2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章 圆第24讲　与圆有关的位置关系课件

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 第24讲 与圆有关的位置关系 (省卷：5年5考；兰州：3年3考) 1 考点梳理 3 甘肃5年中考真题及拓展 2 重难点突破 目录 CONTENTS 考点梳理 探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．(删除) 2022年版课标重要变化 考点 1 1 点、直线与圆的位置关系   点与圆的位置关系 (设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d) 直线与圆的位置关系 (设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d) 图示 没有公共点  有一个公共点  有两个公共点  位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 相离 相切 相交 数量关系 d①____r d②____r d③____r d④____r d⑤____r d⑥____r ＞ ＝ ＜ ＞ ＝ ＜ 切线的性质与判定 考点 1 2 性质定理 圆的切线⑦____于过切点的半径 判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 判定方法 (1)直线与圆公共点已知：连半径，证垂直； (2)直线与圆公共点未知：作垂直，证半径 【知识拓展】 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和 圆相切的角； (2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图，∠BAC＝∠ADC 垂直 切线长与切线长定理 考点 1 3 切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长(如图，线段PA，PB) 切线长 定理(※) 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角(如图，若PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，则PA＝PB，∠APO＝∠BPO) 三角形的外接圆与内切圆 考点 1 4   三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心 外心：三角形三条边的⑧____________的交点 内心：三角形三条 ⑨_________的交点 描述 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆 图示 垂直平分线 角平分线 性质 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即OA＝OB＝OC 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即OD＝OE＝OF 角度关系 ∠BOC＝⑩__∠BAC ∠BOC＝90°＋ ∠BAC 【知识拓展】 (1)若直角三角形的两条直角边、斜边的长分别为a，b，c，则它的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 (切线长定理可得)或 (等面积法可得)； (2)若△ABC的三边长分别为a，b，c，则它的内切圆半径为 (等面积法可得) 2 切线的性质与判定 类型1　有公共点，连半径，证垂直 方法1　利用等角代换证垂直 [北师九下P104T5变式]如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且CE＝DE，点F在AB的延长线上，连接OC，DF，∠F＝∠C.求证：DF是⊙O的切线． 重难点突破 重难点 例 1 题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明． 方法总结 证明：如解图，连接OD. ∵OC＝OD，CE＝DE， ∴OE⊥CD，∠OCD＝∠ODC， ∴∠F＋∠CDF＝90°. ∵∠F＝∠C＝∠ODC， ∴∠ODC＋∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF. ∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线． 方法2　利用平行证垂直 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，延长BC至点D，使CD＝BC.连接AD，过点C作CE⊥AD于点E.求证：CE是⊙O的切线． 当需要证明的切线和已知直线垂直时，可证明过切点的半径与已知直线平行． 例 2 方法总结 证明：如解图，连接OC. ∵OA＝OB，BC＝CD， ∴OC是△ABD的中位线， ∴OC∥AD . 又∵CE⊥AD，∴CE⊥OC. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 方法3　利用三角形全等证垂直 [人教九上P102T12变式]如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线交OD的延长线于点P，连接CP.求证：CP是⊙O的切线． 例 3 方法总结 利用三角形全等证垂直，常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证垂直． 类型2　无公共点，作垂直，证半径 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠BAC，以O为圆心，OC长为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．   例 4 方法总结 过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径长． 证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F. ∵AO平分∠CAB， ∴∠OAC＝∠OAF. ∵OF⊥AB，∴∠AFO＝90°. 在△AOC和△AOF中， ∴△AOC≌△AOF(AAS)，∴OC＝OF. ∵OC是⊙O的半径，∴OF是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． 甘肃5年中考真题及拓展 与切线判定有关的证明与计算(省卷：5年4考；兰州：3年3考) 命题点 1 (2)当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值． 2．[2023省卷25题]如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F. (1)求证：CE是⊙O的切线； 证明：∵CE⊥AD， ∴∠E＝90°. ∵CO平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO. 又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠OCD， ∴OC∥DE，∴∠OCE＝∠E＝90°. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)当⊙O的半径为5，sinB＝ 时，求CE的长． 3.[2024兰州26题]如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA. (1)求证：ED是⊙O的切线； 证明：如解图，连接OD，则OB＝OD，∴∠DBA＝∠BDO. ∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)，∴∠CBA＝∠DBA. ∵∠ADE＝∠CBA，∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO. ∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线． (2)若BO＝4，tan∠CBA＝ ，求ED的长． 解：∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8，∴EB＝AE＋AB＝AE＋8. 设AD＝a，则BD＝2a. ∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB， (1)求证：BF是⊙O的切线； 证明：如解图，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∵∠BOC＝∠A＋∠OCA，∴∠BOC＝2∠A. 又∵∠BOD＝2∠F，∴∠A＝∠F. ∵∠AGE＝∠FGB，∴∠AEG＝∠FBG. ∵DE⊥AC，∴∠AEG＝90°， ∴∠FBG＝90°，∴OB⊥BF. ∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线． (2)判断△DGB的形状，并说明理由； 解：△DGB为等腰三角形．理由如下： 如解图，连接CD. ∴DC⊥AB，∠DCB＝∠CDB. ∵OB⊥BF，∴DC∥BF，∴∠BDC＝∠DBF. 又∵∠BDC＝∠A，∴∠DBF＝∠A. 又∵∠A＝∠F，∴∠DBF＝∠F. ∵∠GBF＝90°，∴∠F＋∠DGB＝90°，∠DBG＋∠DBF＝90°， ∴∠DGB＝∠DBG， ∴BD＝DG， ∴△DGB为等腰三角形． (3)当BD＝2时，求FG的长． 解：由(2)可知，BD＝DG，∠F＝∠DBF， ∴DF＝BD， ∴DF＝DG＝DB＝2， ∴FG＝4.  与切线性质有关的证明与计算(省卷：2020.26) 5．[2024临夏州24题]如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C. (1)求证：AD平分∠CAE； 命题点 2 证明：如解图，连接OD， ∵直线l与⊙O相切于点D.∴OD⊥CE. ∵AE⊥CE，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠EAD， ∴AD平分∠CAE. (2)如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径． 解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r. 在Rt△OCD中， ∵OD＝r，CD＝3，OC＝r＋1， ∴r2＋32＝(r＋1)2， 解得r＝4， 即⊙O的半径为4. 6.[2020省卷26题]如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB. (1)求∠ACB的度数； 解：如解图，连接OA. ∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°. ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB， ∴∠OAB＝∠ABE＝∠E. ∵∠OAB＋∠ABE＋∠E＋∠OAE＝180°， ∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°， ∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠ABO＝120°， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°. (2)若DE＝2，求⊙O的半径． 解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r， ∴OE＝r＋2. ∵∠OAE＝90°，∠E＝30°， ∴OE＝2OA，即r＋2＝2r， ∴r＝2，故⊙O的半径为2. $$