第一章预备知识 第四节一元二次不等式及其解法随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第1章　 预备知识 第四节　一元二次不等式及其解法 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于(　　) A．(0，2) B．(－1，0) C．(－3，2) D．(－1，3) 2．若命题p：∀x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0是真命题，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，1]∪[3，＋∞) B．(－3，1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．[－1，3] 3．(2024·宁波模拟)若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为(　　) A． B． C． D． 4．(多选题)若二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论成立的是(　　) A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3 C．ab＝－2 D．ab＝2 5．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．[－1，0) D．(－∞，0) 6．不等式<－1的解集是________. 7．(2024·威海模拟)若∃x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，则a的一个可取的正整数值为________. 8．已知关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋4<0(a∈R)． (1)当a＝－6时，此不等式的解集为________； (2)若不等式的解集非空，则实数a的取值范围为________. 9．已知函数f (x)＝ax＋1<x<b}． (1)求a，b的值； (2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 10．(2024·临沂模拟)若关于x的不等式>0的解集是(－1，2)，则ab＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 11．已知关于x的不等式ax2－2x＋a<0在(0，＋∞)上有解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 12．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________. 13．(数学与生活)如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________. 14．(数学与生活)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f (x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260 元，求x的取值范围． 答案解析 1、B　解析：A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，所以A∩B＝(－1，0)．故选B． 2、D　解析：由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3.故选D． 3、B　解析：方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝，因为a<0，所以<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为. 4、ABD　解析：由题意得，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根， 由根与系数的关系，得解得 所以ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故ABD正确． 5、B　解析：设f (x)＝x2－2(m＋1)x＋m， 若满足A⊆B，则需满足 即 解得－1＜m＜0. 故实数m的取值范围是(－1，0)． 6、(－1，0)　解析：因为<－1，等价于<0，等价于x(1＋x)<0，解得－1<x<0，所以不等式<－1的解集是(－1，0)． 7、1(或2，3)　解析：由题意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为1(也可取2，3)． 8、(1)(1，4)　解析：当a＝－6时，不等式为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，故不等式的解集为(1，4)． (2)(－∞，－5)∪(3，＋∞)　解析：不等式x2＋(a＋1)x＋4<0的解集非空，则Δ>0，即(a＋1)2－16>0，解得a<－5或a>3，故实数a的取值范围是(－∞，－5)∪(3，＋∞)． 9、解：(1)因为函数f (x)＝ax＋－3，所以不等式xf (x)<4，即为ax2－3x＋2<0.由不等式的解集为{x|1<x<b}，可得1＋b＝，且1×b＝，解得a＝1，b＝2. (2)由(1)得a＝1，b＝2，则关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c＝2时，不等式即(x－2)2<0，它的解集为∅； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c，2)； 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c)． 10、B　解析：因为sin x－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2.由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故ab＝2.故选B． 11、A　解析：由x∈(0，＋∞)，ax2－2x＋a<0，可得a<在(0，＋∞)上有解．令f (x)＝，则f (x)＝＝1，当且仅当x＝1时取等号，所以a<1. 12、解析：不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6，或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中，满足题意． 13、(0，1)　解析：易知0<x<3，则中间草坪的长为(8－2x)米，宽为(6－2x)米，根据题意可得(8－2x)·(6－2x)>×8×6，整理得x2－7x＋6>0，即(x－6)(x－1)>0，解得x<1或x>6.结合0<x<3，可得0<x<1，故所求花卉带宽度x的取值范围为(0，1)． 14、解：(1)由题意得y＝100＝40(10－x)(25＋4x)． 因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2. 所以y＝f (x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得. 又由(1)知，0≤x≤2，所以≤x≤2，故x的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$