江苏省连云港新海实验中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（ ） A. 大于1 B. 小于1 C. 大于2 D. 小于2 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为（ ） A. 36° B. 38° C. 40° D. 42° 7. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 一组数据为1，，3，2，则这组数据的极差是__________． 10. 写出一个解为1和2的一元二次方程：___________________． 11. 公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试，三项成绩分别为72分、50分、88分．若这三个分数依次按的比例确定综合成绩，则该应聘者的得分为________分． 12. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE=110°，则∠A的度数是________． 13. 如图，在中，直径，垂足为，，，则的长度为________． 14. 是一元二次方程的一个根，，则的值是________． 15. 若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______． 16. 对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为__________________． 17. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______． 18. 如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答） 19. 解方程： （1） （2）． 20. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根． 22. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． （1）求证； （2）若，，求的度数． 23. 某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过，求降价的百分率． 24. 用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． （1）如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； （2）如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． （2）若方程是“和谐方程”，求m的值． （3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 26. 已知是的两条弦，且． （1）如图①，是的直径．求证； （2）如图②，连接．请用无刻度的直尺作出的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图③，四边形是的内接四边形，．若的半径为6，，且，则的长度为 ． 27. 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，． （1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】 （2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 2024－2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】x2-3x+2=0 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】40 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】4 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】， 【17题答案】 【答案】3或 【18题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 解：选择八年级参赛，因为七年级和八年级的平均成绩相同，但是八年级的众数比七年级的大，所以八年级参赛学生的成绩较好，从方差角度看，八年级的方差比七年级的小，所以八年级的成绩更稳定．选八年级代表学校参加比赛．（或七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好，选七年级代表学校参加比赛．） 【21题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有实数根； （2）或 【22题答案】 【答案】（1） 证明：四边形内接于圆， ， ， ； （2） 【23题答案】 【答案】 【24题答案】 【答案】（1） 如图，作的平分线即为所求． （2）如图， 【25题答案】 【答案】（1）②③ （2） （3）（或） 【26题答案】 【答案】（1） 证明：如下图，连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，即为所求， （3） 【27题答案】 【答案】 （1）， ， ， ， 视角最大，站在此处观赏最理想． （2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $