精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（A）

2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题（A） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列选项中，与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D 2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与之间的关系式可得结论. 【详解】若可得得一个焦点坐标为，即充分性成立； 若“点为C的一个焦点”，则可得，即，可知必要性成立， 因此，“”是“点为C的一个焦点”的充要条件. 故选：C 3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量找到三点的关系，设所求点的坐标，由三点关系得到的坐标，然后代入曲线，得到点N的轨迹方程. 【详解】∵，∴三点共线，且 又∵轴， ∴设，则，， ∵点在上， ∴，即. 故选：B. 4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，直线截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解. 【详解】因为不全为零的实数、、满足， 则直线的方程可化为，即， 由可得，即直线过定点， 因为，即点在圆内， 圆的圆心为原点，半径为， 当时，圆心到的距离取最大值，且最大值为， 所以，直线被圆截得的弦长的最小值为. 故选：B. 5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ） A. 10 B. 49 C. 50 D. 1201 【答案】D 【解析】 【分析】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求. 【详解】椭圆C：的一个焦点为，过点， ∴，∴ ，∴. 故选：D. 6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知列方程组求得，再由离心率公式计算． 【详解】点在C上，右焦点为，， 则，解得， 所以离心率为， 故选：A． 7. 直线l：与圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中，得到， 由面积求出的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出的值，得到椭圆方程. 【详解】∵，∴， ∵，∴设， 则， ∴， ∴，∴， ∵， ∵， ∴， ∴椭圆方程为：. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ） A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】CD 【解析】 【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆. 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ） A. l与圆A相交 B. 当点P，A，B共线时， C. 时，的面积为2或6 D. 满足的点P恰有2个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案； 对于B，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案； 对于C，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案； 对于D，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案. 【详解】对于A，由抛物线，即，则准线， 由圆整理可得，则圆心，半径， 由圆心到直线的距离为，则圆与直线相切，故A错误； 对于B，由题意作图如下： 由共线，且，当时，，则，， ，，故B正确； 对于C，由，则令，，解得， 当时，的高为，面积为，如下图： 当时，的高为，面积为，如下图： 故C正确； 对于D，由题意可作图如下： . 由抛物线整理可得，则其焦点，易知， 由直线的斜率，线段中点， 则线段的中垂线方程为，整理可得， 联立，消可得，， 所以线段中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ） A. 双曲线的离心率 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若，则的渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用可得，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率，知A正确；根据斜率关系可知直线为双曲线的一条渐近线，利用可构造方程求得B正确；分别利用和可构造方程求得CD正误. 【详解】 对于A，，，，， ，，又与第二象限内的渐近线交于点， ，即，，，A正确； 对于B，由A知：，又，， 直线即为双曲线的一条渐近线， ，，又， ，， ， ，， ，整理可得：， ，，， 即，解得：，的渐近线方程为，B错误； 对于C，，， ，， ，整理可得：，即， ，，的渐近线方程为，C正确； 对于D，，，， ， ，， ，整理可得：， ，，，的渐近线方程为，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与x轴相切，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案. 【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径， 由圆与轴相切，则，解得. 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点坐标和的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果. 【详解】∵圆的标准方程：， ∴圆心为，半径， ∴，即，即抛物线C：， 联立方程组， 解得或（∵舍去） ∴ ∴或 ∵直线与轴重合，∴点到直线的距离为， 由对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等， ∴取，直线， ∴点到直线的距离， 故答案为：①4 ② 14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案. 【详解】由椭圆，则，， 易知为椭圆的左右焦点， 由为椭圆上的点，则，可得， 所以，联立，解得， 当时，取得最小值，则取得最小值 如下图： ； 当时，取得最大值，则取得最大值，如下图： . 所以的最大值与最小值的比值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. （1）求C的面积； （2）若直线l：交C于A，B两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解. 【小问1详解】 由椭圆C的方程可知，， 所以，椭圆C的面积； 【小问2详解】 联立，得， 设，则，， ∴， 所以，. 16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】根据与同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式求解出的值. 【详解】解：将直线与椭圆联立， 消去可得， 因为直线与椭圆相交于点， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为，易知，， 则，， 所以，解得或(舍去)， 故. 17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形. （1）求的周长的取值范围： （2）求的面积S的最大值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义得到的周长为，设，且，求出，求出周长的取值范围； （2）表达出，结合，得到面积的最大值. 【小问1详解】 由题可得，， 则，故， 所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为， 连接，由对称性可知，， 故， 则的周长为， 设，， 因为三点构成三角形，故不共线，所以， 故且， 则， 因为，故， 所以的周长； 【小问2详解】 ， 不共线，故， 所以，S的最大值为12. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得． 【小问1详解】 由题可知，其中，所以, 又点在椭圆上，所以，即，解得， 所以椭圆E方程为． 【小问2详解】 由椭圆的方程，得， 所以， 设，其中，因为， 所以， 又点在椭圆上，所以， 联立方程组，得， 解得或（舍）， 当时，，即或． 所以当的坐标为时，直线的方程为； 当的坐标为时，直线的方程为． 综上，直线的方程为或. 19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）曲线C存在切立方，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. 【小问1详解】 根据“切立方”的定义，设直线方程，可得 ，， ， ，； 【小问2详解】 由正方形A的方程为，则， 由正方形A为双曲线的一个“切立方”， 则，联立整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以 【小问3详解】 由曲线，设切点为， 联立， 得， 即， 点在曲线和直线上，整理得， 则过该点的一条切线方程为， 即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”， 则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：， 设第三个切点为（），同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即， 由此可设，， 代入消元可得， 设， 由，，且在上，函数图象连续不间断， 则由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线C存在切立方. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题（A） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列选项中，与直线平行直线是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（ ） A B. C. D. 5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ） A. 10 B. 49 C. 50 D. 1201 6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 直线l：与圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截一个圆柱侧面，可以得到以下哪些图形（ ） A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆 10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ） A. l与圆A相交 B. 当点P，A，B共线时， C. 时，的面积为2或6 D. 满足的点P恰有2个 11. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ） A. 双曲线的离心率 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若，则的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与x轴相切，则__________. 13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________. 14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. （1）求C的面积； （2）若直线l：交C于A，B两点，求. 16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值. 17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形. （1）求的周长的取值范围： （2）求的面积S的最大值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $