[1，4]上单调递增，所以其最小值m＝1－1＝0，最大值M＝2－，所以M－m＝. 6、AB　解析：由函数单调性的定义，可知若函数f (x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f (x1)－f (x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f (x1)，f (x2)的大小关系也无法判断，故C错误．故选AB． 7、[2，3)　解析：f (x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，所以f (2x－4)>－1可化为f (2x－4)>f (2)，所以解得2≤x<3. 8、2　解析：当k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为＝1，解得k＝2. 9、[－6，1)　解析：由题意得解得－6≤a＜1. 10、解：(1)函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝. 因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0， 所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 所以f (x)＝＋2在区间(0，＋∞)上单调递减． (2)因为函数f (x)＝＋2在区间[2，7]上单调递减，所以f (x)max＝f (2)＝，f (x)min＝f (7)＝. 11、B　解析：原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f (x)＝2x－5－x，则原不等式可化为f (x)≤f (－y)．又函数f (x)在R上单调递增，所以x≤－y，即x＋y≤0. 12、A　解析：设F(x)＝f (x)－f (－x)，由于f (x)是R上的减函数，所以f (－x)是R上的增函数，－f (－x)是R上的减函数，所以F(x)是R上的减函数，所以当m<n时，有F(m)>F(n)，即f (m)－f (－m)>f (n)－f (－n)成立，因此当f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立时，不等式m－n<0一定成立．故选A． 13、A　解析：因为函数f (x)在定义域R上单调，且f (f (x)＋2x)＝1，所以f (x)＋2x为常数． 不妨设f (x)＋2x＝t，则f (x)＝t－2x. 由f (f (x)＋2x)＝1，得f (t)＝t－2t＝1，解得t＝－1，所以f (x)＝－2x－1，所以f (－2)＝－2×(－2)－1＝3. 14、[0，2](答案不唯一)　解析：已知f (x)＝所以f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．又f (0)＝f (1)＝0，f ＝<2，f (2)＝2，则符合题意的一个区间I可以为[0，2]. 15、(1)解：令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，则f (1)＝0， 而f (4)＝f (2)＋f (2)＝－1－1＝－2，且f (4)＋f ＝f (1)＝0，则f ＝2. (2)证明：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 所以>1，当x>1时，f (x)<0，所以f <0， 所以f (x2)－f (x1)＝f －f (x1)＝f (x1)＋f －f (x1)＝f <0， 即f (x2)<f (x1)，所以f (x)在(0，＋∞)上是减函数． (3)解：因为f (4x3－12x2)＋2>f (18x)，由(1)知f ＝2，故f (4x3－12x2)＋f >f (18x). 所以f (x3－3x2)>f (18x)．又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，所以解得3<x<6， 故x的取值集合为{x|3<x<6}． 学科网（北京）股份有限公司 $$