第3章圆锥曲线与方程单元测试卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版选择性必修第一册《第3章圆锥曲线与方程》2024年单元测试卷 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则(    ) A. 2 B. 2 C. D. 4 2.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.已知点M在抛物线C：上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，F为C的右焦点，C的离心率为2，若P为C右支上一点，满足，则(    ) A. B. 1 C. D. 2 5.已知圆C：，椭圆：，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则为坐标原点的最大值为(    ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知A，B是过抛物线的焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足，，则(    ) A. 2 B. C. 4 D. 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，连接交y轴于点若为等边三角形，则双曲线C的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 8.已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，若，则(    ) A. B. C. D. F的坐标为 9.已知、，则下列命题中正确的是(    ) A. 平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 B. 平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支 C. 平面内满足的动点P的轨迹为抛物线 D. 平面内满足的动点P的轨迹为圆 10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若圆与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是(    ) A. 双曲线C的离心率 B. 过点截双曲线所得弦长为的直线有三条 C. 若O是坐标原点，双曲线C上一点P满足，则的面积是12 D. 若双曲线C上一点P满足，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥如图所示有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为h米，跨径为1米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______米．结果用h，l表示 12.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程______. 13.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数b的值为______. 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题12分 已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点、， 求双曲线的标准方程； 若点在双曲线上，且，求t与m的值. 15.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线①过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，②点P到的距离比P到y轴的距离大 在①和②中选择一个作为条件： 选择条件：求曲线C的方程； 在x轴正半轴上是否存在一点M，当过点M的直线l与抛物线C交于Q，R两点时，为定值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 16.本小题12分 动点M与定点的距离和M到定直线的距离之比是常数 求动点M的轨迹G的方程； 设O为原点，点，过点A的直线l与M的轨迹交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP，BQ分别与y轴交于R，S两点.求证：为定值. 17.本小题12分 已知抛物线C：的准线与x轴相交于点D，过抛物线C焦点F的直线与C相交于A，B两点，面积的最小值为 求抛物线C的方程； 若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点P，使得对任意的直线l，都有若存在，求出点P的坐标；若不存在，则说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：椭圆化为标准方程：， 因为椭圆的焦点在y轴上，所以，， 再由长轴长是短轴长的两倍，可得，即， 解得， 故选： 将椭圆的方程化为标准方程，可得，的值，再由长轴长是短轴长的两倍，可得，求出m的值． 本题考查椭圆的定义及性质的应用，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：因为曲线为椭圆，焦点在y轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线为，即， 则，解得， 所以所求双曲线为 故选： 先由与椭圆共焦点得到，且焦点在y轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解． 本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查运算求解能力，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：根据题意可得，，， 设，， 将N点坐标代入中，可得， 解得，， 故选： 根据题意可得，，，设，则，将N代入中建立方程，求出t的值，再根据抛物线的焦半径公式，即可求解． 本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题． 4.【答案】A  【解析】解：设点， 由，得， ，，将代入C的方程得，得， 当时，， 故 同理可得当时， 故选： 设点，由C的离心率可得b、c与a的关系，再由，求得，将代入C的方程，得，然后分类利用到角公式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题． 5.【答案】C  【解析】解：，，其中P为圆C：的切点， 则根据导数及同解方程原理易得： 直线AB的方程为①， 又过圆C：上点P的切线AB方程为②， 由①②可得，， 为，又点P在圆C：上， ， 点Q的轨迹方程为，即Q的轨迹为长轴长为的椭圆， 的最大值为， 故选： 根据椭圆与圆上点的切线方程的结论，同解方程原理，“相关点法“，椭圆的几何性质，即可求解． 本题考查椭圆与圆上点的切线方程，同解方程原理的应用，“相关点法“的应用，椭圆的几何性质，属中档题． 6.【答案】A  【解析】解：设，， ， ， ， ， ，， 抛物线的焦点弦性质可知，， ，， ， ，解得 故选： 根据已知条件，结合向量的坐标运算，可得，，再结合抛物线的焦点弦性质，以及三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题． 7.【答案】C  【解析】解：由题意，因为为等边三角形， 所以，， 因为≌， 所以，，即，故点， 因为， 则，解得 故选： 利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率 本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 8.【答案】AC  【解析】解：抛物线C：的焦点为F，可得，所以D不正确； 点在抛物线C上， 所以，所以A正确；代入抛物线方程可得所以B不正确； 所以C正确； 故选： 求出抛物线的焦点坐标判断D；利用抛物线的定义，求出，判断A；求出判断B，求解判断 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 9.【答案】AD  【解析】解：对于选项A，有、，且，由椭圆定义可知选项A正确； 对于选项B，有、，且，轨迹为射线， 不符合双曲线的定义可知选项B错误； 对于选项C，有、，且，轨迹为线段AB的垂直平分线， 不符合抛物线的定义可知选项C错误； 对于选项D，有、，且， 设点，则， 化简可得，可知选项D正确． 故选： 由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D； 本题考查圆锥曲线定义，轨迹问题，属于中档题． 10.【答案】ABD  【解析】解：A选项，C：的渐近线方程为， 的圆心为，半径为， 故，解得， 故C：，即C：， 离心率，A正确； B选项，，当过点F的直线斜率不存在时， 令C：，故，解得， 此时截双曲线所得弦长为， 当过点的直线斜率存在时，设为， 与联立，消去y得， 故，，解得， 设两交点为，， 则，， 故，解得， 故所得弦长为的直线有三条，B正确； C选项，，，， 设，则且，解得， 故的面积是，C错误； D选项，因为，故，即， 故，又， 则的周长为，D正确． 故选： A选项，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出m得到离心率；B选项，先考虑过点F的直线斜率不存在时，满足要求，再考虑过点的直线斜率存在时，设出，与双曲线方程联立，表达出弦长，求出，故B正确；C选项，设出，得到方程组，求出，求出的面积；D选项，由双曲线定义求出，从而求出周长． 本题主要考查双曲线的离心率的求法，双曲线中的焦点三角形问题，双曲线中的弦长的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 该抛物线方程可写为 该抛物线经过点，代入抛物线方程可得 ， 解得 桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为： 故答案为： 根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点代入抛物线方程解出p的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为 本题主要考查抛物线在实际中的应用，考查了抛物线的基础知识．本题属基础题． 12.【答案】  【解析】解：根据题意可设：所求椭圆方程为，， 又该椭圆过，离心率为， ， 解得，， 所求椭圆方程为 故答案为： 根据椭圆的几何性质，方程思想，即可求解． 本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题． 13.【答案】0或  【解析】解：设，，MN的中点为，则， 由点差法可得，即①， 显然，又因为，，②， 代②入①可得； 由M，N两点关于直线对称，可得， 所以，又因为，所以， 代入抛物线方程得， 解得或 故答案为：0或 设，，MN的中点为，由点差法可得；通过M，N两点关于直线对称，可得，求出E的坐标，代入抛物线方程求解即可． 本题考查直线与双曲线以及抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力． 14.【答案】解：椭圆， 即为， 焦点，， 设双曲线的方程为， 可得， 又， 解得， 即有双曲线的方程为； 若点在双曲线上， 且， 即有， 即为， 又， 解得，  【解析】求得椭圆的焦点坐标，可设双曲线的方程为，运用a，b，c的关系和点满足双曲线的方程，可得a，b，进而得到所求双曲线的方程； 运用向量的坐标和数量积的坐标运算，以及点满足双曲线的方程，解方程即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查双曲线方程的运用，以及向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 15.【答案】解：选①，设，因为过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径， 所以可得，整理可得， 所以曲线C的方程为； 选②，由点P到的距离比P到y轴的距离大1， 可得点P到的距离与P到的距离相等， 所以由抛物线的定义可知P的轨迹为抛物线且， 所以曲线C的方程为； 设存在，， 显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，设，， 联立，整理可得：， ，即， 且，， 可得， 同理可得， 所以 要为定值，则，满足， 可得存在定点，满足为定值．  【解析】选①，设P的坐标，由题意可得P点的横纵坐标的关系，整理可得P点的轨迹方程；选②，可得点P到的距离与P到的距离相等，由抛物线定义可求曲线C的方程； 设存在M满足条件，设直线l的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出，的代数式，进而求出倒数之和，整理可得其值为定值时M点的坐标． 本题考查点的轨迹方程的求法及直线恒过定点的求法，属中档题． 16.【答案】解：设点， 由题意，可得，则 所以动点M的轨迹G的方程为 证明：由直线l与x轴不重合， 设直线l的方程为，点、， 联立，可得， ， 由韦达定理，可得， ，所以直线BP的方程为， 在直线BP的方程中，令，可得， 即点，同理， 所以   【解析】设点，根据题意得到关于x、y的等式，再求出轨迹G的方程； 设直线l的方程为，点、，将直线l的方程与轨迹G的方程联立，求出点R、S的坐标，再求出为定值． 本题考查了椭圆轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题． 17.【答案】解：由题意得，，， 设直线AB的方程为，，， 由，得， ， ， ， 当时，取最小值，， 抛物线C的方程为 假设存在定点，设直线l的方程为，，， 直线l过点，； 联立，得， ，， ，， 即， 即，， ，又， ，整理得， 当时，此时，即存在点，使得对任意的直线l，都有  【解析】设直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程，消元，利用韦达定理和三角形面积公式，求出的面积，利用二次函数求出最小值，即可求出p，然后代入即可求得抛物线方程； 假设存在点P，设直线l的方程为，联立直线和抛物线方程，消元，利用韦达定理表达出，利用点在抛物线上化简该式，代入即可求出点P的坐标． 本题考查抛物线方程，直线和抛物线位置关系，属中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$