2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第5章 四边形第22讲 矩形、菱形、正方形课件

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究 第22讲 矩形、菱形、正方形 (省卷：5年8考；兰州：3年8考) 2 甘肃5年中考真题及拓展 1 重难点突破 目录 CONTENTS 菱形的判定与性质 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. (1)要使四边形ABCD成为一个菱形，添加的一个条件是________________________； 重难点突破 重难点 例 AB＝BC(答案不唯一) 第1课时　菱　形 (2)在(1)的条件下，过点B作BG⊥CD交DC的延长线于点G，若AB＝5，OA＝3，求CG的长； 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD＝AB＝5，AC＝2OA＝6，AC⊥BD，BD＝2BO. (3)在(1)的条件下，若E是BC的中点，AB＝6，sin∠DBC＝ ，连接AE交BD于点F，求△BEF的面积． 甘肃5年中考真题及拓展 与菱形有关的证明与计算(省卷：5年3考；兰州：3年2考) 1．[2022兰州10题]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝ ，则OE＝(　 　) 命题点 1 C　 2．[2020省卷8题]如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是(　 　) A．90° B．100° C．120° D．150° C 3．[2024临夏州9题]如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为(　 　) C　 4．[2022省卷14题]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝ cm，AC＝4 cm，则BD的长为__cm. 8 5．[2023省卷15题]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝_____cm. 6．[2023兰州24题]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE. (1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由； 解：四边形OCDE是菱形，理由如下： ∵CD∥OE， ∴∠FDC＝∠FOE. ∵CE是OD的垂直平分线， ∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO， ∠DFC＝∠DFE＝90°. (2)当CD＝4时，求EG的长． 第22讲 矩形、菱形、正方形 2 甘肃5年中考真题及拓展 1 重难点突破 目录 CONTENTS 正方形的判定与性质 如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BD. (1)如图1，要使四边形ABCD成为一个正方形，添加的一个条件是________________________； 重难点突破 重难点 例 AB＝AD(答案不唯一) 第3课时　正方形 (2)在(1)的条件下，作CE∥BD，DE∥AC，若AC＝ ，求点E到边AB的距离； 解：如解图，连接EO并延长，交AB于点G，交CD于点H. ∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OC，AB∥CD， ∴四边形ODEC为正方形，∴CD⊥OE，EH＝OH，∴EG⊥AB. (3)如图2，E是平行四边形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，DE＝DF，判断线段BF与线段CD，AE之间的数量关系，并说明理由． 甘肃5年中考真题及拓展 与正方形有关的证明与计算(省卷：2021.27；兰州：3年2考) 1．[2024兰州14题]如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝__． 命题点 1 2 2．[2024兰州一诊26题]如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上．将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F三点共线，若BG＝2EG. (1)求证：四边形ABCD为正方形； 证明：由翻折的性质，得EG＝EA＝ED，BG＝BA， ∴AD＝2ED＝2EG. ∵BG＝2EG，∴BA＝2EG，∴AD＝BA. ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． (2)若DF＝2，求BC的长． 解：由翻折的性质，得∠GEB＝∠AEB，∠DEF＝GEF， ∴∠AEG＝2∠GEB，∠DEG＝2∠GEF， ∴2∠GEB＋2∠GEF＝180°， ∴∠BEF＝∠GEB＋∠GEF＝90°. ∵∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠DFE＝90°－∠DEF. ∵AB＝AD＝2EG＝2AE，DF＝2， ∴EA＝ED＝2DF＝4，AB＝2EA＝8， ∴BC＝AB＝8， 即BC的长是8. 3.[2021省卷27题]问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G. (1)求证：四边形ABCD是正方形； 问题解决： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°，∴∠BAF＋∠GAD＝90°. ∵DE⊥AF，∴∠ADG＋∠GAD＝90°， ∴∠BAF＝∠ADG. 又∵AF＝DE，∴△ABF≌DAE，∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． (2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 解：△AHF是等腰三角形．理由如下： ∵AB＝AD，∠ABH＝∠DAE＝90°，BH＝AE， ∴△ABH≌△DAE， ∴AH＝DE. 又∵DE＝AF， ∴AH＝AF， 即△AHF是等腰三角形． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长． 中点四边形 4．[2024山西]在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为(　 　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 命题点 2 拓 展 练 训 A 4 2 2 $$