2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章 圆第25讲　与圆有关的计算课件

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 第25讲 与圆有关的计算 (省卷：5年5考；兰州：3年3考) 1 考点梳理 2 甘肃5年中考真题及拓展 目录 CONTENTS 扇形的相关计算 考点梳理 考点 1 1 圆的周长 C＝①_____ (r为圆的半径，n°为 所对的圆心角的度数，l是扇形AOB的弧长) 扇形的弧长 l＝②______ 圆的面积 S＝③______ 扇形的面积 S＝④______＝ ⑤____ 2πr πr2 lr 圆锥的相关计算 考点 1 2 图示 如图，h是圆锥的高，r是底面圆的半径，l是圆锥的母线长， n°是展开图的扇形的圆心角度数 性质 (1)圆锥的侧面展开图是⑥_____； (2)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图(扇形)的⑦_____，即 ＝2πr； (3)圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的半径； (4)圆锥的高h，底面半径r，母线长l的关系是⑧___________ 侧面积 S侧面积＝ ＝πrl 全面积 S全面积＝S底面积＋S侧面积＝πr2＋πrl 扇形 弧长 h2＋r2＝l2 阴影部分面积的计算方法 考点 1 3 公式法 适用于扇形、圆环、特殊四边形等规则图形的面积计算 和差法 所求图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形的和或差求解 等积转化法 直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件 甘肃5年中考真题及拓展 弧长的计算(省卷：5年3考；兰州：3年2考) 1．[2023兰州6题]如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示，是一条圆弧 ，圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°， ＝ (　 　) A．20π cm　 B．10π cm　 C．5π cm　 D．2π cm 命题点 1 B 2．[2024兰州一诊11题]把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C.若AB＝3，则 ＝(　　) C 3．[2024兰州15题]“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝______． 108 4．[2023省卷16题]如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所经过的路程是______米．(结果保留π) 5π 5．[2024临夏州15题]如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则 的长度为_________．(结果保留π) 阴影部分面积的计算(省卷：5年2考；兰州：2022.12) 6．[2024省卷16题]甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是__________cm2.(结果用π表示) 命题点 2 3000π 7．[2021省卷17题]如图，从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为____dm2. 2π 微专题八 与圆有关的阴影部分面积计算 (省卷：5年2考；兰州：2022.12) 公式法(省卷：2021.17) 方法 1 1 方法 所求阴影部分的面积是规则图形，如三角形、扇形、特殊四边形等，可直接用面积公式进行计算  图示 面积 计算 S阴影＝S正方形ABCO S阴影＝S扇形MEN C 2．如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3 cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC分别交⊙O于点D，E，则图中阴影部分的面积是 _________cm2.(结果用含π的式子表示) 直接和差法(省卷：2024.16；兰州：2022.12) 方法 1 2 方法 将不规则阴影部分图形看成规则图形的一部分，其他空白部分为规则图形，此时采用整体作差法求解 图示 面积 计算 S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S△ABC－ S扇形ACD S阴影＝S△AOB－ S扇形COD C 4．[2024兰州城关区校级模拟]如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为(　 　) A．2π B．π－2 C．4－π D．π－3 B 构造和差法 方法 1 3 方法 先设法将不规则阴影部分与空白部分图形组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算 图示 面积 计算 S阴影＝S△OBD＋ S扇形OCD S阴影＝S扇形AOB－ S△OAB S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8.以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为(　 　) C 6．如图，AB为半圆O的直径，CD与半圆O相切于点C，CD＝AB，连接AC，BD，已知AC＝BD＝ ，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2－π B．4－π C．6－π D．8－π C 7．[2024资阳]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与 交于点F，则图中阴影部分的面积为____________. 等积转化法 方法 1 4 方法 图示 面积计算 直接等面积转化法 S阴影＝S扇形COD 平移转化法 S阴影＝S正方形BCFE 旋转转化法 S阴影＝S扇形BAE－S扇形BMN 对称转化法 S阴影＝S扇形CDE A 9．如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是__________．(结果保留π) 16－4π 中考专题五 与切线有关的证明与计算 (针对省卷25题，兰州卷26题) (省卷：5年 5考；兰州：3年3考) 与切线判定有关的证明与计算(省卷：5年4考；兰州：3年3考) 1．[2022省卷26题]如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC. 考点 1 1 (1)求证：CE是⊙O的切线； 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵∠A＝∠D，∠DEC＝∠ABC， ∴∠D＋∠DEC＝90°， ∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)若DE＝ ，AC＝2BC，求线段CE的长． 解：由(1)知，CD⊥CE， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， ∵∠A＝∠D，AC＝2BC， 解得CE＝4(负值已舍去)， 即线段CE的长为4. 2．[2024甘孜州]如图，AB为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作CD∥ AB，交OB的延长线于点D.连接OA，OC. (1)求证：CD是⊙O的切线； 证明：如解图，设OC交AB于点E. ∵OC是⊙O的半径，C为 的中点， ∴OC垂直平分AB，∴∠BEC＝90°. ∵CD∥AB， ∴∠OCD＝90°，即CD⊥OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． (2)若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积． 解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2， ∴OD＝OB＋BD＝3＋2＝5. ∵∠OCD＝90°， ∴△OCD的面积是6. 3．[2024金昌金川区质量监测]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径．作射线BD，使得∠ABC＝∠DBC，过点C作CE⊥BD，垂足为E. (1)求证：CE是⊙O的切线； 证明：如解图，连接OC. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠ABC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD. ∵CE⊥BD，∴OC⊥EC. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 解：∵cos∠EBC＝ ，∴∠EBC＝60°. ∵OC∥BE，∴∠OCB＝∠EBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°. 4．[2024天水甘谷县二模]如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE，DE. (1)求证：DE是⊙O的切线； 证明：如解图，连接OD. ∵E为BC中点，O为AB中点，∴OE∥AC. ∴∠ADO＝∠DOE，∠A＝∠BOE. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠BOE＝∠DOE. 又∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△OED(SAS)， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即DE⊥OD. ∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)若sin C＝ ，DE＝5，求AD的长． 解：如解图，连接BD，则∠ADB＝90°. 由(1)得，△OBE≌△ODE，∴BE＝DE＝5， ∵E为BC中点，∴BE＝CE，∴BC＝2BE＝10. 与切线性质有关的证明与计算(省卷：2020.26) 5．[2024兰州一诊22题]如图，在△AOB中，∠B＝30°，⊙O与AB相切于点A，与OB相交于点C，延长AO交⊙O于点D，连接CD. (1)求∠D的大小； 考点 1 2 解：∵⊙O与AB相切于点A，∴∠BAO＝90°. ∵∠B＝30°，∴∠AOB＝90°－30°＝60°. ∵∠AOB＝2∠D， ∴2∠D＝60°，∴∠D＝30°. (2)当BC＝2时，求CD的长． ∴OB＝2OA＝OC＋BC＝OA＋2， ∴OA＝2，∴OB＝4，AD＝2OA＝4， 如解图，连接AC.∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°. 6．[2024通辽]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD. (1)求证：∠ABC＝2∠ACD； 证明：如解图，连接OD. ∵AB为⊙O的切线， ∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠ODB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠COD＝180°. ∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠AOD＝∠OCD＋∠ODC＝2∠ACD， ∴∠ABC＝2∠ACD. (2)若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径． 解：设⊙O的半径为r， 则OD＝OC＝r，OA＝8－r. 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 2 ＋π 4 在Rt△BDC中，sin C＝＝＝， ∴BD＝8，∴CD＝＝6. ∵∠A＋∠C＝90°，∠A＋∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD. 又∵∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ADB∽△BDC， ∴＝，∴AD＝＝＝. $$