2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第7章 图形的变化微专题10 几何最值问题课件

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 微专题十 几何最值问题 (省卷：5年3考；兰州：2024.27) 两点之间线段最短(含将军饮马) 一、“两定一动”(“两点一线”)模型 类型 1 1 问题 在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小；|PA－PB|最大 类型 直接连两定点 先作其中一点的对称点再连线 线段和最小 (PA＋PB最小) 线段差最大 (|PA－PB|最大) 模型巧记：“两点一线”模型简记为：线段和最小，异侧直接连，同侧找对称；线段差最大，同侧直接连，异侧找对称 例 1 C 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在两个定点(点C和点D) 特征2：动点是否在定线段上(定线段AB；动点P) 特征3：是否求两定点和动点连线的最值(PC＋PD的最小值) 作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′，交线段AB于点P′，连接P′D，DD′，PD′. 当C，P，D′三点共线时，即点P与点P′重合时，PC＋PD的值最小，最小值为CD′的长 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，点E为边AB的中点，点P为对角线BD上一点，则|PC－PE|的最大值为(　 　) 例 2 A 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在两个定点(点C和点E) 特征2：动点是否在定线段上(定线段BD；动点P) 特征3：是否求两定点和动点连线的最值(|PC－PE|的最大值) 作点C关于BD的对称点C′，与点A重合，连接C′P. 当A，E，P三点共线时，|PC－PE|取得最大值，最大值为AE的长 1．[2024广安]如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为______． 2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为__． 4 二、“一定两动”(“一点两线”)模型 问题 如图，P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小 方法 模型巧记：在用“一点两线”模型确定最值时，OP长为定值 如图，∠ACB＝30°，点P是∠ACB内部一点，且CP＝6，G，H分别是射线CA和CB上的动点，连接PG，PH，GH，则△PGH周长的最小值为__． 例 3 6 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在定角(定角： ∠ACB) 特征2：是否存在定线段长且另一点在角的内部(定线段长： CP；另一点：点P) 特征3：是否求最值(△PGH周长的最小值) 分别作点P关于CA，CB的对称点P′，P″，连接P′P″与CA，CB分别交于点G1，H1.当P′，G，H，P″四点共线时，△PGH的周长最小，最小值为线段P′P″的长 3．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是______． 4．如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与直线y＝－x＋5交于B，C两点，已知点D的坐标为(0，3)．点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则△DMN周长的最小值是________． 三、“两定两动”(“两点两线”)模型(省卷：2024.27) 问题 点P，Q是∠AOB内部的两个定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小 已知直线a∥b，点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N为直线a，b上的动点，且MN⊥a，求AM＋MN＋NB的最小值 方法 结论：利用“两点之间，线段最短”可得AM＋MN＋NB的最小值为A′B＋MN的值 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝2，AF＝1.点G，H分别是边BC，CD上的动点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH周长的最小值为__________． 例 4 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：定角内是否存在两定点(定角：∠DCB；两定点：点E和点F) 特征2：动点是否在定线段上(点G和点H分别在边BC，CD上) 特征3：是否求最值(四边形EFGH周长的最小值) 作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，EE′，FF′，E′H，GF′，其中E′F′交BC于点G′，交CD于点H′. 当E′，H，G，F′四点共线时，四边形EFGH的周长最小，最小值为EF＋E′F′的长 如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为_______． 例 5 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在两定点(点D和点B) 特征2：动点在定线段上的距离是否固定(定线段：线段AC；动点：点E，点F；距离：EF＝1) 特征3：是否求最值(DE＋BF的最小值) 将点D沿AC方向平移1个单位长度至点G，连接DG，BG，BD，FG，BD与AC交于点O，BG与AC交于点F′，BG的长为所求线段和的最小值 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为(　 　) D 6.[2024新疆]如图，抛物线y＝ x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为__________． (4，1) 垂线段最短 类型 1 2 基础模型 问题 点A是直线l外一定点，点B是l上一动点，求AB的最小值 方法 当AB⊥l时，AB的值最小 拓展模型 问题 如图，点M是平面内一定点，点P，N分别是AC，AB上一动点，求MP＋PN的最小值 方法 作点M关于AC的对称点M′，过点M′作AB的垂线，分别交AC，AB于点P，N，则MP＋PN的最小值即为M′N的长 模型巧记：求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上，结合垂线段最短解决问题 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点，若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为(　 　) A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 例 6 A 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在一个定点(点D) 特征2：动点是否在定线段上(线段AB；动点E) 特征3：是否求定点和动点连线的最值(DE的最小值) 过点D作DE⊥AB，当DE⊥AB时，DE最小 7．如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点，则AQ＋QP的最小值为_____． 二、“胡不归”模型 问题 已知A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，求kPA＋PB(0<k<1)的最小值   方法 构造射线AC，使得sin∠CAP＝k，过点P作PG⊥AC于点G，则PG＝PA·sin∠CAP＝kPA.∴kPA＋PB＝PG＋PB.过点B作BH⊥AC于点H，则kPA＋PB＝PG＋PB≥BH，∴kPA＋PB的最小值为线段BH的长(此时，B，P，G三点共线) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，P是对角线BD上的一个动点，则 BP＋PC 的最小值是_____． 例 7 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在直线上一定点和一动点(定点：点B，动点：点P) 特征2：直线外是否存在一定点(点C) 特征3：是否求一动点和两定点构成线段和的最小值， 且一条线段带系数(BP＋PC ) 过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F. CF为所求线段和的最小值 C 逆等线模型(省卷：2023.27/2022.28；兰州：2024.27) 类型 1 3 概念 一般情况下：①题目中有双动点；②有两个没有首尾相连的等线段，一般通过平移或作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题 问题 已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的动点，且AD＝CE，求BE＋CD的最小值   方法 将△ADC拼接到△CEF，连接BF.∴△ADC≌△CEF，∴CD＝EF， ∴BE＋CD＝BE＋EF≥BF，∴BE＋CD的最小值为线段BF的长 总结 动点运动过程中有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处作平行线或其他辅助线，构造全等三角形，一般都是利用一边一角构造全等，且全等条件都是SAS，将两定两动转化为两定一动，从而将要求的两条线段拼接到一起，根据两点之间线段最短求解 模型巧记：过定点，作定角，截定长，构全等，得最值 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD＝CE，则CD＋BE的最小值是(　 　) 例 8 C 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否有双动点(动点：点D，E) 特征2：是否有两个没有首尾相连的等线段(等线段：AD＝CE) 特征3：是否求两动点和两定点构成线段和的最小值 (CD＋BE的最小值) 作CK∥AB，使得CK＝CA，连接KE，作BG⊥KC交KC的延长线于点G，连接BK，∴△CKE≌△ACD(SAS)，∴CD＝KE，∴CD＋BE＝KE＋BE≥BE，∴CD＋BE的最小值为BK的长 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，求DE＋CF的最小值． 解：如解图，延长DA到点G，使DG＝DB， 连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3， ∠BAD＝∠GDC＝90°， ∴∠GDF＝∠DBE. ∵DF＝BE，DG＝BD， ∴△DGF≌△BDE(SAS)， 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，3)，点D，E分别是线段AB，BC上的动点，连接AC，AE，CD，当CE＝BD时，求AE＋CD的最小值． 解：由题意可知，OA＝OC＝3，OB＝4，∴BC＝5. 如解图，过点C作CF平行于x轴，且CF＝BC，连接EF，AF. ∵CF平行于x轴，∴∠FCE＝∠CBD， 又∵CE＝BD，CF＝BC，∴△CFE≌△BCD(SAS)， ∴EF＝CD， ∴AE＋CD＝AE＋EF≥AF， ∴AE＋CD的最小值为AF的长． 过点F作FG⊥x轴，交x轴于点G. 在Rt△AGF中，AG＝3＋5＝8，FG＝CO＝3， ▱ 5 2 ＋5 2 $$