第一章 直线与方程（知识&考点&公式&10高频&3易错&5重难，期中知识清单）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

第一章直线与方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(11类) 公式清单(4类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 答题技巧清单 知识点01直线的倾斜角 1. 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，倾斜角为0°.直线的倾斜角的取值范围为 知识点02 直线的斜率 1.把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即, ,且． 2.斜率与倾斜角的关系． 3.过两点的直线的斜率． 直线过两点, 则直线的斜率 4.直线的方向向量与斜率的关系 1）当直线的斜率为直线的一个方向向量为 2）直线的一个方向向量为直线的斜率为 知识点03 两直线平行和垂直的判定 1.两条直线平行（不重合）的判定． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 注意：若重合，则仍有或的斜率均不存在。 2.两条直线垂直的判定． 图示 对应关系 （两只直线的斜率都存在） 的斜率存在，的斜率为0 知识点04 直线方程的几种形式 1.截距:我们把直线与轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做在y轴上的截距;把与轴的交点(,0)的横坐标叫做直线在轴上的截距. 2.直线方程的几种形式 方程形式 常数的意义 使用范围 点斜式 是斜率 直线不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 两点式 ,是直线上的两个点(--) 直线不垂直于轴，轴 截距式 分别是直线在轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 一般式 Ax+By+C=0 A，B分别为，的系数，C为常数，A，B不同时为0 平面直角坐标系内的直线都适用 3.几种特殊位置的直线方程 1）轴：2）轴：;3)垂直于轴的直线:(常数)；4）垂直于轴的直线:(常数); 5)过原点且斜率为的直线： 知识点05 两条直线的位置关系 方程形式 斜截式 一般式 , ， 相交 ，（当） 垂直 ，（当） 平行 ， ，检验不重合即可。 重合 ， ，检验不平行即可。 知识点06 两点间距离公式 1.两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 2.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 3.两条平行线之间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 知识点07 平面内中点坐标公式 1.两点间的距离 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M（x，y）的坐标计算公式为, , 即M（, ）。 考点01 直线的倾斜角 考点内容：已知直线斜率求倾斜角或倾斜角的取值范围． 常见考法： 1.直接运用倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解. 2.根据斜率大小(或范围)求倾斜角的大小(或范围),利用正切函数的性质与图象求解，注意倾斜角的范围. 考点02 求直线的斜率 考点内容：已知倾斜角求斜率；已知两点坐标求斜率． 常见考法： (1)定义法：已知直线的倾斜角为，则斜率； (2)公式法：直线过两点, 则直线的斜率； (3)数形结合法：该法常用于解决下面题型:已知线段AB的两端点及线段外一点P,求过点P且与线段AB有交点的直线斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在，则解题步骤如下: 1)连接 PA,PB; 2)由斜率公式求出; 3)结合图形写出满足条件的斜率的范围. 考点03 斜率公式的应用 考点内容：三点共线求斜率；三点共线求斜率求参数；类比斜率求取值范围． 常见考法： ①已知三点坐标，利用斜率公式证明三点共线 判断任意两点的连线的斜率是否存在，若都不存在，则三点共线;若斜率都存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. ②已知三点共线求参数 判断所给的三点的横坐标是否相等，若有两个点的横坐标相等，则这三点的横坐标都相等，由此可得参数的值;若任意两点的横坐标都不相等，这时应利用斜率公式建立关于参数的方程(组)求解参数，一般需要对结果进行检验.； ③利用斜率公式求代数式的最值(范围) 形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率)，借助图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 考点04 两条直线平行的判定与应用 考点内容：判断两条直线的位置关系；已知位置关系求参数，已知位置关系求直线方程． 常见考法： ①利用直线的斜率判断两直线是否平行的步骤； ②利用直线的方向向量判断，求出直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，进而判断两直线是否平行； ③根据两直线平行求参数的值（或范围） 由两直线平行得到倾斜角相等，进而结合斜率得到含有参数的方程，解这个方程，从而得出结论. 考点05 两条直线垂直的判定与应用 考点内容：判断两条直线的位置关系；已知位置关系求参数，已知位置关系求直线方程． 常见考法： 1.判定两条直线垂直的方法： 1)利用直线的斜率判定: ①在两条直线斜率都存在的前提下，只需证明它们的斜率之积等于-1即可； ②一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也互相垂直； 2)利用直线的方向向量判定: 设直线,的方向向量为,直线的方向向量为,则. 2.根据两直线垂直求参数的值(或范围) 由两直线垂直得到两直线中一条直线斜率0，另一条直线的斜率不存在，或他们的斜率之积为-1，进而得含参的方程，求解即可。 考点06 判断图形的形状 考点内容：利用平行与垂直判断图形的形状． 常见考法： 利用平行、垂直判断图形形状的步骤 1)描点:在坐标系中描出给定的点. 2)猜测:根据描出的点猜测图形的形状. 3)求斜率:若斜率不存在，则直接说明;若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线的斜率。 4)结论:由斜率之间的关系判断图形形状.注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形。 考点07 求直线的方程 考点内容：根据条件求已知直线的方程，已知位置关系求直线方程． 常见考法： 1.直接法 直线方程形式的选择方法: 1)已知一点坐标，常选择点斜式，注意斜率不存在时，是否满足题意; 2)已知斜率选择斜截式或点斜式; 3)已知两坐标轴上的截距(都不为0)时选择截距式，含参问题需注意截距为0时是否满足题意; 4)已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. 2.待定系数法 利用待定系数法求直线方程的步骤: 1）设方程;2）求系数;3）代人方程得直线方程. 考点08 由位置关系求直线的方程 考点内容：根据位置关系求直线方程． 常见考法： 1.已知垂直求直线方程 1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为; 过点且与直线垂直的直线方程可设为. 2)利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在的情况). 2.已知平行求直线方程 1.与直线平行的直线方程可设为 (≠).当=时,两直线重合. 2.一般地,经过点)且与直线平行的直线方程可设为 3.利用平行直线(斜率存在)的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程。 考点09 两条直线位置关系的判断 考点内容：根据斜率判断两条直线的位置关系；根据直线方程判断两条直线的位置关系． 常见考法： 1)利用前边所讲的两方程的系数关系判断两直线的位置关系; 2)利用两直线的方向向量判断两直线的位置关系:若两不重合的直线的方向向量共线，则说明两直线平行;若两直线的方向向量垂直，则说明两直线垂直. 考点10 直线过定点问题 考点内容：求直线的定点；求直线方程过象限问题． 常见考法： 解决直线过定点问题常用的方法如下: 1.给方程的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，解出x，y，即为所求定点的坐标，注意求出定点后要代人检验. 2.将含参数的直线方程化为点斜式方程,则直线必过定点. 3.将含参数的直线方程整理为共点直线系方程的形式，则该方程表示的直线必过直线和的交点，此交点就是原直线方程所过的定点. 考点11 将军饮马求和差最值 考点内容：求和最小，差最大问题． 常见考法： 1.在直线上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法 1)当两定点A,B在直线的异侧时,如图1，连接AB,线段AB交直线于点P,此时AB与的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长.在直线上任取一点P',则. 2)当两定点A,B在直线l的同侧时，如图2，作点A关于直线l的对称点,连接A'B交直线于点P,此时点P到两定点的距离之和最小. 2.在直线上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 1)当两定点A,B在直线的同侧时(A,B连线与不平行)，如图3,连接BA并延长，交直线于点P.此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长.在上任意取一点P'，则有|. 2)当两定点A,B在直线l的异侧时，如图4作点A关于直线的对称点A’,连接BA’(BA'所在直线与不平行)并延长，交于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，最大值为线段A'B的长，即.在上任取一点，则有 1 直线系方程 具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类: 1.定点直线系方程经过定点的直线系方程为 (除直线方程外,k是待定系数)或 (其中A,B是待定系数). 2.平行直线系方程 直线中,当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程，与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+入=0(入≠C,入是参变量).当入=C时，直线与原直线重合. 3.垂直直线系方程 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+入=0(入是参变量). 2 经过两交点的直线方程 求过两直线交点的直线方程的常用方法: 1.求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出直线方程. 2.经过两直线, 的交点的直线方程为 (除直线的方程外)其中入是待定系数 3 线段垂直平分线的方程 1.已知,，求线段的垂直平分线的方程的方法如下： 1）线段的中点Q的坐标为（, ）； 2）当时，的斜率为； 3）直线的斜率 4）直线的方程为：。 2.利用线段垂直平分线的性质及两点间距离公式 取直线上的任意一点,则||， 即,整理后就得到的方程。 4 对称问题 1. 点或直线关于点的对称: 1)设点关于点的对称点为,则由中点坐标公式可得. 2)直线关于点的对称: 求直线关于点对称的直线的步骤: ①在上任取一点; ②求T关于M的对称点; ③将的坐标代人入直线的方程，化简得所求的方程. 2. 点关于直线的对称 1）如图，已知，直线,求点关于直线的对称点的步骤如下： 第一步：由直线和垂直，的 第二步：由线段的中点在直线上，的（, ）满足直线方程,即. 第三步：联立即可。 3.几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 4.直线关于直线的对称问题： 1)直线关于直线对称有两种类型: ①若直线与对称轴相交于点P,则交点P必在关于对称的直线上,再求出上除点P外任意一个点关于对称的点,那么经过交点P及点的直线就是. ②若直线，与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离与到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线. 辨析01 直线倾斜角的深度理解 1.直线的倾斜角体现了直线相对于x轴正向的倾斜程度. 2.在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角与之对应，但每一个倾斜角都有无数条平行直线与之对应. 辨析02 直线的倾斜角与斜率的概念理解不清 1.直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 2.直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. 3.由直线的斜率k的范围求倾斜角的范围时，要注意的取值范围，即0°≤<90°或90°<<180°,此时k=tan 的图象是不连续的. 辨析03 两直线平行求参数忽略讨论重合的情况 1.若两直线平行(不重合)，则两直线的倾斜角相等，反过来也成立，即若两不重合的直线的倾斜角相等，则两直线平行. 2.若两不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，反过来不成立，即两直线平行(不重合)，则斜率不一定相等，还可能都不存在. 辨析04 斜率忽略斜率不存在的情况 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况; 另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况. 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 【变式1-1】(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)直线的倾斜角为（   ） A．0° B．45° C．90° D．不存在 【答案】C 【分析】由直线倾斜角的定义即可得解. 【详解】直线与轴垂直，所以其倾斜角为90°. 故选：C. 【变式1-2】(25-26高二上·江苏无锡第一中学·期中)若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 【题型二】已知直线的倾斜角与斜率求参数 【例2-1】(25-26高二上·江苏无锡玉祁高级中学·期中)经过两点，的直线的倾斜角为，则（   ） A．－1 B．－3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据斜率的坐标运算结合斜率的定义列方程解得的值. 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：C 【变式2-1】(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【详解】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式2-2】(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直线的方向向量与共线，可求的值. 【详解】由，，有， 经过，两点的直线的方向向量为，则有. 故选：C. 【变式2-3】(23-24高二上·江苏扬州第一中学·期中)已知直线经过三点，，，则________． 【答案】 【分析】根据两点斜率公式，结合列出方程，解之即可得解. 【详解】因为直线经过三点，，， 所以，即，解得. 故答案为：. 【题型三】两条直线位置关系的判定 【例3】(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 【变式3-1】(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 【变式3-2】(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)（多选）下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率之积为的两直线相互垂直 C．在两坐标轴上截距相等的直线斜率为 D．直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线 【答案】BD 【分析】对于A：根据倾斜角定义分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线的一般方程分析判断. 【详解】对于A：直线的倾斜角的取值范围是，故A错误； 对于B：斜率之积为的两直线相互垂直，故B正确； 对于C：例如直线，此时在两坐标轴上截距均为0，相等，但斜率不为，故C错误； 对于D：直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线，故D正确； 故选：BD. 【变式3-3】(25-26高二上·江苏苏州工业园区星海实验高级中学·期中)已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 【答案】(1) 因为直线过点， 所以，解得，所以直线，即， 又直线，即， 所以，所以直线与垂直. (2)， 【分析】（1）首先求出直线的方程，即可求出、，从而得证； （2）首先将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，得到，解得即可. 【详解】（1）略 （2）直线，， 因为直线，关于轴对称， 所以，解得. 【题型四】两条直线的平行与垂直求参数 【例4-1】(25-26高二上·江苏扬州江都区部分学校·期中) （多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【详解】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确. 【变式4-1】(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知直线，与，则实数“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程求的值，结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】直线，与， 若，则，解得或， 所以实数“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】根据垂直的充要条件求解. 【详解】由题可知，，解得. 故选：A. 【变式4-3】(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知直线和，若，则（    ） A．－2 B．1 C．0或1 D．1或－2 【答案】B 【分析】根据直线平行的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知，解得. 故选：B 【题型五】两条直线的平行与垂直求直线 【例5-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 【变式5-1】(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)过点且与直线平行的直线方程为______． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为，因为点在直线上， 所以，可得， 所以该直线方程为. 故答案为：. 【变式5-2】(25-26高二上·江苏扬州中学·期中)经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 【变式5-3】(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 【题型六】直线过定点 【例6-1】(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中) （多选）对于直线l：，下列说法正确的是（    ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】ABD 【分析】由直线方程进行判断． 【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确； ，所以直线过点，B正确； 时斜率为，倾斜角为，C错误； 时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确 故选：ABD． 【变式6-1】(23-24高二上·江苏淮安·期中) （多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 【答案】ACD 【分析】求出直线的纵截距和横截距即可判断A，通过特例法判断B，由直线恒过定点，结合斜率、纵截距的符号即可判断C、D. 【详解】对于A，时，l的方程化为，令得直线的纵截距为， 令得直线的横截距为，即直线在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当时，，直线不过第二象限，错误； 对于C，时，将l的方程化为， 所以不论a为何值，直线l恒过定点，令得直线的纵截距为， 且直线斜率，所以直线不过第四象限，正确；    对于D，时，直线l的斜率，令得直线的纵截距为， 直线l恒过定点，所以直线过第二、三、四象限，正确.    故选：ACD 【变式6-2】(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【答案】(1) 因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. (2) 【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点； （2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解. 【详解】（1）略 （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 【变式6-3】(23-24高二上·江苏盐城第一中学·调研)已知直线． (1)求证：无论为何值，直线恒过定点； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程． 【答案】(1)证明如下： 直线可化为，故过定点， 所以无论为何值，直线恒过定点； (2)的最小值为4，直线的方程为 【分析】（1）将直线方程化为点斜式，从而求得定点的坐标. （2）先求得的表达式，然后利用基本不等式求得的最小值，并求得此时直线的方程. 【详解】（1）略 （2）因为直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“＝”， 所以的最小值为4，直线的方程为．    【题型七】求已知直线的方程 【例7-1】(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 【变式7-1】(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中)在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 【变式7-2】(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线交点的坐标，设所求直线方程为，将交点坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）联立得，故直线与直线的交点为， 根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入直线方程得，故所求直线方程为. （2）设所求直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 故所求直线的方程为，即或. 【变式7-3】(25-26高二上·江苏镇江实验高级中学、茅以升中学·期中) （多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断. 【详解】对于A，不含这条直线，错误； 对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确； 对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误； 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确， 故选：BD 【题型八】点到直线的距离 【例8-1】(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 【变式8-1】(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 【变式8-2】(25-26高二上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由数形结合思想可得题目所求最小值即为点到直线的距离. 【详解】直线上的点到点的距离的最小值为点到直线的距离． 故选：D 【变式8-3】(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若l与垂直，求直线l的方程； (2)若O到l的距离为1，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为-1求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程.（2）设出直线的方程（分斜率存在与不存在两种情况），根据点到直线的距离公式求出直线的方程. 【详解】（1），因为直线与垂直，所以直线的斜率. 又过点，根据点斜式可得直线方程为，整理得. （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式（这里，已知，则. 两边平方得，展开得，解得. 此时直线的方程为，整理得.   综上所得，直线的方程为或. 【题型九】两条平行线的距离 【例9-1】(25-26高二上·江苏盐城·期中)两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式进行求解即可. 【详解】将直线化简得， 故两条平行线间的距离． 故选：C. 【变式9-1】(25-26高二上·江苏江阴第一中学、青阳中学·期中)已知两条平行直线，之间的距离为，则 ______. 【答案】或4 【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式列式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 则，解得，此时直线即， 又因为与的距离为，则，即，解得或， 经检验或时，两直线平行不重合，故或. 故答案为：或4. 【变式9-2】(25-26高二上·江苏南通·期中)已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 【变式9-3】(25-26高二上·江苏南京·期中)两条直线与间的距离为___________． 【答案】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 【题型十】对称与反射 【例10-1】(25-26高二上·江苏扬州邗江区·期中) （多选）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的截距式为 C．关于直线的对称点为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用两点斜率公式可判定A，利用截距式方程可判定B，利用中点坐标公式结合两直线垂直可求对称点判定C，利用二次函数的性质可判定D. 【详解】易知，故A正确； 由可知直线的截距式为，故B错误； 设原点关于直线的对称点为，则在直线上， 且原点与其对称点连线与直线垂直，即，解之得，故C正确； 易知，则，时取等号，故D正确. 故选：ACD 【变式10-1】(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 【变式10-2】(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 【变式10-3】(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【详解】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 【题型一】直线过象限问题忽略平行与垂直 【例1】(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，即可求解. 【详解】由于，故直线可变形为， 故，因此直线经过第一、三、四象限， 故选：B 易错警示 利用斜截式判断象限问题，同时考虑与x轴y轴平行以及过原点的特殊情况. 【变式1-1】(23-24高二上·江苏盐城阜宁中学·期中) （多选）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（         ） A．直线恒过定点，且定点坐标为 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．若直线过第一、三象限，则 D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 【答案】ACD 【分析】求出直线的方程，分离参数可求得直线过的定点，判断A；根据直线的方程求出其在坐标轴上的截距，令二者相等求得a的值，判断B；根据直线所过象限确定直线的斜率正负，即可求得a的范围，判断C；根据题意判断直线和直线垂直，即可列式求得a，判断D. 【详解】对于A，当时，，直线的方程为， 即，即， 令，即此时直线恒过定点， 当时，，，直线的方程为也过点， 即直线恒过定点，且定点坐标为，A正确； 对于B，直线在两坐标轴上的截距相等， 显然时，直线的方程为不合题意； 故，此时直线的方程， 令，则，令，则， 令，即，解得或，B错误； 对于C，若直线过第一、三象限，则直线的斜率一定存在且为正数， 即，C正确； 对于D，若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆， 即该四边形对角互补， 而直线恒过定点，故需满足直线， 则，D正确， 故选：ACD 【变式1-2】(22-23高二上·江苏淮安盱眙县第二高级中学·期中)若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 【题型二】截距问题忽略过原点的情况 【例2】(24-25高二上·江苏横林高级中学·期中)已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 易错警示 截距问题，需要另考虑过原点的情况. 【变式2-1】(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直直线可得斜率，结合点斜式方程，可得答案； （2）设出对称点，利用中点坐标与垂直直线的斜率关系，建立方程组，可得答案. 【详解】【小题1】由直线，可得其斜率为2， 所以可得与之垂直的直线的斜率为， 所以过点与垂直的直线的方程为，即 【小题2】设的坐标为，则直线是线段的中垂线， 所以 解得 所以的坐标为 【变式2-2】(25-26高二上·江苏苏州中学校·期中)直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________. 【答案】或 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为， 又由直线经过点，则有，解可得， 此时直线的方程为， 故直线l的方程为或. 故答案为：或. 【变式2-3】(22-23高二上·江苏泰州·期中)已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求角B的角平分线所在直线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，根据截距相等得到直线方程为，代入点得到直线方程. （2）考虑点C位于直线下方和上方两种情况，计算倾斜角得到斜率，得到直线方程. 【详解】（1）①当所求直线过原点时，设直线方程为，直线过点A，，故方程为； ②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等， 所以设所求直线方程为，因为直线过点A，所以，解得， 所以所求直线方程为； 综上，满足条件的直线方程为或； （2）因为的顶点，，直线的斜率为， 所以直线方程为，直线的倾斜角为， ①当点C位于直线下方时，，设此时其角平分线为， 则角平分线的倾斜角为，其斜率为， 所以角平分线方程为，即； ②当点C位于直线上方时，， 设此时其角平分线为，则角平分线的倾斜角为，其斜率为， 所以角平分线方程为，即； 所以角B的角平分线所在直线的一般式方程为或． 【题型三】两点与直线距离相等问题忽略同侧与异侧 【例3】(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知两点到直线的距离相等，则的值为__________. 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可得，，即， 解得或. 故答案为：或. 易错警示 两点在直线同侧时，直线平行；两点在直线异侧时，直线过中点. 【变式3-1】(25-26高二上·江苏无锡第三高级中学·期中)已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 【变式3-2】(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中) （多选）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等， 因此直线存在斜率，设直线的方程为，即， 若点和点到直线的距离相等， 则，即，解得或， ∴直线的方程为或. 故选：BC. 【变式3-3】(22-23高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知的三个顶点是． (1)求边的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程， （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1）因为，所以边的高所在直线的斜率为， 所以边上高所在直线为 即． （2）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行, 所以，所以，即． ②当直线通过的中点， 所以，所以，即． 综上：直线的方程为或． 【题型一】类比斜率求取值范围 【例1】(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【题型二】直线与线段相交求取值范围 【例2-1】设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，直线过定点，且与线段没有交点，可转化为过点的直线与线段没有交点，作出图像，结合直线斜率的变化关系，即可求解. 【详解】根据题意，因为直线过定点，且斜率， 所以，， 若直线与线段没有交点，则由图可知， 直线斜率满足，解得， 即的取值范围是. 故选：C 【变式2-1】(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B.    【变式2-2】(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期中)设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图：    问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 【变式2-3】(22-23高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案. 【详解】    由，则直线的斜率， 由，则直线的斜率， 由图可知，，解得. 故选：A. 【题型三】倾斜角取值范围 【例3】(25-26高二上·江苏无锡大桥实验学校·期中)若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3-1】(23-24高二上·江苏扬州邗江区·期中)若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案. 【详解】，且， 或， 即的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-2】(25-26高二上·江苏太湖高级中学·期中)直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，求得直线的斜率为，得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得直线的斜率为，所以， 可得或，所以直线倾斜角的取值范围为. 故选：B. 【变式3-3】(24-25高二上·江苏无锡新吴区梅村高级中学空港分校·期中)已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由正切函数的性质知，当时，； 当时，不存在； 当时，. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【题型四】和差最值问题 【例4-1】(24-25高二上·江苏泰州·期中)点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 【变式4-1】(25-26高二上·江苏江阴部分学校·期中)已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 【变式4-2】(23-24高二上·江苏镇江丹阳·期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】/ 【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可. 【详解】设：，圆心为，半径为 点关于的对称点为 则，解得，即 则“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 【变式4-3】(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)已知实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将问题转化为点到直线的距离即可求解. 【详解】当取最小值时，即为点到直线的距离; 故选：A 【题型五】点到直线距离最值问题 【例5-1】(25-26高二上·江苏淮安·期中) （多选）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【答案】ACD 【分析】对A：令的系数为计算即可得；对B：结合垂直性质计算即可得；对C：当定点为垂足时，距离取最大值，计算即可得；对D：求出两截距后计算即可得. 【详解】对A：可化为， 令，解得，故直线恒过点，故A正确； 对B：由直线斜率为，则有，解得，故B错误； 对C：由直线恒过点，则当为垂足时， 原点到直线的距离的取最大值，此时距离为， 故坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对D：令，则，令，则， 由题意可得，，故, 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-1】(25-26高二上·江苏无锡青山高级中学·期中)点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 【变式5-2】(25-26高二上·江苏扬州第一中学·期中) （多选）已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A．当时， B．若，则，间的距离为 C．当时， D．原点到的距离的最大值为 【答案】BD 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的系数关系即可求解AC,结合距离公式即可求解BD. 【详解】对于A，当时， ，两直线重合，错误； 对于B，若 ，则，解得或.当时，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，间的距离为，正确； 对于C，当时，则，解得或，故C错误， 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BD. 【变式5-3】(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中) （多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 【答案】ABD 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，， 令，解得， 故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故， 故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1， 数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确. 故选：ABD 技巧 一句话要点 中心对称 点关于直线对称：若点与关于点对称则，。 直线关于点对称： 1.转化为点关于点对称，利用两点式求解; 2.若直线斜率存在，则求出一个对称点后，利用斜率相等及点斜式求解; 3.设出平行直线系方程，利用点到两对称平行直线的距离相等求解。 轴对称 点关于直线对称：若斜率存在且不为0，且点与关于直线对称，则 若直线斜率为0或不存在，情况比较简单，属性结合求解即可。 直线关于直线对称：直线关于直线对称的问题可以转化为点关于直线对称的问题。 横截式 ,( 或,t为x轴截距)不含斜率为0 的直线 两直线的夹角余弦 设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，与的夹角为θ，则 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章直线与方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(11类) 公式清单(4类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 答题技巧清单 知识点01直线的倾斜角 1. 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，倾斜角为0°.直线的倾斜角的取值范围为 知识点02 直线的斜率 1.把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即, ,且． 2.斜率与倾斜角的关系． 3.过两点的直线的斜率． 直线过两点, 则直线的斜率 4.直线的方向向量与斜率的关系 1）当直线的斜率为直线的一个方向向量为 2）直线的一个方向向量为直线的斜率为 知识点03 两直线平行和垂直的判定 1.两条直线平行（不重合）的判定． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 注意：若重合，则仍有或的斜率均不存在。 2.两条直线垂直的判定． 图示 对应关系 （两只直线的斜率都存在） 的斜率存在，的斜率为0 知识点04 直线方程的几种形式 1.截距:我们把直线与轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做在y轴上的截距;把与轴的交点(,0)的横坐标叫做直线在轴上的截距. 2.直线方程的几种形式 方程形式 常数的意义 使用范围 点斜式 是斜率 直线不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 两点式 ,是直线上的两个点(--) 直线不垂直于轴，轴 截距式 分别是直线在轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 一般式 Ax+By+C=0 A，B分别为，的系数，C为常数，A，B不同时为0 平面直角坐标系内的直线都适用 3.几种特殊位置的直线方程 1）轴：2）轴：;3)垂直于轴的直线:(常数)；4）垂直于轴的直线:(常数); 5)过原点且斜率为的直线： 知识点05 两条直线的位置关系 方程形式 斜截式 一般式 , ， 相交 ，（当） 垂直 ，（当） 平行 ， ，检验不重合即可。 重合 ， ，检验不平行即可。 知识点06 两点间距离公式 1.两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 2.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 3.两条平行线之间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 知识点07 平面内中点坐标公式 1.两点间的距离 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M（x，y）的坐标计算公式为, , 即M（, ）。 考点01 直线的倾斜角 考点内容：已知直线斜率求倾斜角或倾斜角的取值范围． 1.直接运用倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解. 2.根据斜率大小(或范围)求倾斜角的大小(或范围),利用正切函数的性质与图象求解，注意倾斜角的范围. 考点02 求直线的斜率 考点内容：已知倾斜角求斜率；已知两点坐标求斜率． (1)定义法：已知直线的倾斜角为，则斜率； (2)公式法：直线过两点, 则直线的斜率； (3)数形结合法：该法常用于解决下面题型:已知线段AB的两端点及线段外一点P,求过点P且与线段AB有交点的直线斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在，则解题步骤如下: 1)连接 PA,PB; 2)由斜率公式求出; 3)结合图形写出满足条件的斜率的范围. 考点03 斜率公式的应用 考点内容：三点共线求斜率；三点共线求斜率求参数；类比斜率求取值范围． ①已知三点坐标，利用斜率公式证明三点共线 判断任意两点的连线的斜率是否存在，若都不存在，则三点共线;若斜率都存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. ②已知三点共线求参数 判断所给的三点的横坐标是否相等，若有两个点的横坐标相等，则这三点的横坐标都相等，由此可得参数的值;若任意两点的横坐标都不相等，这时应利用斜率公式建立关于参数的方程(组)求解参数，一般需要对结果进行检验.； ③利用斜率公式求代数式的最值(范围) 形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率)，借助图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 考点04 两条直线平行的判定与应用 考点内容：判断两条直线的位置关系；已知位置关系求参数，已知位置关系求直线方程． ①利用直线的斜率判断两直线是否平行的步骤； ②利用直线的方向向量判断，求出直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，进而判断两直线是否平行； ③根据两直线平行求参数的值（或范围） 由两直线平行得到倾斜角相等，进而结合斜率得到含有参数的方程，解这个方程，从而得出结论. 考点05 两条直线垂直的判定与应用 考点内容：判断两条直线的位置关系；已知位置关系求参数，已知位置关系求直线方程． 1.判定两条直线垂直的方法： 1)利用直线的斜率判定: ①在两条直线斜率都存在的前提下，只需证明它们的斜率之积等于-1即可； ②一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也互相垂直； 2)利用直线的方向向量判定: 设直线,的方向向量为,直线的方向向量为,则. 2.根据两直线垂直求参数的值(或范围) 由两直线垂直得到两直线中一条直线斜率0，另一条直线的斜率不存在，或他们的斜率之积为-1，进而得含参的方程，求解即可。 考点06 判断图形的形状 考点内容：利用平行与垂直判断图形的形状． 利用平行、垂直判断图形形状的步骤 1)描点:在坐标系中描出给定的点. 2)猜测:根据描出的点猜测图形的形状. 3)求斜率:若斜率不存在，则直接说明;若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线的斜率。 4)结论:由斜率之间的关系判断图形形状.注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形。 考点07 求直线的方程 考点内容：根据条件求已知直线的方程，已知位置关系求直线方程． 1.直接法 直线方程形式的选择方法: 1)已知一点坐标，常选择点斜式，注意斜率不存在时，是否满足题意; 2)已知斜率选择斜截式或点斜式; 3)已知两坐标轴上的截距(都不为0)时选择截距式，含参问题需注意截距为0时是否满足题意; 4)已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. 2.待定系数法 利用待定系数法求直线方程的步骤: 1）设方程;2）求系数;3）代人方程得直线方程. 考点08 由位置关系求直线的方程 考点内容：根据位置关系求直线方程． 1.已知垂直求直线方程 1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为; 过点且与直线垂直的直线方程可设为. 2)利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在的情况). 2.已知平行求直线方程 1.与直线平行的直线方程可设为 (≠).当=时,两直线重合. 2.一般地,经过点)且与直线平行的直线方程可设为 3.利用平行直线(斜率存在)的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程。 考点09 两条直线位置关系的判断 考点内容：根据斜率判断两条直线的位置关系；根据直线方程判断两条直线的位置关系． 1)利用前边所讲的两方程的系数关系判断两直线的位置关系; 2)利用两直线的方向向量判断两直线的位置关系:若两不重合的直线的方向向量共线，则说明两直线平行;若两直线的方向向量垂直，则说明两直线垂直. 考点10 直线过定点问题 考点内容：求直线的定点；求直线方程过象限问题． 解决直线过定点问题常用的方法如下: 1.给方程的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，解出x，y，即为所求定点的坐标，注意求出定点后要代人检验. 2.将含参数的直线方程化为点斜式方程,则直线必过定点. 3.将含参数的直线方程整理为共点直线系方程的形式，则该方程表示的直线必过直线和的交点，此交点就是原直线方程所过的定点. 考点11 将军饮马求和差最值 考点内容：求和最小，差最大问题． 1.在直线上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法 1)当两定点A,B在直线的异侧时,如图1，连接AB,线段AB交直线于点P,此时AB与的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长.在直线上任取一点P',则. 2)当两定点A,B在直线l的同侧时，如图2，作点A关于直线l的对称点,连接A'B交直线于点P,此时点P到两定点的距离之和最小. 2.在直线上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 1)当两定点A,B在直线的同侧时(A,B连线与不平行)，如图3,连接BA并延长，交直线于点P.此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长.在上任意取一点P'，则有|. 2)当两定点A,B在直线l的异侧时，如图4作点A关于直线的对称点A’,连接BA’(BA'所在直线与不平行)并延长，交于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，最大值为线段A'B的长，即.在上任取一点，则有 1 直线系方程 具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类: 1.定点直线系方程经过定点的直线系方程为 (除直线方程外,k是待定系数)或 (其中A,B是待定系数). 2.平行直线系方程 直线中,当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程，与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+入=0(入≠C,入是参变量).当入=C时，直线与原直线重合. 3.垂直直线系方程 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+入=0(入是参变量). 2 经过两交点的直线方程 求过两直线交点的直线方程的常用方法: 1.求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出直线方程. 2.经过两直线, 的交点的直线方程为 (除直线的方程外)其中入是待定系数 3 线段垂直平分线的方程 1.已知,，求线段的垂直平分线的方程的方法如下： 1）线段的中点Q的坐标为（, ）； 2）当时，的斜率为； 3）直线的斜率 4）直线的方程为：。 2.利用线段垂直平分线的性质及两点间距离公式 取直线上的任意一点,则||， 即,整理后就得到的方程。 4 对称问题 1. 点或直线关于点的对称: 1)设点关于点的对称点为,则由中点坐标公式可得. 2)直线关于点的对称: 求直线关于点对称的直线的步骤: ①在上任取一点; ②求T关于M的对称点; ③将的坐标代人入直线的方程，化简得所求的方程. 2. 点关于直线的对称 1）如图，已知，直线,求点关于直线的对称点的步骤如下： 第一步：由直线和垂直，的 第二步：由线段的中点在直线上，的（, ）满足直线方程,即. 第三步：联立即可。 3.几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 4.直线关于直线的对称问题： 1)直线关于直线对称有两种类型: ①若直线与对称轴相交于点P,则交点P必在关于对称的直线上,再求出上除点P外任意一个点关于对称的点,那么经过交点P及点的直线就是. ②若直线，与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离与到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线. 辨析01 直线倾斜角的深度理解 1.直线的倾斜角体现了直线相对于x轴正向的倾斜程度. 2.在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角与之对应，但每一个倾斜角都有无数条平行直线与之对应. 辨析02 直线的倾斜角与斜率的概念理解不清 1.直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 2.直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. 3.由直线的斜率k的范围求倾斜角的范围时，要注意的取值范围，即0°≤<90°或90°<<180°,此时k=tan 的图象是不连续的. 辨析03 两直线平行求参数忽略讨论重合的情况 1.若两直线平行(不重合)，则两直线的倾斜角相等，反过来也成立，即若两不重合的直线的倾斜角相等，则两直线平行. 2.若两不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，反过来不成立，即两直线平行(不重合)，则斜率不一定相等，还可能都不存在. 辨析04 斜率忽略斜率不存在的情况 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况; 另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况. 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)直线的倾斜角为（   ） A．0° B．45° C．90° D．不存在 【变式1-2】(25-26高二上·江苏无锡第一中学·期中)若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【题型二】已知直线的倾斜角与斜率求参数 【例2-1】(25-26高二上·江苏无锡玉祁高级中学·期中)经过两点，的直线的倾斜角为，则（   ） A．－1 B．－3 C．2 D． 【变式2-1】(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【变式2-2】(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】(23-24高二上·江苏扬州第一中学·期中)已知直线经过三点，，，则________． 【题型三】两条直线位置关系的判定 【例3】(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-1】(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)（多选）下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率之积为的两直线相互垂直 C．在两坐标轴上截距相等的直线斜率为 D．直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线 【变式3-3】(25-26高二上·江苏苏州工业园区星海实验高级中学·期中)已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 【题型四】两条直线的平行与垂直求参数 【例4-1】(25-26高二上·江苏扬州江都区部分学校·期中) （多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【变式4-1】(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知直线，与，则实数“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式4-2】(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【变式4-3】(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知直线和，若，则（    ） A．－2 B．1 C．0或1 D．1或－2 【题型五】两条直线的平行与垂直求直线 【例5-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【变式5-1】(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)过点且与直线平行的直线方程为______． 【变式5-2】(25-26高二上·江苏扬州中学·期中)经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【题型六】直线过定点 【例6-1】(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中) （多选）对于直线l：，下列说法正确的是（    ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【变式6-1】(23-24高二上·江苏淮安·期中) （多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 【变式6-2】(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【变式6-3】(23-24高二上·江苏盐城第一中学·调研)已知直线． (1)求证：无论为何值，直线恒过定点； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程． 【题型七】求已知直线的方程 【例7-1】(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【变式7-1】(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中)在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【变式7-2】(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. 【变式7-3】(25-26高二上·江苏镇江实验高级中学、茅以升中学·期中) （多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 【题型八】点到直线的距离 【例8-1】(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【变式8-1】(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-2】(25-26高二上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-3】(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若l与垂直，求直线l的方程； (2)若O到l的距离为1，求直线l的方程． 【题型九】两条平行线的距离 【例9-1】(25-26高二上·江苏盐城·期中)两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】(25-26高二上·江苏江阴第一中学、青阳中学·期中)已知两条平行直线，之间的距离为，则 ______. 【变式9-2】(25-26高二上·江苏南通·期中)已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【变式9-3】(25-26高二上·江苏南京·期中)两条直线与间的距离为___________． 【题型十】对称与反射 【例10-1】(25-26高二上·江苏扬州邗江区·期中) （多选）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的截距式为 C．关于直线的对称点为 D．的最大值为 【变式10-1】(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【变式10-2】(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【变式10-3】(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【题型一】直线过象限问题忽略平行与垂直 【例1】(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 易错警示 利用斜截式判断象限问题，同时考虑与x轴y轴平行以及过原点的特殊情况. 【变式1-1】(23-24高二上·江苏盐城阜宁中学·期中) （多选）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（         ） A．直线恒过定点，且定点坐标为 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．若直线过第一、三象限，则 D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 【变式1-2】(22-23高二上·江苏淮安盱眙县第二高级中学·期中)若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型二】截距问题忽略过原点的情况 【例2】(24-25高二上·江苏横林高级中学·期中)已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 易错警示 截距问题，需要另考虑过原点的情况. 【变式2-1】(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 【变式2-2】(25-26高二上·江苏苏州中学校·期中)直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________. 【变式2-3】(22-23高二上·江苏泰州·期中)已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求角B的角平分线所在直线方程． 【题型三】两点与直线距离相等问题忽略同侧与异侧 【例3】(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知两点到直线的距离相等，则的值为__________. 易错警示 两点在直线同侧时，直线平行；两点在直线异侧时，直线过中点. 【变式3-1】(25-26高二上·江苏无锡第三高级中学·期中)已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【变式3-2】(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中) （多选）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】(22-23高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知的三个顶点是． (1)求边的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程． 【题型一】类比斜率求取值范围 【例1】(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知，则的取值范围是________． 【题型二】直线与线段相交求取值范围 【例2-1】设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期中)设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(22-23高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【题型三】倾斜角取值范围 【例3】(25-26高二上·江苏无锡大桥实验学校·期中)若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】(23-24高二上·江苏扬州邗江区·期中)若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____. 【变式3-2】(25-26高二上·江苏太湖高级中学·期中)直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25高二上·江苏无锡新吴区梅村高级中学空港分校·期中)已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______. 【题型四】和差最值问题 【例4-1】(24-25高二上·江苏泰州·期中)点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】(25-26高二上·江苏江阴部分学校·期中)已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【变式4-2】(23-24高二上·江苏镇江丹阳·期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【变式4-3】(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)已知实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 【题型五】点到直线距离最值问题 【例5-1】(25-26高二上·江苏淮安·期中) （多选）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．若直线与直线垂直，则 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【变式5-1】(25-26高二上·江苏无锡青山高级中学·期中)点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【变式5-2】(25-26高二上·江苏扬州第一中学·期中) （多选）已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A．当时， B．若，则，间的距离为 C．当时， D．原点到的距离的最大值为 【变式5-3】(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中) （多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 技巧 一句话要点 中心对称 点关于直线对称：若点与关于点对称则，。 直线关于点对称： 1.转化为点关于点对称，利用两点式求解; 2.若直线斜率存在，则求出一个对称点后，利用斜率相等及点斜式求解; 3.设出平行直线系方程，利用点到两对称平行直线的距离相等求解。 轴对称 点关于直线对称：若斜率存在且不为0，且点与关于直线对称，则 若直线斜率为0或不存在，情况比较简单，属性结合求解即可。 直线关于直线对称：直线关于直线对称的问题可以转化为点关于直线对称的问题。 横截式 ,( 或,t为x轴截距)不含斜率为0 的直线 两直线的夹角余弦 设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，与的夹角为θ，则 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $