第一章预备知识 第三节不等式的性质与基本不等式随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第1章　 预备知识 第三节　不等式的性质与基本不等式 1．(2024·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 2．设a>0，则a＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 　) A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 4．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　) A．[9，18] B．(15，30) C．[9，30] D．(9，30) 5．(2024·日照模拟)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 6．(2024·潍坊质检)给出下列命题： ①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a2>b2；④|a|>b⇒a2>b2. 其中正确的命题是________. 7．的最小值为______. 8．(2024·菏泽模拟)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________. 9．(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m，东西的人行通道宽4 m，如图所示(图中单位：m)．问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 10．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，4] B．(0，2] C．(－∞，4] D．(－∞，2] 11．(2024·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品(　　) A．大于20克 B．小于20克 C．大于等于20克 D．小于等于20克 12．(多选题)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则(　　) A．－6≤a－b≤2 B．7≤ab≤15 C．32≤a2＋b2≤50 D．2a＋8b的最小值为128 13．已知a>1，且(a－1)(b－1)＝4，则a＋b的最小值是________. 14．写出一个关于a与b的等式，使是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________. 15．(2024·聊城模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________. 16．某市计划建设一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅．如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝30 米，OE＝x米，x∈[14，20]. (1)试用x表示S，并求S的取值范围； (2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f (S)，并求当OE为何值时总造价W最低． 答案解析 1、A　解析：因为P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q. 2、D　解析：a＋＝5，当且仅当a＝，即a＝2时取等号．故选D． 3、B 4、D　解析：因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.因为6<a<10，所以9<c<30. 5、B　解析：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为2，圆柱的侧面积为S＝2πr×2＝4πr≤4π×＝8π，当且仅当r＝，即r＝时，等号成立．故选B． 6、②　解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足题意，故①错误；对于②，因为a>|b|≥0，故a2>b2，故②正确；对于③，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③错误；对于④，取a＝1，b＝－2，满足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④错误． 7、9　解析：＝5＋＝9，当且仅当，即x＝4y>0时，等号成立，所以的最小值为9. 8、2　解析：2x＋4y≥2，当且仅当x＝2y，即x＝时取等号． 9、解：设矩形停车场东西侧边长为x m(x>0)，则其南北侧边长为 m，人行通道占地面积为S＝(x＋6)·－1 200＝8x＋＋48＝2×240＋48＝528，当且仅当8x＝，即x＝30时，等号成立，故S min＝528 m2，此时＝40.所以，设计矩形停车场东西侧边长为30 m，南北侧边长为40 m，人行通道占地面积最小为528 m2. 10、C　解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥m等价于m≤，即m≤.又因为＝4，当且仅当，即x＝4y时，等号成立，所以m≤4，故m的取值范围是(－∞，4]. 11、C　解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，故x＋y＝＝20，当且仅当a＝2b时取等号．故选C． 12、AC　解析：对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于C，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64＝2(a－4)2＋32，由1≤a≤5，得32≤2(a－4)2＋32≤50，故C正确；对于D，2a＋8b＝2a＋23b≥2，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时，等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与1≤a≤5矛盾，故D错误．故选AC． 13、6　解析：由题意，得b>1，则a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2＋2＝6(当且仅当a－1＝b－1，即a＝b＝3时取等号)，故a＋b的最小值是6. 14、a2＋b2＝1　解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件． (a2＋b2)＝1＋9＋＝16， 当且仅当b2＝3a2时取等号，所以是一个变量，且它的最小值为16. 15、8　解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y＝时，等号成立． 16、解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝x米，DE＝(30－x)米，所以S＝EF·DE＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225.因为x∈[14，20]，所以S∈[200，225].故S＝－(x－15)2＋225，S∈[200，225]. (2)由题意得，矩形展厅的造价为·S，绿化区(题图中阴影部分)的造价为·(450－S)，所以W＝·(450－S)＝25k·k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时，等号成立，所以W＝f (S)＝25k，当OE为18米时，总造价W最低． 学科网（北京）股份有限公司 $$