第1章直线与方程第3章圆锥曲线与方程单元测试卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版选择性必修第一册《第 1章直线与方程 ~ 第3章圆锥曲线与方程（期中卷）》 2024年单元测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若过，两点的直线的倾斜角为，则(    ) A. B. C. 1 D. 5 2.已知直线：与：平行，则与的距离是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知椭圆C：的左焦点是，过的直线l：与圆：交于A，B两点，则的长为(    ) A. B. C. 2 D. 4.已知直线l过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，且，，成等差数列，则直线l的斜率(    ) A. B. C. D. 5.如图，从双曲线右焦点发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点，已知双曲线的离心率为，则当与恰好相等时，(    ) A. B. C. D. 6.点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为、若双曲线右支上存在点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且，则双曲线的浙近线方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线C：上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为(    ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若圆C的半径为，且直线与圆C相切于点，则圆的方程是(    ) A. B. C. D. 10.在直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点A，B分别在的左、右两支上，则(    ) A. 的离心率为定值 B. 是的一条渐近线 C. 的两条渐近线的夹角的正切值为 D. 的最小值为2 11.椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆第一象限上的一点不包括轴上的点，的重心是G，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有(    ) A. G的轨迹是椭圆的一部分 B. OG的长度范围是 C. 的取值范围是 D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点点A在第一象限，为坐标原点，，则______. 13.若圆与圆相交，则正数r的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题12分 已知双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合. 求抛物线E的标准方程； 若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M，N两点，求线段MN的长度. 15.本小题12分 已知分别过定点A，B的直线：，：，与x轴交于C点. 若为中，边BC上的高所在直线，求边BC上的中线所在直线方程； 若为中，边BC上的中线所在直线，求边BC上的高所在直线方程. 16.本小题12分 如图所示，m、n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m、n的交点.若A、B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A、B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m、n的距离分别为1km和10km，站点B到直线m、n的距离分别为9km和 建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； 为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道n上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点O上方，且点C到点O的距离d大于2km且小于10km，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场C的距离不小于，求游乐场C距点O距离的最大值. 17.本小题12分 已知椭圆的一个顶点为，焦距为 求椭圆E的方程； 过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，证明：为定值，并求出该值. 18.本小题12分 已知双曲线中，离心率为，且经过点 求双曲线方程； 若直线l：与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围； 过点是否能作直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ中点，若存在，求出直线m的方程，若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：由题意可得：，解得 故选： 由题意可得关于y的方程，进而求出y的值． 本题考查直线的倾斜角的应用，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：直线：与：平行， 直线转化为：， 与的距离 故选： 利用两平行线间的距离公式直接求解． 本题考查两平行线间的距离的求法，考查两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3.【答案】A  【解析】解：由题意可得，则过的直线l： 圆：的圆心，半径为2， 直线l：与圆：交于A，B两点， 则 故选： 求解椭圆的焦点坐标，得到直线方程，利用点到直线距离公式和弦长公式，求解即可． 本题考查直线与圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，是基础题． 4.【答案】D  【解析】解：当点在x轴上方，点在x轴下方， 设直线l的倾斜角为，， 抛物线C：， ， 由抛物线的性质可得，，，解得， 同理可得，， 故， ，，成等差数列， ，即， ，解得， ， ， 当点在x轴下方，点在x轴上方， 同理可得， 故直线l的斜率为 故选： 当点在x轴上方，点在x轴下方，设直线l的倾斜角为，，结合抛物线的性质可得，，，，再结合等差数列中等差中项的性质，即可求解k，当点在x轴下方，点在x轴上方，同理可得 本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题． 5.【答案】C  【解析】解：已知双曲线的离心率为， 所以， 即， 因为， 所以， 则 故选： 由题意，根据离心率公式得到a和c之间的关系，又，结合双曲线的定义以及余弦公式进行求解即可． 本题考查双曲线的性质以及余弦定理的应用，考查了逻辑推理和运算能力． 6.【答案】A  【解析】解：如图，设椭圆左焦点为， 为正三角形，，， 连接，则A在以为直径的圆上，， 又，由勾股定理可得，， 即，解得 故选： 由题意画出图形，设椭圆左焦点为，证明为直角三角形，然后利用勾股定理列式求解． 本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】B  【解析】解：设双曲线的左、右焦点分别为： ，， 一条渐近线方程为， 可得到渐近线的距离为， 则，， 在直角三角形中，， 在中，可得， 化为， 所以双曲线的渐近线方程为： 故选： 设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得到渐近线的距离，可得，，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得，可得渐近线方程． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 8.【答案】C  【解析】解：如图所示： 由抛物线的定义得：当P，Q，F共线时，到y轴的距离与到点的距离之和最小， 因为点到轴的距离与到点的距离之和的最小值为2， 所以，即， 解得 故选： 利用抛物线的定义求解． 本题考查了抛物线的定义，属于基础题． 9.【答案】BD  【解析】解：圆C的半径为， 可设圆的标准方程为， 过圆心且过切点的直线与直线垂直， 则，即①， 点在圆C上， 则②， 联立①②解得，或， 故所求圆的方程为：或 故选： 先设出圆的标准方程，结合直线垂直的性质，以及点在圆C上，即可求解． 本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：对于选项A：双曲线的右焦点为， 一条渐近线的方程为， 焦点到渐近线的距离，故， ，故离心率，故A正确； 对于选项B：由A知，，渐近线方程为，故B错误； 对于选项C：渐近线方程为， 一条渐近线的斜率，则， 且两直线的夹角的取值范围为， 所以两条渐近线的夹角的正切值，故C正确； 对于选项D：点A，B分别在的左、右两支上，，故D正确． 故选： 利用焦点到渐近线的距离不大于，求出a，即可判断A选项；利用双曲线的方程求出渐近线方程即可判断B选项；利用正切的二倍角公式即可判断C选项；利用双曲线的性质即可判断D选项． 本题考查双曲线的有关性质，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：设重心，又，，， ，即，又是椭圆上一点， ，即，故A正确； 的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为， ，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ，故D正确． 故选： 利用相关点法可明确 G的轨迹，利用 G的轨迹可知OG的长度范围，利用内角平分线定理与椭圆定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得 本题考查题意的简单几何性质和轨迹方程的求解，是中档题． 12.【答案】  【解析】解：的焦点为，准线方程为， 由，可得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为， 代入抛物线的方程可得，即为， 设，，可得，， 由，可得， 解得，，， 则 故答案为： 由题意可得直线AB的斜率和直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的焦半径公式，解方程可得p，可得所求值． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：两圆和相交， 圆的半径和圆心分别是1， 圆的半径和圆心分别是r， 两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和， 即， ， ， 正数r的取值范围是 故答案为： 先写出两圆圆：与圆：的半径和圆心，根据两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和，列出不等式，求出不等式的解． 本题考查圆与圆的位置关系，本题解题的关键是根据所给的圆的方程，看出圆心与半径，根据两个圆的位置关系等价的条件写出不等式，本题是一个基础题． 14.【答案】解：已知双曲线C的方程为， 此时，， 所以， 解得， 则双曲线C的右焦点为， 因为双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合， 不妨设抛物线E的标准方程为，焦点为， 此时， 解得， 则抛物线E的标准方程为； 由知， 所以双曲线C的右顶点为， 因为直线l过点且斜率为2， 所以直线l的方程为， 不妨设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，， 则   【解析】由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系得到双曲线C的右焦点，设出抛物线E的方程，根据双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，列出等式，即可求出物线E的标准方程； 设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可． 本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 15.【答案】解：直线：可知直线恒过， ：整理可得：，恒过， 直线与x轴的交点， ， 由题意可得：，可得，即， 所以BC的中点，， 所以BC边的中线为，即； 由可得BC的中点，即， 由题意可得D在BC的中线上，即， 即，可得或， 当时，，所以， 所以BC边上的高的斜率为， 所以BC边上的高的所在的直线方程为：，即； 当时，，此时， BC边上的高的斜率为， 所以BC边上的高所在的直线方程为：，即 所以BC边上的高所在的直线方程为：或  【解析】由直线，的方程，可得定点A，B，C的坐标，由题意可设BC边的高所在直线的斜率，由直线垂直，可得a的值，即求出C点的坐标，再求出BC的中点D的坐标，可得AD的斜率，进而可得BC边上的中线AD的方程； 由题意可得BC的中点D的坐标，代入直线的方程，可得a的值，分类可得C点的坐标，求出BC的斜率，进而求出BC边上高的斜率，代入斜截式方程，可得BC边上高的方程． 本题考查两条直线垂直的性质的应用及直线方程的求法，属于基础题． 16.【答案】解：以O为坐标原点，直线m、n分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系如图所示： 则由题意，，设圆弧AB所在圆的方程为， 又因为A、B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为 如图所示： 因为游乐场距点O的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则，即， 且，对公交线路上任意点P均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点O距离的最大值为  【解析】由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程 由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得d的范围． 本题考查函数的实际应用，函数建模，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题． 17.【答案】解：依题意可知，得， 故椭圆E的方程为 由题可知直线BC的方程为，设，， 联立直线BC和椭圆E的方程，得， 整理得， ，， 由得，易知直线AB的斜率，直线AB的方程为， 令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标， ，得  【解析】联立焦距及顶点坐标，即可求出椭圆参数，进而求出椭圆的标准方程； 联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，证明即可． 本题考查圆锥曲线的综合问题，属于中档题． 18.【答案】解：双曲线中，离心率为，且经过点， 可得，，，解得， 即双曲线的方程为； 联立，消去y可得， 由直线l：与双曲线左支有两个交点， 可得，，，， 解得，即k的取值范围是： 设，，假设过点能作直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ中点， 可得，， 由，，相减可得， 可得直线m的斜率为， 则直线m的方程为，即， 与双曲线的方程联立，可得， 由，故不存在这样的直线  【解析】由双曲线的离心率公式和点满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到所求； 联立直线l和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，解不等式可得所求取值范围； 假设存在这样的直线m，运用点差法和中点坐标公式，求得直线m的斜率，可得直线方程，再与双曲线的方程联立，检验判别式的符号可得结论． 本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$