2025年甘肃中考数学一轮复习 命题探究 课件 第26讲　尺规作图

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 核心素养：空间观念、推理能力、几何直观、抽象能力 一、思维导图 第七章 图形的变化 二、考情分析 甘肃中考近三年考查情况   省卷 兰州卷 年份/分值 2024/15分 2023/11分 2022/8分 2024/6分 2023/15分 2022/12分   尺规作图 20.三等分圆 (1)根据作图 步骤作图 (2)求三角形 的周长 5.与尺规作图痕迹有关的计算 20．四等分圆(根据作图 步骤作图) 21.三等分角 (1)根据作图步骤作图 (2)求角之间 的关系 23.作直角 (1)根据作图步骤作图 (2)填写作图依据 (3)尺规作图作直角 10.与尺规作图痕迹有关的计算(作平行线) 12．与尺规作图痕迹有关的计算 21．作角平分线 (1)填写作图依据 (2)说明作图理由 (3)尺规作图作角平分线 22.确定圆心 (1)三角板作圆心 (2)三角板作圆心 (3)尺规作图作圆心，并说明理由 甘肃中考近三年考查情况   省卷 兰州卷 年份/分值 2024/15分 2023/11分 2022/8分 2024/6分 2023/15分 2022/12分 视图与投影 2.主视图           图形的对称、 平移与旋转 14.轴对称图形的判断       15.正方形的旋转 3.轴对称图形 的识别 15．矩形的折叠 第26讲 尺规作图 (省卷：5年6考；兰州：3年5考) 1 考点梳理 2 甘肃5年中考真题及拓展 目录 CONTENTS ①能用尺规作图：作一条线段等于已知线段．(移至小学阶段学习) ②能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．(新增) ③*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线．(新增) 考点梳理 2022年版课标重要变化 基本尺规作图 考点 1 1 图示 步骤 作图原理 应用 (1)作射线OP； (2)在OP上截取OA＝a，OA即为所求线段 圆上的点到圆心的距离等于半径长 已知：线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 【自主作图】 1.作一条线段等于已知线段(已知线段a) 2.作一个角等于已知角(已知∠a) 3.作已知角的平分线(已知∠AOB) 图示 步骤 作图原理 应用 (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； (2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P； (3)作射线OP，OP即为所求角的平分线 三边分别相等的两个三角形全等； 全等三角形的对应角相等； 两点确定一条直线 已知：△ABC. 求作：△ABC的内切圆⊙O. 【自主作图】 4.作线段的垂直平分线(已知线段AB) 图示 步骤 作图原理 应用 (1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N； (2)过点M，N作直线MN，MN即为所求线段AB的垂直平分线 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线 已知：平面内不共线的A，B，C三点． 求作：⊙O，使得A，B，C三点均在圆上． 【自主作图】 5.过一点(P)作已知直线(l)的垂线 分类 图示 步骤 作图原理 应用 点 在 直 线 上 (1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧画弧，分别交直线l于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N； (3)过点M，N作直线MN，MN即为所求直线(l)的垂线 等腰三角形“三线合一”； 两点确定一条直线 已知：线段a，b. 求作：Rt△ABC，使得∠A为直角，BC＝a，AC＝b. 【自主作图】 分类 图示 步骤 作图原理 应用 点 在 直 线 外 (1)任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； (2)以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，交点M同侧于点N； (4)过P，N两点作直线PN，PN即为所求直线(l)垂线 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线 已知：直线l及直线l外一点A. 求作：⊙A，使⊙A与直线l相切． 【自主作图】 过直线外一点(O)作已知直线(l)的平行线(2022年版课标新增) 考点 1 2 作等角 作菱形 作中位线 作角平分线和等腰三角形 过圆外一点作圆的切线 (2022年版课标新增) 考点 1 3 图示 作法 (1)连接PO，分别以点P，O为圆心，大于 PO的长为半径画弧，两弧交于点M，N； (2)作直线MN，交PO于点A； (3)以点A为圆心，OA长为半径画圆，交⊙O于点Q，R； (4)连接PQ，PR，则射线PQ，PR即为所求 甘肃5年中考真题及拓展 与尺规作图痕迹有关的计算(省卷：2023.5；兰州：3年2考) 1．[2023兰州12题]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　 　) A．2　 B．2.5　 C．3　　 D．3.5 命题点 1 C　 2．[2023兰州10题]我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．(1)以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；(2)分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；(3)连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b.按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝(　 ) A．35°　 B．30° C．25°　 D．20° A　 与尺规作图有关的证明与计算(省卷：5年5考；兰州：3年3考) 类型1　基本尺规作图 3．[2020省卷21题]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA. (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作∠ABC的平分线交AD于点E； 命题点 2 解：如解图，BE即为所求． ②作线段DC的垂直平分线交DC于点F. 解：线段DC的垂直平分线交DC于点F，如解图． (2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系． 解：数量关系：EF＝ AC；位置关系：EF∥AC. 类型2　根据作图步骤作图 4．[2024省卷20题]马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M.作法如下： ①以点M为圆心，OM长为半径，作 弧交⊙O于A，B两点； ②延长MO交⊙O于点C； 即点A，B，C将⊙O的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如解图1，点A, B, C将⊙O的圆周三等分． (2)根据(1)画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2 cm，则△ABC的周长为_______cm. 5．[2023省卷20题]1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题： 如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹) ②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方的点E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点，即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分． 解：如解图，点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分． 6．[2022省卷21题]中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编(图1)，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线．   如图2，∠ABC为直角． 以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E； 以点D为圆心，以BD长为半径画弧与交于点F； 再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与交于点G； 作射线BF，BG. (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如解图，射线BF，BG即为所求． (2)根据(1)完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系． 解：∠DBG＝∠GBF＝∠FBE. 7．[2024兰州一诊23题]数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形． 如图，已知矩形ABCD.尺规作图完成“化矩形ABCD为正方形BPQR”问题．以下为作图过程： ①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB延长线于点E； ②分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN交AE于点F，则点F为AE的中点； ③以点F为圆心，AF长为半径画弧，交CB延长线于点P； ④以BP为边，在边BP右侧作正方形BPQR，即“化矩形ABCD为正方形BPQR”． (1)请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如解图，正方形BPQR即为所求． (2)根据已补充完整的图形解决问题： 在矩形ABCD中，已知AB＝5，AD＝1， 则BF＝____，PF＝____，进而求得正方形BPQR的边BP＝____． 由此可得S矩形ABCD＝S正方形BPQR，即达到“化矩形为方”的目的． 2 3 8.[2024兰州23题]观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下： ①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB； ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)； ③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D； ④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角． 操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC.请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC. 解：作∠DAC如解图1. 推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据： 证明：∵AB＝BC＝BD， ∴△ABC与△ABD是等腰三角形． ∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD.( 依据1 ) ∴∠BCA＋∠BDA＝∠BAC＋∠BAD＝∠DAC. ∵∠DAC＋∠BCA＋∠BDA＝180°，( 依据2 ) ∴2∠DAC＝180°. ∴∠DAC＝90°. 依据1：______________________________；依据2：___________________． 等边对等角(等腰三角形的性质) 三角形内角和定理 拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上．(保留作图痕迹，不写作法) 解：作∠POQ如解图2. 9．[2023兰州21题]综合与实践： 问题探究：(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线．如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线． 请写出OE平分∠AOB的依据： ____________________ ． 全等三角形对应角相等 类型3　根据几何图形性质作图 类比迁移：(2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．作法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线．请说明此作法的理由． 解：理由：∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC， ∴△OCM≌△OCN(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线． 拓展实践：(3)小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．(保留作图痕迹，不写作法) 解：如解图，点E即为所求． $$