15.3分式方程 分层作业 2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版2024-2025学年八年级上册15.3分式方程（分层作业） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 夯实基础 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少推了5元钱车费，设原来参加游览的同学共人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 5．关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 6．若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程有增根，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 8．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 9．为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． 10．关于的分式方程无解，则的值为 ． 11．若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为 ． 12．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 13．解方程： (1) (2) 14．关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 15．班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千来行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/（） 续航里程： 每千米行驶费用：_______元 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）？ 16．为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 能力提升 17．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 18．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 19．解方程： ①的解为；    ②的解为； ③的解为；    ④的解为； …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 20已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 21．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设原来参加游览的同学共人，根据题意找出等量关系，即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的同学共人， 由题意得， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 6．C 【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，，为整数， 或， 所有满足条件的整数的和是．． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法． 7．D 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程有增根， 即 将代入整式方程，得：即 故选：D． 8．7 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：7． 9．两人每小时共种植7颗花苗 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确分析所列方程是解题的关键；根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗数的和为， 故应补上条件：两人每小时共种植7颗花苗； 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗． 10．或1 【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值． 【详解】解：， 去分母得，，整理得， ∵分式方程无解， ∴无解或者的解是分式方程的增根， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 11． 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据分式方程的解为非负整数以及分母不为0得到且，据此求出符合题意的m的值，再求和即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数，且， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4， ∵， ∴所有符合条件的正整数m的和为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解分式方程得到，利用分式方程的解为非负整数和得到，，从而得到结果． 【详解】解：解不等式 得 解得 一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， 解得， 解 解得， 关于的分式方程的解为非负整数， 为非负整数，且 则 又 解得，， 整数的值之和为：． 故答案为：． 13．(1) (2)原分式方程无解． 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，可得：， 移项、合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2） 方程两边同乘以， 得：， 去括号，可得：， 移项、合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 14． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论． 【详解】解：解方程得； 经检验是方程的解； ∵两方程的解相同； ∴将代入方程中得， 解得， 经检验是方程的解 ∴． 15．(1)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每干米行驶费用为元 (2)当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， ， 解得． 经检验，是原分式方程的解， （元），（元）． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每干米行驶费用为0.12元． （2）解：设每年行驶里程为． 由题意，得， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 16．(1)m的值是120 (2)的最小值是70 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）品牌足球的进价为元/个，B品牌足球的进价为元/个，再根据每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的列出方程求解即可； （2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； （2）解：元/个，元/个， ∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值是70． 17． 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识，根据题意确定的取值范围是解题的关键．首先根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，结合题意可得，且，进而可得且；再解不等式组，可得，根据该不等式组有且只有3个整数解，即可确定的取值范围，进一步确的整数解，即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵关于的方程有正整数解， ∴，且， 解得且， 解不等式组， 可得， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解， ∴，解得， ∴且， 又∵关于的方程有正整数解，即为正整数， ∴的整数解为，， ∴有整数的和为． 故答案为：． 18．13 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题关键．先根据不等式组无解求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数得且，最后根据为整数，为非负整数，确定出符合条件的所有整数，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组无解 分式方程去分母得： 分式方程的解为非负整数 且 且 解得：且 为整数，为非负整数 ，5，7 符合条件的所有整数的和为： 故答案为：13． 19．(1)第⑤个方程为，解为；第⑥个方程为，解为 (2)第n个方程为，． 【分析】本题主要考查解分式方程及应用和数字的变化规律，熟练掌握分式方程的解法及理解题中规律是解题关键． （1）观察或直接求解①②③中的方程的解；根据前三个方程的规律可得第⑤、⑥个方程及其解； （2）根据（1）中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：观察可知： 左边分子是正整数n，右边分子是左边分子的2倍． 右边整体比左边多了． 解x的值与方程左边的分子n存在的关系． 所以，第⑤个方程为，解为； 第⑥个方程为，解为； （2）解：第n个方程为， 去分母，得解为 经检验，是原方程的解 ∴原方程的解为 20．(1)，理由见解析 (2)①；0或1或3 【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键． （1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可； （2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3． 【详解】（1）当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 21．(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$