北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

第 1页(共 24页) 2024-2025学年北京十五中九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共 16分,每题 2分)(每题均有四个选项,符合题意的选项只有一个) 1.(2分)抛物线 y=2(x﹣1)2+5的顶点坐标是( ) A.(1,5) B.(2,1) C.(2,5) D.(﹣1,5) 2.(2分)下列图案是我国国产品牌汽车的标识,其中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.(2分)下列说法中错误的是( ) A.等弧所对的弦相等 B.平分弦的直径垂直于弦 C.同弧或等弧所对的圆周角相等 D.90 的圆周角所对的弦是直径 4.(2分)下列关于函数 y=x2﹣1的结论中,正确的是( ) A.y随 x的增大而减小 B.当 x>0时,y随 x的增大而增大 C.当 x<0时,y随 x的增大而增大 D.当 x>0时,y随 x的增大而减小 5.(2分)小敏注意到中国文化遗产标志(如图 1)内的图案源自商周太阳神鸟金饰,图案分内外两层, 内层等距分布着十二条弧形齿状芒饰,外层图案由四只等距分布作引颈飞翔状的鸟构成,整个图案仿佛 四只神鸟裹着一只大火球顺时针滚转,暗示着太阳东升西落.如图 2,内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆 心 O旋转得到,则图中角 的度数为( ) 第 2页(共 24页) A.30 B.40 C.45 D.60 6.(2分)电影《志愿军:雄兵出击》于国庆档上映,首周累计票房约 3.5亿元,第三周累计票房约 6.8亿 元.若每周累计票房的增长率相同,设增长率为 x,根据题意可列方程为( ) A.3.5x2=6.8 B.3.5(1+x)=6.8 C.3.5(1+x)2=6.8 D.3.5(1﹣x)2=6.8 7.(2分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,∠CAB=40 ,则∠ADC的度数为( ) A.110 B.130 C.140 D.160 8.(2分)平面直角坐标系 xOy中,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直 线 x=1,给出下面四个结论:①a•b•c<0;②3a+c>0;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≤m(am+b)(m 为实数).上述结论中,所有正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共 16分,每题 2分) 9.(2分)在平面直角坐标系 xOy中,点 A(﹣1,2)关于原点对称的点的坐标是 . 10.(2分)一元二次方程 x2﹣49=0的根是 . 11.(2分)已知⊙O的半径为 4,若点 P在⊙O内,则 OP 4(填“>”“=”或“<”). 12.(2分)写出一个开口向下且过(0,1)的抛物线的表达式 . 13.(2分)若关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则 c的值为 . 14.(2分)如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点为 A,B,若∠AOB=90 ,PA=3,则⊙O的半径为 . 第 3页(共 24页) 15.(2分)已知点 P到⊙O上的点的最短距离为 3cm,最长距离为 5cm,则⊙O的半径为 cm. 16.(2分)已知一次函数 y1=kx+b(k≠0)和二次函数 的部分自变量和对应的函 数值如表: x … 1 2 3 4 5 … y1 … 0 1 2 3 4 … y2 … 0 ﹣1 0 3 8 … (1)二次函数的表达式为 ; (2)关于 x的不等式 ax2+bx+c<kx+b的解集是 . 三、解答题(共 68分,17-22每题 5分,23-26每题 6分,27-28每题 7分) 17.(5分)解方程:x2﹣4x+1=0. 18.(5分)已知二次函数 y=2x2﹣4x+6. (1)将 y=2x2﹣4x+6化成 y=a(x﹣h)2+k的形式; (2)抛物线 y=2x2﹣4x+6可以由抛物线 y=2x2经过平移得到,请写出一种平移方式. 19.(5分)下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线 l及直线 l外一点 P. 求作:直线 PQ,使 PQ∥l. 作法:如图, ①在直线 l上取一点 O,以点 O为圆心,OP长为半径画半圆,交直线 l于 A,B两点; ②连接 PA,以 B为圆心,AP长为半径画弧,交半圆于点 Q; ③作直线 PQ. 所以直线 PQ就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图过程, 第 4页(共 24页) (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接 PB,QB. ∵PA=QB, ∴ = . ∴∠PBA=∠QPB( )(填推理的依据). ∴PQ∥l( )(填推理的依据). 20.(5分)在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=x2﹣2x+c与 x轴的一个交点为 A(﹣1,0). (1)c= ; (2)画出函数 y=x2﹣2x+c的图象; (3)当﹣2<x≤2时,结合函数图象直接写出 y的取值范围. 21.(5分)已知关于 x的一元二次方程 x2﹣(m+2)x+m+1=0, (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)若此方程的一根是另一根的 2倍,求 m的值. 22.(5分)如图,AB是⊙O的弦,半径 OD⊥AB于点 C.若 AB=12,CD=2.求⊙O的半径的长. 23.(6分)已知:如图, ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 A1B1C1,点 A,B,C分别对应 点 A1,B1,C1. (1)根据点 A1和 B1的位置确定旋转中心是点 . (2)请在图中画出 A1B1C1; (3)请具体描述一下这个旋转: . 第 5页(共 24页) 24.(6分)如图,AC与⊙O相切于点 C,AB经过⊙O上的点 D,BC交⊙O于点 E,DE∥OA,CE是⊙O 的直径. (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)若 BD=4,CE=6,求 AC的长. 25.(6分)阅读理解: 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验,对函数 y=﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究,探究过程 如下,请补充完整: (1)自变量 x的取值范围是全体实数,x与 y的几组对应数值如表: x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中 m= ; (2)如图,在平面直角坐标系 xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出 该函数的图象; (3)根据函数图象,回答下列问题: ①当﹣1≤x<1时,则 y的取值范围为 ; ②直线 y=kx+b经过点(1,2),若关于 x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有 4个互不相等的实数根,则 b的 取值范围是 . 第 6页(共 24页) 26.(6分)在平面直角坐标系 xOy中,点(2,c)在抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)上,设该抛物线的对称 轴为直线 x=t. (1)求 t的值; (2)已知 M(x1,y1),N(x2,y2)是该抛物线上的任意两点,对于 m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,都 有 y1<y2,求 m的取值范围. 27.(7分)如图 1,在 Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC,点 D,E分别在边 AB、AC上,AD=AE,连 接 DC,点 M,P,N分别为 DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想:图 1中,线段 PM与 PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明:把 ADE绕点 A逆时针方向旋转到图 2的位置,连接 MN,BD,CE,判断 PMN的 形状,并说明理由; (3)拓展延伸:把 ADE绕点 A在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10.请直接写出 PMN面积的 最大值. 28.(7分)在平面直角坐标系 xOy中,给定⊙C,若将线段 AB绕原点 O逆时针旋转 (0 < <180 ), 使得旋转后对应的线段 A′B′所在直线与⊙C相切,并且切点 P在线段 A′B′上,则称线段 AB是 ⊙C的旋转切线段,其中满足题意的最小的 称为关于⊙C和线段 AB的最小旋转角. 已知 C(0,2),⊙C的半径为 1. (1)如图 1,A(2,0),线段 OA 是⊙C 的旋转切线段,写出关于⊙C 和线段 OA 的最小旋转角 为 ; (2)如图 2,点 A1,B1,A2,B2,A3,B3的横、纵坐标都是整数.在线段 A1B1,A2B2,A3B3中,⊙C 的旋转切线段是 ; 第 7页(共 24页) (3)已知 B(1,0),D(t,0),若线段 BD是⊙C的旋转切线段,求 t的取值范围; (4)已知点 M的横坐标为 m,存在以 M为端点,长度为 的线段是⊙C的旋转切线段,直接写出 m 的取值范围. 第 8页(共 24页) 2024-2025学年北京十五中九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 16分,每题 2分)(每题均有四个选项,符合题意的选项只有一个) 1.【答案】A 【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标. 【解答】解:抛物线 y=2(x﹣1)2+5的顶点坐标是(1,5). 故选:A. 2.【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意; B、是中心对称图形,故本选项符合题意; C、既不是是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D、既不是是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意. 故选:B. 3.【答案】B 【分析】根据垂径定理以及圆周角定理逐一分析判断即可. 【解答】解:A、等弧所对的弦相等,说法正确,故选项不符合题意; B、平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦,原说法错误,故选项符合题意; C、同弧或等弧所对的圆周角相等,说法正确,故选项不符合题意; D、90 的圆周角所对的弦是直径,说法正确,故选项不符合题意. 故选:B. 4.【答案】B 【分析】根据二次函数 y=x2﹣1的图象和性质即可解决问题. 【解答】解:由题知, 函数 y=x2﹣1的图象开口向上,以 y轴为对称轴, 所以当 x<0时,y随 x的增大而减小; 当 x>0时,y随 x的增大而增大; 当 x=0时,函数有最小值﹣1. 故选:B. 第 9页(共 24页) 5.【答案】A 【分析】用 360 除以 12即可得出答案. 【解答】解:内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心 O旋转得到,则图中角 的度数为 =30 . 故选:A. 6.【答案】C 【分析】利用第三周的票房=第一周的票房 (1+每周票房的增长率)2,即可列出关于 x的一元二次 方程,此题得解. 【解答】解:根据题意得:3.5(1+x)2=6.8. 故选:C. 7.【答案】B 【分析】连接 BC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90 ,则∠B=50 ,然后利用圆的内接四边形 的性质求∠ADC的度数. 【解答】解:如图,连接 BC, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90 , ∴∠B=90 ﹣∠CAB=90 ﹣40 =50 , ∵∠B+∠ADC=180 , ∴∠ADC=180 ﹣50 =130 . 故选:B. 8.【答案】C 【分析】利用抛物线开口向上,可得 a>0,抛物线与 y轴交于负半轴,可得 c<0,又因为抛物线的对 称轴是直线 x=1,即﹣ ,所以 b=﹣2a<0,即可判定①;由图可知,当 x=﹣1时,y>0,即 a ﹣b+c>0,把 b=﹣2a代入即可判定②;利用 x=﹣1时,a﹣b+c>0;x=1时,a+b+c<0得到(a﹣ b+c)(a+b+c)<0,则判定③;利用 x=1时,y有最小值得到 a+b+c≤am2+bm+c可对判定④. 第 10页(共 24页) 【解答】解:①由图可知,抛物线开口向上,所以 a>0, 抛物线与 y轴交于负半轴,所以 c<0, 又因为抛物线的对称轴是直线 x=1,即﹣ ,所以 b=﹣2a<0, ∴abc>0,故①错误; ②由图可知,当 x=﹣1时,y>0, 即 a﹣b+c>0, ∵b=﹣2a, ∴3a+c>0,故②正确; ③∵x=﹣1时,y>0,即 a﹣b+c>0;x=1时,y<0,即 a+b+c<0, ∴(a﹣b+c)(a+b+c)<0, ∴(a+c)2﹣b2<0,所以③正确; ④∵x=1时,y有最小值, ∴a+b+c≤am2+bm+c, 即 a+b≤m(am+b),所以④正确. 综上,正确的有②③④共 3个, 故选:C. 二、填空题(共 16分,每题 2分) 9.【答案】(1,﹣2). 【分析】关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数,据此求解即可. 【解答】解:在平面直角坐标系 xOy中,点 A(﹣1,2)关于原点对称的点的坐标是(1,﹣2). 故答案为:(1,﹣2). 10.【答案】见试题解答内容 【分析】这个式子先移项,变成 x2=49,从而把问题转化为求 49的平方根. 【解答】解:移项得,x2=49,开方得,x= 7. 11.【答案】<. 【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案. 【解答】解:∵⊙O的半径为 4,点 P在⊙O内, ∴OP<4. 故答案为:<. 第 11页(共 24页) 12.【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数的性质,抛物线开口向下 a<0,然后写出即可. 【解答】解:抛物线解析式为 y=﹣2x2+1(答案不唯一). 故答案为:y=﹣2x2+1(答案不唯一). 13.【答案】4. 【分析】根据关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根得 ,进行计算即可得. 【解答】解:∵关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根, ∴ =16﹣4c=0, ∴c=4. 故答案为:4. 14.【答案】3. 【分析】根据切线的性质和正方形的判定和性质定理即可得到结论. 【解答】解:∵PA,PB是⊙O的两条切线,切点为 A,B, ∴∠PAO=∠PBO=90 , ∵∠AOB=90 , ∴∠PAO=∠PBO=∠AOB=90 , ∴四边形 AOBP是矩形, ∴OB=AP=3, ∴⊙O的半径为 3, 故答案为:3. 15.【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情况进行讨论:①点 P在圆内;②点 P在圆外,进行计算即可. 【解答】解:①点 P在圆内;如图, ∵AP=3cm,BP=5cm, ∴AB=8cm, ∴OA=4cm; ②点 P在圆外;如图, ∵AP=3cm,BP=5cm, ∴AB=2cm, ∴OA=1cm. 第 12页(共 24页) 故答案为:1或 4. 16.【答案】(1) ; (2)1<x<4. 【分析】(1)把(1,0),(4,3),(3,0)代入 ,求出 a、b、c的值,即可得 出 y2的表达式; (2)利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(1,0)和(4,3),1<x<4时,y2<y1,从而得出不 等式 ax2+bx+c<kx+b的解集. 【解答】解:(1)把(1,0),(4,3),(3,0)代入 得: , 解得: , ∴ ; 故答案为: ; (2)当 x=1时,y1=y2=0;当 x=4时,y1=y2=3, ∴直线与抛物线的交点为(1,0)和(4,3), 而 1<x<4时,y2<y1, ∴不等式 ax2+bx+c<kx+b的解集是 1<x<4. 故答案为:1<x<4. 三、解答题(共 68分,17-22每题 5分,23-26每题 6分,27-28每题 7分) 第 13页(共 24页) 17.【答案】见试题解答内容 【分析】根据配方法可以解答此方程. 【解答】解:x2﹣4x+1=0 x2﹣4x+4=3 (x﹣2)2=3 x﹣2= ∴x1=2+ ,x2=2﹣ ; 18.【答案】(1)y=2(x﹣1)2+4;(2)将抛物线 y=2x2先向右平移 1个单位长度,再向上平移 4个单位 长度即可得到 y=2x2﹣4x+6. 【分析】(1)直接利用配方法写成顶点式; (2)找到两个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到. 【解答】解:(1)y=2x2﹣4x+6 =2(x2﹣2x+3) =2(x2﹣2x+1+2) =2(x﹣1)2+4; (2)∵抛物线 y=2x2的顶点为(0,0),抛物线 y=2x2﹣4x+6的顶点(1,4), ∴将抛物线 y=2x2先向右平移 1个单位长度,再向上平移 4个单位长度即可得到 y=2x2﹣4x+6. 19.【答案】(1)作图见解析部分. (2) ,等弧所对的圆周角相等,内错角相等两直线平行. 【分析】(1)根据要求画出图形即可. (2)根据平行线的判定方法解决问题即可. 【解答】解:(1)图形如图所示: (2)理由:连接 PB,QB. ∵PA=QB, ∴ = . ∴∠PBA=∠QPB(等弧所对的圆周角相等). 第 14页(共 24页) ∴PQ∥l(内错角相等两直线平行). 故答案为: ,等弧所对的圆周角相等,内错角相等两直线平行. 20.【答案】(1)﹣3; (2)见解答; (3)﹣4≤y<5. 【分析】(1)直接把 A点坐标代入 y=x2﹣2x+c可得到 c的值; (2)先求出抛物线与坐标轴的交点,再利用配方法得到抛物线的顶点坐标,然后描点即可; (3)先计算出自变量为﹣2和 2对应的函数值,然后根据二次函数的性质求解. 【解答】解:(1)把 A(﹣1,0)代入 y=x2﹣2x+c得 1+2+c=0, 解得 c=﹣3; 故答案为:﹣3; (2)当 y=0时,x2﹣2x﹣3=0, 解得 x1=﹣1,x2=﹣3, ∴抛物线与 x轴的交点坐标为(﹣1,0),(2,0), ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4), 当 x=0时,y=x2﹣2x﹣3=0, ∴抛物线与 y轴的交点坐标为(0,﹣3), 如图, (3)当 x=﹣2时,y=5, 当 x=2时,y=﹣3, 第 15页(共 24页) 而当 x=﹣1时,y有最小值﹣4, ∴当﹣2<x≤2时,y的取值范围为﹣4≤y<5. 21.【答案】(1)见解答; (2)﹣ 或 1. 【分析】(1)先计算根的判别式的值得到 =m2,则 ≥0,然后根据根的判别式的意义得到结论; (2)方程的一根为 t,则另一根为 2t,利用根与系数的关系得到 t+2t=m+2,t•2t=m+1,先消去 m得 到 2t2﹣3t=﹣1,解方程求出 t,然后计算对应的 m的值即可. 【解答】(1)证明:∵ =[﹣(m+2)]2﹣4(m+1) =m2≥0, ∴此方程总有两个实数根; (2)解:方程的一根为 t,则另一根为 2t, 根据题意得 t+2t=m+2,t•2t=m+1, ∴2t2﹣3t=﹣1, 整理得 2t2﹣3t+1=0, 解得 t1=1,t2= , 当 t=1时,1+2=m+2,解得 m=1, 当 t= 时, +1=m+2,解得 m=﹣ , 综上所述,m的值为﹣ 或 1. 22.【答案】10. 【分析】先根据垂径定理求出 AC的长,设⊙O的半径为 r,再连接 OA,在 Rt OAC中利用勾股定理 求出 r的值即可. 【解答】解:如图,连接 OA, ∵⊙O的弦 AB=12,半径 OD⊥AB, 第 16页(共 24页) ∴AC= AB= 12=6, 设⊙O的半径为 r,则 OC=r﹣CD=r﹣2, 在 Rt OAC中,OA2=OC2+AC2, 即 r2=(r﹣2)2+62, 解得 r=10. 故⊙O的半径的长为 10. 23.【答案】见试题解答内容 【分析】(1)分别作 AA1、BB1的中垂线 m、n,两者的交点即为所求; (2)作出点 C绕点 O1顺时针旋转 90 所得对应点,再首尾顺次连接即可得; (3)根据旋转的定义可得答案. 【解答】解:(1)如图,根据点 A1和 B1的位置确定旋转中心是点 O1, 故答案为:O1; (2)如图所示, A1B1C1即为所求. (3) A1B1C1是由 ABC绕点 O1顺时针旋转 90 得到; 故答案为:将 ABC绕点 O1顺时针旋转 90 得到 A1B1C1. 24.【答案】(1)证明过程见解析; (2)6. 【分析】(1)连接 OD,根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC,根据等腰三角形的 性质得出∠OED=∠ODE,即可得出∠AOC=∠AOD,进而证得 AOD≌ AOC(SAS),得到∠ADO =∠ACB=90 ,即可证得结论; (2)根据勾股定理求得 BO,得到 BC=8,然后根据勾股定理列出关于 AC的方程,解方程即可. 第 17页(共 24页) 【解答】(1)证明:连接 OD. ∵OE=OD, ∴∠OED=∠ODE, ∵DE∥OA, ∴∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD, ∴∠AOC=∠AOD. 在 AOD和 AOC中, , ∴ AOD≌ AOC(SAS), ∴∠ADO=∠ACO. ∵AC与⊙O相切于点 C, ∴∠ADO=∠ACO=90 , 又∵OD是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. (2)解:∵CE=6, ∴OE=OD=OC=3. 在 Rt ODB中,BD=4,OD=3, ∴BD2+OD2=BO2, ∴BO=5, ∴BC=BO+OC=8. ∵⊙O与 AB和 AC都相切, ∴AD=AC. 在 Rt ACB中,AC2+BC2=AB2, 即:AC2+82=(AC+4)2, 解得:AC=6. 第 18页(共 24页) 25.【答案】(1)1;(2)函数的图象见解析;(3)①1≤y≤2(②b的取值范围是 1<b<2. 【分析】(1)将 x=﹣2代入解析式计算即可得出结论; (2)利用平滑的曲线连接各点即可得出函数的图象; (3)①观察图象中当﹣1≤x<1时,函数的最大值与最小值即可得出结论; ②观察图象,若关于 x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有 4个互不相等的实数根,此时直线 y=kx+b与函数 y =﹣x2+2|x|+1的图象有四个交点,可得直线 y=kx+b与 y轴的交点应在(0,1)和(0,2)之间,由此 得到 b的取值范围. 【解答】解:(1)∵当 x=﹣2时,y=﹣(﹣2)2+2 |﹣2|+1=1, ∴m=1. 故答案为:1; (2)利用平滑的曲线连接各点即可画出该函数的图象,如图, (3)①观察图象可知:当﹣1≤x<1时,函数 y的最大值为 2,最小值为 1, ∴y的取值范围为,:1≤y≤2. 故答案为:1≤y≤2; ②∵关于 x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有 4个互不相等的实数根, ∴直线 y=kx+b与函数 y=﹣x2+2|x|+1 的图象有四个交点, ∵直线 y=kx+b经过点(1,2), ∴直线 y=kx+b与 y轴的交点在(0,1)和(0,2)之间, ∴b的取值范围是:1<b<2. 故答案为:1<b<2. 26.【答案】(1)t=1. 第 19页(共 24页) (2)m的取值范围是 m≥ . 【分析】(1)利用抛物线的对称性即可求解. (2)求得点 A(m,y1)与点 B(m+1,y2)关于抛物线对称轴直线 x=1对称时的 m的值,结合图象即 可求解. 【解答】解:(1)由题意,∵点(2,c)在抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)上, ∴4a+2b+c=c. ∴4a+2b=0,即 b=﹣2a. ∴抛物线的对称轴是直线 x=t=﹣ =﹣ =1. 故 t=1. (2)如图,若点 A(m,y1)与点 B(m+1,y2)关于抛物线对称轴直线 x=1对称, 可得 =1, 解得 m= , ∵对于 m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,都有 y1<y2, ∴m≥ . 故 m的取值范围是 m≥ . 27.【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN; (2) PMN是等腰直角三角形,证明见解析过程; (3) . 【分析】(1)利用三角形的中位线得出 PM= CE,PN= BD,进而判断出 BD=CE,即可得出结论, 再利用三角形的中位线得出 PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论; 第 20页(共 24页) (2)先判断出 ABD≌ ACE,得出 BD=CE,同(1)的方法得出 PM= BD,PN= BD,即可得 出 PM=PN,同(1)的方法即可得出结论; (3)先判断出 BD最大时, PMN的面积最大,而 BD最大是 AB+AD=14,再利用三角形的面积公式 求解即可. 【解答】解:(1)∵点 P,N是 BC,CD的中点, ∴PN∥BD,PN= BD, ∵点 P,M是 CD,DE的中点, ∴PM∥CE,PM= CE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴BD=CE, ∴PM=PN, ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA, ∵∠BAC=90 , ∴∠ADC+∠ACD=90 , ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90 , ∴PM⊥PN, 故答案为:PM=PN,PM⊥PN; (2) PMN是等腰直角三角形.理由如下: 由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE, 利用三角形的中位线得,PN= BD,PM= CE, ∴PM=PN, ∴ PMN是等腰三角形, 第 21页(共 24页) 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC, ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC, ∵∠BAC=90 , ∴∠ACB+∠ABC=90 , ∴∠MPN=90 , ∴ PMN是等腰直角三角形; (3)方法 1:如图 2同(2)的方法得, PMN是等腰直角三角形, ∴MN最大时, PMN的面积最大, ∴DE∥BC且 DE在顶点 A上面, ∴MN最大=AM+AN, 连接 AM,AN, 在 ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90 , ∴AM=2 , 在 Rt ABC中,AB=AC=10,AN=5 , ∴MN 最大=2 +5 =7 , ∴S PMN 最大= PM2= MN2= (7 )2= . 方法 2:由(2)知, PMN是等腰直角三角形,PM=PN= BD, ∴PM最大时, PMN面积最大, ∴点 D在 BA的延长线上, ∴BD=AB+AD=14, ∴PM=7, ∴S PMN 最大= PM2= 72= . 第 22页(共 24页) 28.【答案】(1)60 ; (2)A2B2,A3B3; (3)t≥ ; (4)﹣2<m≤4. 【分析】(1)作 OD与⊙C相切于点 D,可得∠COD=30 ,从而求得; (2)判断线段的两个端点到原点的距离在 1和 3之间即可; (3)以 O为圆心,半径为 1作圆,以 O为端点作射线与⊙C相切,观察可得; (4)分为当 m最大和最小时,作出图形,数形结合观察求解. 【解答】解:(1)如图 1, 作 OD与⊙C相切于点 D, ∴CD⊥OD, ∵sin∠COD= , ∴∠COD=30 , ∴∠AOD=60 ,OD= <2, ∴关于⊙C和线段 OA的最小旋转角为 60 , 故答案是 60 ; (2)如图 2, 第 23页(共 24页) 连接 OB1,OA2,OB2,OA3, ∵OB1=3 >3, ∴A1B1绕点 O旋转无法与⊙C相切,所以 A1B1不是旋转切线, ∵OA2= ,OB2= , , ∴A2B2是旋转切线, ∵OB3=3, ∴A3B3是旋转切线, 故答案是 A2B2,A3B3; (3)如图 3, B点旋转路线是半径是 1的⊙O,当 OD与⊙C相切时(如图所示), 由(1)知,OD= , ∴当 t≥ 时,线段 BD是⊙C的旋转切线段; (4)如 4,当 m取最大值时, 第 24页(共 24页) M点运动最小半径是 O到过(m,0)的直线 l的距离是 m, ∵CD=1,M′D= , ∴M′C=2, ∴OM′=4, ∴m的最大值时 4, 如图 5,当 m取最小时, 开始时存在 ME与⊙C相切, ∵CE=1,MC= , ∴MC=2, ∵0 < <180 , ∴m>﹣2, 综上所述:﹣2<m≤4. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期: 2024/11/18 20:01:07;用户:菁优校本;邮箱:241113@xyh.com;学号: 59832322