5．3 诱导公式（六大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．3 诱导公式 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sin α _______ _______ ______ ______ ______ 余弦 cos α _______ _____ _______ _____ _______ 正切 tan α _____ _______ －tan α     口诀 奇变偶不变，符号看象限 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α －tan α 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故选：A 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 故选：C 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，那么约等于（    ） A．0．20 B．0．80 C．0．88 D．0．95 【答案】A 【解析】． 故选：A． 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得， 又， 故选：A． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以． 故选：A 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ． 根据三角函数定义． ． 故选：D． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 典型例题 【典例4-1】证明：． 【解析】左边右边， 所以． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明：． 【解析】左边= = 右边，故原等式成立． 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，证明：． 【解析】证明：左边， 右边， ∵，，∴，故，左边右边， 故． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业） 证明： 【解析】证明：原式 ． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点． （1）求； （2）求的值． 【解析】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ，， （2）由诱导公式，得 ． 题型五：诱导公式的综合应用 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）计算求值． （1） （2）若，且，求下列式子． （i） （ii）． 【解析】（1）由于， 所以． （2）（i）由，，得，， 所以． （ii）． 题型五：诱导公式的综合应用 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）依题意，， 则，，， 所以原式． （2）由（1）知，， 所以原式． 题型五：诱导公式的综合应用 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 【解析】由题意，因为， 所以， ． 故答案为：①，②． 题型六：利用互余互补关系求值 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ， 所以． 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 题型六：利用互余互补关系求值 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以 ． 故答案为：． 题型六：利用互余互补关系求值 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B C A B ＋α －α $$ 5．3 诱导公式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 4 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 5 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 6 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 8 题型五：诱导公式的综合应用 9 题型六：利用互余互补关系求值 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 知识点二：诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【典型例题】 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 【典例1-1】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，那么约等于（    ） A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.95 【变式1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）的值为 （    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 【典例2-1】（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式2-1】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·全国·课后作业）在中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 【典例3-1】化简： (1)； (2)． 【典例3-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课前预习）化简：． 【变式3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【变式3-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知． (1)化简， (2)若，求的值． 【变式3-4】（2024·高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 【典例4-1】证明：． 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明:. 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，证明：． 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明： 【变式4-3】（2024·高一·上海·假期作业）已知为的内角， （1）证明：. （2）若，求A， （3）证明： 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）证明：，． 题型五：诱导公式的综合应用 【典例5-1】（2024·高一·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【典例5-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式5-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【变式5-3】（2024·高一·江苏·假期作业）已知角的终边经过点，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-4】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知，且是第三象限角. (1)求cos，tan的值； (2)求. 【变式5-5】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 (1)化简； (2)若，求､的值； (3)若，求的值. 题型六：利用互余互补关系求值 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【典例6-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式6-1】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 【变式6-2】（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）已知，且，则 ． 【变式6-3】（2024·高一·湖南株洲·开学考试）已知且，则 ． 【变式6-4】（2024·高一·贵州铜仁·期末）已知，则 ． 【变式6-5】（2024·高一·江苏南京·期末）已知，则的值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．3 诱导公式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 4 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 6 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 8 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 11 题型五：诱导公式的综合应用 13 题型六：利用互余互补关系求值 17 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 知识点二：诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【典型例题】 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 【典例1-1】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，那么约等于（    ） A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.95 【答案】A 【解析】. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 【变式1-3】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C. 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：C 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 【典例2-1】（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 【典例2-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式2-1】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 【变式2-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴ ∵α为第二象限角， ∴， ∴ ． 故选：A. 【变式2-3】（2024·高一·全国·课后作业）在中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因中，，则， 则， 因，则，故. 故选：C. 【变式2-4】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 【典例3-1】化简： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） . 【典例3-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 【解析】（1）. （2）. 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课前预习）化简：． 【解析】原式 ． 【变式3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ； （2）当，（）时， 原式； 当，（）时， 原式． 故原式． 【变式3-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知． (1)化简， (2)若，求的值． 【解析】（1）， 即. （2）由题意，且，则. 于是. 【变式3-4】（2024·高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 【典例4-1】证明：． 【解析】左边右边， 所以． 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明:. 【解析】左边= = 右边，故原等式成立. 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，证明：． 【解析】证明：左边， 右边， ∵，，∴，故，左边右边， 故. 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明： 【解析】证明：原式. 【变式4-3】（2024·高一·上海·假期作业）已知为的内角， （1）证明：. （2）若，求A， （3）证明： 【解析】（1）在中，∵，∴. ∴ （2）， （3） 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）证明：，． 【解析】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 题型五：诱导公式的综合应用 【典例5-1】（2024·高一·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【解析】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 【典例5-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【解析】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）依题意，，则，，， 所以原式. （2）由（1）知，， 所以原式. 【变式5-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【解析】（1） （2）由（1）得， 所以. （3）由（1）得，令，则， 则， ，又， 得，代入，计算得：， 当为第二象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即. 【变式5-3】（2024·高一·江苏·假期作业）已知角的终边经过点，． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）点到原点的距离. 由三角函数定义有. （2） . 【变式5-4】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知，且是第三象限角. (1)求cos，tan的值； (2)求. 【解析】（1）因为，且是第三象限角， 所以，； （2）由（1）知：. 【变式5-5】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 (1)化简； (2)若，求､的值； (3)若，求的值. 【解析】（1） （2）因为，所以为第三象限角或第四象限角. 当为第三象限角时，； 当为第四象限角时，. （3）因为，所以. 因为，所以. 故. 因此. 题型六：利用互余互补关系求值 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 【解析】由题意，因为， 所以， . 故答案为：①，②. 【典例6-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式6-1】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， . 故答案为： 【变式6-3】（2024·高一·湖南株洲·开学考试）已知且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 所以，所以 所以， 因为 ，所以， 所以， 故答案为： 【变式6-4】（2024·高一·贵州铜仁·期末）已知，则 ． 【答案】/0.8 【解析】因为，， 所以， 故答案为：. 【变式6-5】（2024·高一·江苏南京·期末）已知，则的值是 . 【答案】 【解析】由于， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$