天津市河东区一片区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年天津市河东区一片区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题:本题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(3分)下列四个品牌图标中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是( ) A.ax2﹣2x=5 B.(x+2)(x﹣3)=1 C.y=(x+1)2﹣3 D.x2﹣2x=x(x+3)+1 3.(3分)用配方法解方程x2+6x﹣1=0,变形后结果正确的是( ) A.(x+3)2=10 B.(x+3)2=7 C.(x﹣3)2=10 D.(x﹣3)2=7 4.(3分)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣2,5)关于原点对称的点的坐标是( ) A.(﹣2,﹣5) B.(5,﹣2) C.(2,5) D.(2,﹣5) 5.(3分)二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为( ) A.5 B.0 C.﹣3 D.﹣4 6.(3分)已知函数y=﹣(x﹣2)2的图象上有A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系( ) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 7.(3分)如图,将 ABC绕点A逆时针旋转100 ,得到 ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列选项中不正确的是( ) A.a<0 B.c>0 C. D.a+b+c<0 9.(3分)若方程(m﹣3)x|m|﹣1﹣3x=5是关于x的一元二次方程,则m的值为( ) A.3 B.﹣3 C. 3 D.不存在 10.(3分)某社区为改善环境,决定加大绿化投入.四月份绿化投入25万元,六月份绿化投入49万元,五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同.设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x,根据题意所列方程为( ) A.25(1+x)+25(1+2x)=49 B.25(1﹣x)2=49 C.25(1+x)2=49 D.25+25(1+x)+25(1+x)2=49 11.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表: x ﹣1 0 1 2 3 4 y m 2 1 2 5 10 则m的值为( ) A.1 B.2 C.5 D.10 12.(3分)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内,已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( ) A.篮球出手时离地面的高度是2m B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D.此抛物线的解析式是 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 13.(3分)方程x2=1的解是 . 14.(3分)将抛物线y=3x2向下平移2个单位,所得到的抛物线的解析式是 . 15.(3分)一元二次方程x2+3x﹣1=0根的判别式的值为 . 16.(3分)汽车刹车后行驶的距离s(单位:m)关于行驶的时间t(单位:s)的函数解析式是s=15t﹣6t2,则汽车刹车后前进了 m停下来. 17.(3分)如图, COD是 AOB绕点O顺时针旋转40 后得到的图形,若点C恰好落在AB上,且∠AOD的度数为90 ,则∠B的度数是 . 18.(3分)已知点A(0,3),点B在直线y=2上运动,把点A绕点B逆时针旋转90 ,点A的对应点为点C,我们发现点C随点B变化而变化.若点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方,设点B的横坐标为m,则m的取值范围是 . 三、解答题:本题共7小题,共65分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19.(8分)用适当方法解方程 (1)x2+x﹣6=0; (2)x(x﹣2)+x﹣2=0. 20.(9分)如图,在平面直角坐标系中, AOB的三个顶点坐标分别为A(1,0),O(0,0),B(2,2).以点O为旋转中心,将 AOB逆时针旋转90 ,得到 A1OB1. (1)画出 A1OB1; (2)直接写出点A1和点B1的坐标; (3)求线段OB1的长度. 21.(9分)已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m=0(m为常数). (1)若x=2是该方程的一个实数根,求m的值; (2)当m=3时,求该方程的实数根; (3)若该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围. 22.(9分)如图所示,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3经过A(m,0)、B(n,0)两点,A点在B点左侧. (1)求m、n值及顶点坐标; (2)当0<x<3时,求y的取值范围; (3)点P为抛物线上一点,若S PAB=10,求出此时点P的坐标. 23.(9分)某商品的进价为每件20元,售价为每件30元,每个月可卖出180件.如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元,设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时y的值为1920? (3)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少? 24.(10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(3,0),点B(0,4),把 ABO绕点B逆时针旋转,得 A'BO′.点A,O旋转后的对应点为A',O',记旋转角为 . ( )如图①,若 =90 ,求AA'的长; ( )如图②.若 =45 ,求点O'的坐标; ( )若M为AB边上的一动点,在OB上取一点N(0,1),将 ABO绕点B逆时针旋转一周,求MN的取值范围(直接写出结果即可). 25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,设点D的横坐标为m(1<m<4). (1)求抛物线的函数表达式; (2)点E是抛物线对称轴上的一个动点,当 ACE的周长最小时,求点E的坐标. (3)当 BCD的面积等于 AOC的面积的时,求m的值; (4)在(3)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2024-2025学年天津市河东区一片区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可. 【解答】解:选项B中的图形是中心对称图形. 故选:B. 2.【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义(含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程),对选项逐个判断,含未知数的要分类讨论,整理化解后再进行判断. 【解答】解:A:当a取0时,此方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意; B:方程可化简为x2﹣x﹣7=0,是一元二次方程,故本选项符合题意; C:因为有两个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意; D:方程可化简为5x+1=0,是一元一次方程,故本选项不符合题意; 故选:B. 3.【答案】A 【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算,即可解答. 【解答】解:x2+6x﹣1=0, x2+6x=1, x2+6x+9=1+9, (x+3)2=10, 故选:A. 4.【答案】D 【分析】两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数,因而点(a,b)关于原点对称的点是(﹣a,﹣b). 【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣2,5)关于原点对称的点的坐标是(2,﹣5). 故选:D. 5.【答案】D 【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标,再由二次函数的顶点式解答即可. 【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2x﹣3可化为y=(x﹣1)2﹣4, ∴最小值是﹣4. 故选:D. 6.【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系,从而可以解答本题. 【解答】解:∵y=﹣(x﹣2)2, ∴该函数开口向下,对称轴为直线x=2, ∵该函数图象上有A(﹣1,y1)、B(1,y2)、C(4,y3)三点,|2﹣1|<|4﹣2|<|2+1|, ∴y2>y3>y1, 故选:B. 7.【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100 ,再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数,此题得解. 【解答】解:根据旋转的性质,可得:AB=AD,∠BAD=100 , ∴∠B=∠ADB= (180 ﹣100 )=40 . 故选:B. 8.【答案】D 【分析】根据函数图象可知a<0,c>0,,将x=1代入y=ax2+bx+c即可解答. 【解答】解:根据函数图象可知a<0,c>0,, 将x=1代入y=ax2+bx+c得y=a+b+c, 由图象知,此时a+b+c>0. 故选:D. 9.【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义,列出m满足的条件,从而求得m的值即可. 【解答】解:∵关于x的方程(m﹣3)x|m|﹣1﹣3x=5是一元二次方程, ∴, 解得:, ∴m=﹣3, 故选:B. 10.【答案】C 【分析】根据增长率公式列出方程即可. 【解答】解:根据题意得:25(1+x)2=49. 故选:C. 11.【答案】C 【分析】通过观察表格中对称的点可得函数对称轴及顶点坐标,进而求解. 【解答】解:∵函数图象经过(0,2),(2,2), ∴抛物线对称轴为直线x=1, ∴点(3,5)和点(﹣1,m)关于对称轴对称, ∴m=5, 故选:C. 12.【答案】D 【分析】先根据题意求出函数解析式,再根据图象和解析式逐一判断即可. 【解答】解:∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5), ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5. ∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得 3.05=a 1.52+3.5, ∴a=﹣, ∴y=﹣x2+3.5. 故D正确; 当x=﹣2.5时,y=﹣ (﹣2.5)2+3.5=2.25, ∴球出手处离地面2.25m, 故A错误; 由图示知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05), 故B错误; 由图示知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5), 故C错误; 故选:D. 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 13.【答案】见试题解答内容 【分析】因为x2=1,从而把问题转化为求1的平方根. 【解答】解:∵x2=1 ∴x= 1. 14.【答案】y=3x2﹣2. 【分析】直接根据函数图象平移的法则即可得出结论. 【解答】解:将抛物线y=3x2向下平移2个单位,所得到的抛物线的解析式是:y=3x2﹣2, 故答案为:y=3x2﹣2. 15.【答案】13. 【分析】根据一元二次方程根的判别式 =b2﹣4ac即可求出值. 【解答】解:∵a=1,b=3,c=﹣1, ∴ =b2﹣4ac=9+4=13. 所以一元二次方程x2+3x﹣1=0根的判别式的值为13. 故答案为:13. 16.【答案】. 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式,再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论. 【解答】解:∵s=15t﹣6t2=﹣6(t﹣)2+, ∵﹣6<0, ∴当t=时,s有最大值,最大值为, ∴汽车刹车后到停下来前进了m. 故答案为:. 17.【答案】见试题解答内容 【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40 ,AO=CO,再求出∠BOC,∠ACO,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 【解答】解:∵ COD是 AOB绕点O顺时针旋转40 后得到的图形, ∴∠AOC=∠BOD=40 ,AO=CO, ∵∠AOD=90 , ∴∠BOC=90 ﹣40 2=10 , ∠ACO=∠A=(180 ﹣∠AOC)=(180 ﹣40 )=70 , 由三角形的外角性质得,∠B=∠ACO﹣∠BOC=70 ﹣10 =60 . 故答案为:60 . 18.【答案】见试题解答内容 【分析】证明 AEB≌ BFC(AAS),则则点C(m﹣1,2﹣m),即点C在直线y=﹣x+1上运动,而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方,当2x2=﹣x+1时,即x=﹣1或时,﹣1<xC,即可求解. 【解答】解:设直线y=2交y轴于点E,过点C作CF垂直于直线y=2于点F, 则 AEB≌ BFC(AAS), 则点C(m﹣1,2﹣m), 即点C在直线y=﹣x+1上运动,而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方, 当2x2=﹣x+1时,即x=﹣1或时, ﹣1<xC, 即﹣1<m﹣1, 故答案为:0<m. 三、解答题:本题共7小题,共65分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19.【答案】(1)x1=﹣3,x2=2; (2)x1=2,x2=﹣1. 【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可; (2)利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可. 【解答】解:(1)∵x2+x﹣6=0, ∴(x+3)(x﹣2)=0, 则x+3=0或x﹣2=0, 解得x1=﹣3,x2=2; (2)∵x(x﹣2)+x﹣2=0, ∴(x﹣2)(x+1)=0, 则x﹣2=0或x+1=0, 解得x1=2,x2=﹣1. 20.【答案】见试题解答内容 【分析】(1)分别作出点A和点B绕点O逆时针旋转90 所得对应点,再与点O首尾顺次连接即可得; (2)由所得图形可得点的坐标; (3)利用勾股定理可得答案. 【解答】解:(1)画出 A1OB1,如图. (2)点A1(0,1),点B1(﹣2,2). (3)OB1=OB==2. 21.【答案】(1)m﹣2; (2)x1=﹣,x2=3; (3)m>﹣. 【分析】(1)将x=2代入原方程可求出m的值; (2)代入m=3,利用因式分解法可求出方程的实数根; (3)根据方程的系数结合根的判别式 =b2﹣4ac>0,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围. 【解答】解:(1)将x=2代入原方程得2 22﹣5 2﹣m=0, 解得:m=﹣2, ∴m的值为﹣2; (2)将m=3代入原方程得2x2﹣5x﹣3=0, ∴(2x+1)(x﹣3)=0, 解得:x1=﹣,x2=3, ∴当m=3时,该方程的实数根为x1=﹣,x2=3; (3)∵关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m=0有两个不相等的实数根, ∴ =(﹣5)2﹣4 2 (﹣m)>0, 解得:m>﹣, ∴m的取值范围为m>﹣. 22.【答案】(1)m=﹣1,n=3,顶点坐标为(1,﹣4);(2)﹣4≤y<0;(3)P点坐标为(﹣2,5)或(4,5). 【分析】(1)令y=0,代入解析式可求出m、n,将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标; (2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论; (3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及S PAB=10,即可算出y的值,代入抛物线解析式即可得出点P的坐标. 【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣2x﹣3经过A(m,0)、B(n,0)两点,则x2﹣2x﹣3=0, 解方程得:x1=3,x2=﹣1, ∵A点在B点左侧, ∴m=﹣1,n=3, ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴顶点坐标为(1,﹣4). (2)由函数图象可得当0<x<3时,﹣4≤y<0. (3)∵A(﹣1,0)、B(3,0), ∴AB=4. 设P(x,y),则, ∴|y|=5, ∴y= 5. ①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4, 此时P点坐标为(﹣2,5)或(4,5); ②当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程无解; 综上所述,P点坐标为(﹣2,5)或(4,5). 23.【答案】见试题解答内容 【分析】(1)销售利润=每件商品的利润 (180﹣10 上涨的钱数),根据每件售价不能高于35元,可得自变量的取值; (2)让(1)中的y=1920求得合适的x的解即可; (3)利用公式法结合(1)得到的函数解析式可得二次函数的最值,结合实际意义,求得整数解即可. 【解答】解:(1)y=(30﹣20+x)(180﹣10x)=﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5,且x为整数); (2)1920=﹣10x2+80x+1800 x2﹣8x+12=0, (x﹣2)(x﹣6)=0, 解得x=2或x=6, ∵0≤x≤5, ∴x=2, ∴当x=2时,y的值为1920; (3)由(1)知,y=﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5,且x为整数). ∵﹣10<0, ∴当x==4时,y最大=1960元; ∴每件商品的售价为34元. 答:每件商品的售价为34元时,商品的利润最大,为1960元. 24.【答案】(1)5; (2)O'(2,4﹣2); (3)MN的取值范围是0≤MN≤8. 【分析】(1)由勾股定理求出AB的长,由旋转的性质得出∠ABA'=90 ,AB=A'B=5,由勾股定理可得出答案; (2)过点O'作O'C⊥OB于点C,由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC,O'C的长,则可得出答案; (3)画出图形,得出MN的最大值和最小值,则可得出答案. 【解答】解:(1)∵点A(3,0),点B(0,4), ∴AO=3,OB=4, ∴AB===5, ∵把 ABO绕点B逆时针旋转90 ,得 A'BO′, ∴∠ABA'=90 ,AB=A'B=5, ∴AA'===5; (2)如图②,若 =45 ,则∠CBO'=90 ,过点O'作O'C⊥OB于点C, 则∠CO'B=90 , ∴BC=CO', ∵把 ABO绕点B逆时针旋转45 ,得 A'BO′, ∴OB=O'B=4, ∴BC=CO'=4 =2, ∴OC=OB﹣BC=4﹣2, ∴O'(2,4﹣2); (3)如图③中,过点O作OH⊥AC, 则OH=, ∴BH==, 观察图形可知,MN重合时,MN的最小值=0, MN的最大值=BM+BN=5+3=8. ∴MN的取值范围是0≤MN≤8. 25.【答案】(1)y=x2+x+6; (2)(1,); (3)3; (4)(0,0)或(8,0)或(,0)或(,0). 【分析】(1)把A(﹣2,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+6,列方程组求出a、b的值即可; (2)连接BC交抛物线的对称轴于点F,连接AF、BE,先求得直线BC的函数表达式为y=x+6,根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点E与点F重合时 ACE的周长最小,求出此时点E的坐标即可; (3)作DH⊥x轴于点H,交BC于点G,求出直线BC的函数表达式,则D(m,m2+m+6),G(m,m+6),再用含m的代数式表示DG的长及 BCD的面积,根据 BCD的面积等于 AOC的面积的列方程求出m的值即可; (4)先证明当点N的纵坐标与点D的纵坐标相等或互为相反数,且MN∥BD时,以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,按点N在x轴上方或点N在x轴下方分类讨论,分别求出点M的坐标即可. 【解答】解:(1)把A(﹣2,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+6, 得, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2+x+6. (2)如图1,连接BC交抛物线的对称轴于点F,连接AF、BE, ∵点A(﹣2,0)、B(4,0)关于抛物线的对称轴对称, ∴抛物线的对称轴为直线x=1,且直线x=1垂直平分线段AB, ∴AE=BE,AF=BF, ∵BE+CE≥BC, ∴当点E与点F重合时,BE+CE=BF+CF=BC, 此时AE+CE=AF+CF=BF+CF=BC,可知AE+CE的值最小, 在 ACE中,AC的边为定值, ∴当AE+CE的值最小时,则 ACE的周长最小, 抛物线y=x2+x+6,当x=0时,y=6, ∴C(0,6), 设直线BC的函数表达式为y=kx+6,则4k+6=0, 解得k=, ∴直线BC的函数表达式为y=x+6, 当x=1时,y=, ∴E(1,). (3)如图2,作DH⊥x轴于点H,交BC于点G, ∵D(m,m2+m+6),G(m,m+6), ∴DG=(m2+m+6)﹣(m+6)=m2+3m, ∵S BCD=DG•OH+DG•BH=DG•OB,且S BCD=S AOC, ∴ 4(m2+3m)= 2 6, 整理得m2﹣4m+3=0, 解得m1=1(不符合题意,舍去),m2=3, ∴m的值为3. (4)存在,设N(x,x2+x+6), 当m=3时,D(3,), 如图3,四边形BDNM、四边形BM′DN都是平行四边形,点N的纵坐标y=, ∵点N与点D(3,)关于抛物线的对称轴直线x=1对称, ∴N(﹣1,), ∵BM=BM′=DN=3﹣(﹣1)=4, ∴M(0,0),M′(8,0); 如图4,四边形BDMN、四边形BDM′N′都是平行四边形,点N的纵坐标y=, ∴x2+x+6=, 整理得x2﹣2x﹣13=0, 解得x1=,x2=, ∴N(,),N′(,), 作DH⊥x轴于点H,NK⊥x轴于点K,N′L⊥x轴于点L, 则H(3,0),K(,0),L(,0), ∵∠NKM=∠DHB=90 ,∠NMK=∠DBH,MN=BD, ∴ NMK≌ DBH(AAS), ∴MK=BH=4﹣3=1, 同理M′L=1 ∴M(,0),M′(,0). 综上所述,点M的坐标为(0,0)或(8,0)或(,0)或(,0). 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/11/18 20:06:04;用户:菁优校本;邮箱:241113@xyh.com;学号:59832322 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$