2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章 圆微专题7 圆中最值及隐圆问题

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 微专题七 圆中最值及隐圆问题 类型 1 1 已知条件 已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一点，当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)，设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r 位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外 图示 DE的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点E的位置 连接DO并延长交⊙O于点E DE的最小值 r－d 0 d－r 此时点E的位置 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD交⊙O于点E 点圆最值 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为_________. 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝ ，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________． 线圆最值 类型 1 2 已知条件 已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，点Q为⊙O上一点 位置关系 直线l与⊙O相离 直线l与⊙O相切 直线l与⊙O相交 图示 点Q到直线l的距离最大值 d＋r 2r d＋r 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，其反向延长线与⊙O的交点即为点Q 点Q到直线l的距离最小值 d－r 0 0 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，与⊙O的交点即为点Q 直线l与⊙O的交点即为点Q 3．如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是(　 　) A 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C′落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是(　 　) A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 B　 定点定长作隐圆 类型 1 3 已知条件 平面内，O为定点，B为动点，且OB长度固定 OA＝OB＝OC 类型 一点作圆 三点作圆 图示 结论 点B的轨迹在以点O为圆心，OB长为半径的圆上 点A，B，C均在⊙O上 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°之后得到△A′BC′.若BC＝6，则点C运动的路径长为____． 例 1 2π 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在一定点和一动点(定点：点B，动点：点C) 特征2：连接定点和动点的线段长度是否固定(BC＝6 ) 以点B为圆心，BC长为半径作圆，点C′在上. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为________________． 例 2 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在三条线段相等(AB＝AC＝AD) 特征2：相等的线段是否共用一个顶点(点A) 以一种情况为例： 以点A为圆心，AB (或AC或AD )长为半径作圆，点B，C，D在⊙A上 50°或130° 6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，F为BC上一动点，将△ECF沿EF折叠，点C的对应点为C′，连接BC′，则BC′＋EC′的最小值为_____. 定弦定角作隐圆 类型 1 4 结论 当∠ACB<90°时，点C的运动轨迹为优弧ACB(不与点A，B重合) 当∠ACB＝90°时，点C的运动轨迹为⊙O(不与点A，B重合) 当∠ACB>90°时，点C的运动轨迹为劣弧ACB(不与点A，B重合) 解题关键 考题常以30°，45°，60°，90°，120°来考，关键是画出等腰三角形 推论 构成等腰三角形(AC＝BC )，即C为 的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC面积最大 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部一点，且AE⊥BE，连接CE，则线段CE的最小值为__________． 例 3 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在定边(线段AB) 特征2：是否存在定边所对的角为定角(∠AEB) 以AB为直径作⊙O，点A，B，E在⊙O上 如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为△ABC内的一个动点，且∠PBC＝∠PCA，则△PBC面积的最大值为(　 　) 例 4 D 思路点拨 第一步：依据特征找模型 第二步：抽离模型 第三步：模型应用 特征1：是否存在定边(线段BC) 特征2：是否存在定边所对的角为定角(∠BPC) 点B，C，P在⊙O上 　     7．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为(　 　) 　C 8.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点M，N分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D运动，当点M到达点B时，运动停止．过点B作直线MN的垂线BG，垂足为G，则点G运动的路径长为_____cm. 已知条件 在由点A，B，C，D构成的四边形中，∠ADB＝∠ACB＝90° 图示 点C，D在AB的同侧 点C，D在AB的异侧 结论 (1)点A，B，C，D在同一个圆上，AB为⊙O的直径； (2)圆内接四边形的对角互补 四点共圆作隐圆 类型 1 5 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，BD，若AC＝2，∠BCD＝135°，则BD的长为(　 　) A 例 5 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE＝(　 　) A．10° B．15° C．20° D．30° C 10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为(　 　) C －2 2 2＋1 已知条件 一条定边所对的角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧；如图，在△ABC中，AB为定长，∠C角度一定 图示 ∠ACB＝∠AOB AB为直径 ∠AOB＋∠ACB＝180° 2－2 π $$