5．3 诱导公式（六大题型）（精练）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．3 诱导公式 目录 【题型归纳】 2 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 2 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 3 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 4 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 5 题型五：诱导公式的综合应用 7 题型六：利用互余互补关系求值 9 【重难点集训】 11 【高考真题】 17 【题型归纳】 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 1．（2024·高一·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 2．（2024·高一·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 3．（2024·高一·甘肃庆阳·期中）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 故选：C． 4．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 5．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为第四象限的角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为第四象限的角，且，即， . . 故选：A. 6．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，且α是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即， 因为是第四象限角，所以， 所以. 故选：B 7．（2024·高一·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 8．（2024·高一·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，，即， 则. 故选：B. 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 9．（2024·高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【解析】（1）． （2）. 10．（2024·高一·重庆万州·开学考试）求值：已知. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值． 【解析】（1） （2）， , ，是第二象限角，． 所以 . 11．（2024·高一·福建莆田·期末）化简求值： (1)已知，且为第四象限的角，求的值． (2)已知，求的值． 【解析】（1），且为第四象限的角 ， （2）原式 12．（2024·高一·全国·专题练习）已知 (1)化简的表达式； (2)求 【解析】（1）当为偶数，即时， ； 当为奇数，即时， ， 综上得. （2）由（1）知. 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 【解析】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 14．（2024·高一·上海·专题练习）在中，是钝角，设证明：. 【解析】证明：因为是钝角，所以都是锐角， 因为， 同理，所以, 所以 所以. 15．（2024·高一·全国·课后作业）证明 (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）证明：左边右边； （2）左边右边； （3）左边右边； （4）左边右边. 题型五：诱导公式的综合应用 16．（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）若选①，因为，所以， 则，解得：或， 因为角，所以； 若选②，因为，角， 所以， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 17．（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得， 所以， 所以 ； （2）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以 所以 . 18．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，且，求的值． 【解析】（1）由题意，，， 所以，，所以. （2）由题及第（1）小问可得，又，， 又，所以，所以， 所以. 题型六：利用互余互补关系求值 19．（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】/ 【解析】. 故答案为： 20．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 【答案】 【解析】， ， ， ， . 故答案为：. 21．（2024·高一·广西钦州·阶段练习）若是第四象限角，且, ． 【答案】 【解析】因为是第四象限角，所以， 所以，又，故在第四象限， ， 所以， 所以， 故答案为： 22．（2024·高一·全国·单元测试）已知，则的值为 【答案】 【解析】原式． 故答案为：． 23．（2024·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且，则 ． 【答案】/ 【解析】设,,那么,从而. 于是.因为, 所以.由,得. 所以, 所以. 故答案为：. 【重难点集训】 1．（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 2．（2024·高三·四川·开学考试），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 因此可得， 故选：D. 3．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知. 故选：D 4．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 5．（2024·高一·上海·课堂例题）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 对于A，，A是； 对于B，，B不是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：A 6．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，， 即. 故选：A. 7．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A．a B．－a C． D． 【答案】A 【解析】因. 故选：A. 8．（2024·全国·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又， 则，所以. 故选：D 9．（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，，所以， 则，， ，，则AC正确，BD错误. 故选：AC. 10．（多选题）（2024·高一·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 11．（多选题）（2024·高一·江苏扬州·期中）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．，成立的条件是是锐角 B．若，则． C．若，则 D．若，则， 【答案】CD 【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误． 当（）时，，此时， 当（）时，，此时，所以B错误． 若（），则，所以C正确． 将等式两边平方，得，所以或． 若，则，此时； 若，则，此时， 故，所以D正确． 故选：CD 12．（2024·高一·全国·课堂例题）已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【解析】因为角的终边过点， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 13．（2024·高一·湖南怀化·期末）化简： ． 【答案】 【解析】 故答案为： 14．（2024·高一·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ． 【答案】/ 【解析】因为是角α终边上一点，所以， 原式， 故答案为：． 15．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，且，求的值． 【解析】根据题意可得， 所以． 16．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，且是第三象限角，求的值． 【解析】因为是第三象限角，所以是第二象限角，则， 又，所以是第二象限角， 可得， 所以 ． 17．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，求. 【解析】 ． 18．（2024·高一·河南南阳·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求P的坐标. 【解析】（1）因为点在单位圆上且，所以，得. 即，且由三角函数定义知，，， 故. （2）由题意：， ， 故. 19．（2024·高一·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 【解析】（1） 若角的终边过点，则， 所以 （2）若， 所以 【高考真题】 1．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B 2．（2024·海南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 4．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为所以或 所以或者 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．3 诱导公式 目录 【题型归纳】 2 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 2 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 2 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 2 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 4 题型五：诱导公式的综合应用 4 题型六：利用互余互补关系求值 5 【重难点集训】 6 【高考真题】 8 【题型归纳】 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 1．（2024·高一·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·甘肃庆阳·期中）（    ） A． B．0 C． D． 4．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 5．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为第四象限的角，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，且α是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 9．（2024·高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 10．（2024·高一·重庆万州·开学考试）求值：已知. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值． 11．（2024·高一·福建莆田·期末）化简求值： (1)已知，且为第四象限的角，求的值． (2)已知，求的值． 12．（2024·高一·全国·专题练习）已知 (1)化简的表达式； (2)求 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 14．（2024·高一·上海·专题练习）在中，是钝角，设证明：. 15．（2024·高一·全国·课后作业）证明 (1) (2) (3) (4) 题型五：诱导公式的综合应用 16．（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 17．（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 18．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，且，求的值． 题型六：利用互余互补关系求值 19．（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则等于 ． 20．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 21．（2024·高一·广西钦州·阶段练习）若是第四象限角，且, ． 22．（2024·高一·全国·单元测试）已知，则的值为 23．（2024·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且，则 ． 【重难点集训】 1．（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·四川·开学考试），则（ ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·上海·课堂例题）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A．a B．－a C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高一·江苏扬州·期中）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．，成立的条件是是锐角 B．若，则． C．若，则 D．若，则， 12．（2024·高一·全国·课堂例题）已知角的终边过点，则 ． 13．（2024·高一·湖南怀化·期末）化简： ． 14．（2024·高一·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ． 15．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，且，求的值． 16．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，且是第三象限角，求的值． 17．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，求. 18．（2024·高一·河南南阳·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求P的坐标. 19．（2024·高一·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 【高考真题】 1．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$