1.1锐角的三角函数第1课时 正切与坡度 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第1课时 正切与坡度 北师版·九年级下册 1 智者乐水，仁者乐山 情景导入 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 倾斜程度大 探究新知 梯子是我们日常生活中常见的物体. 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些方法？ A B C 梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度. 斜边 铅直高度 水平宽度 梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小有无变化？如何变化？ 1 2 倾斜角越大——梯子越陡 A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 A B （C） 问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡. 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡. 思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3 m 6m D E F C 2 m B 4 m A 问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1.3 m 1.5 m 3.5 m 4 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结：铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？ 如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ A C1 C2 想一想 两个直角三角形相似 (2) 和 有什么关系？ (3) 如果改变 B2 在梯子上的位置. (如 B3C3 )呢？ A B1 C2 C1 B2 C3 B3 相似三角形的对应边成比例 (1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？ 在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？ 议一议 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽ Rt△AB3C3 A C2 C1 B1 B2 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？ tanA的值越大，梯子越陡. 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作 tanA，即 . A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA = 结论：tanA 的值越大， 梯子越陡. ∠A的对边 ∠A的邻边 归纳总结 当锐角A变化时，tanA的值也随之变化. 注意 tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）. tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号（注意tanA不表示tan乘以A）. tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比. 注意 tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等. 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例题详解 5m ┌ 13m β （乙） （甲） α 4m ┐ 8m 解:甲梯中, 乙梯中, ∵tan α＞tan β, ∴甲梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A=_____，tan B =_____． 练一练 2.下图中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D . 指出∠A 和 ∠B 的正切. (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC A B C D 互余两锐角的正切值互为倒数. 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度、坡角 2 坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是： 100 m 60 m ┌ α 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米. B ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6 (米)． 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， 方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． 4. 如图，某人从山脚下的点 A 走了 200 m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55 m，求山坡的坡度(结果精确到 0.001 m). A B C ┌ 解： 针对训练 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 课堂练习 B C A (1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tanA = ( ). (2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°,BC = 5, AB = 13，tanA= ( ),tanB = ( ). (3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA = ， AC = ( ). 2. 完成下列填空： 3. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10 ，求tanB. 提示：构造直角三角形. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD =12. ∴ 正切 定义 坡度 ∠A 越大，tanA 越大, 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 铅直高度 水平宽度 当堂小结 随堂练习 1. 如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗？ A B C 1.5 4 D 解：由图可知，D为AC的中点，则DC=2. 2. 如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B. 已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山坡的坡度. (结果精确到0.001m) A B C 课堂小结 在Rt△ABC中， 如果锐角A确定， 那么∠A的对边与邻边的比随之确定， 这个比叫做∠A的正切. 记作：tanA tanA越大，梯子越陡， ∠A越大. A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 课后作业 P4-5 随堂练习＋习题1.1 1、2、4 $$