5．2．2 同角三角函数的基本关系（五大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．2．2 同角三角函数的基本关系 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 3 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 4 题型三：与关系的应用 4 题型四：利用同角关系化简三角函数式 5 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 7 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点二：同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 【方法技巧与总结】 （1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值． ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解； ②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解； ③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解． 求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取． （2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． （3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）． 【典型例题】 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【典例1-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【典例1-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式1-1】（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知，为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【典例2-1】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 【典例2-2】（2024·高一·湖南衡阳·期中）已知，则的值为 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式2-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知，则 ． 【变式2-2】（2024·高一·安徽·期末）已知，则 . 【变式2-3】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则 . 【变式2-4】（2024·高一·上海·单元测试）若，则 . 【变式2-5】（2024·高一·湖北·期末）已知，则的值为 ． 题型三：与关系的应用 【典例3-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，则 ． 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知是方程的两个根，，则角等于 ． 【变式3-2】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知，则 ，若，则 . 【变式3-3】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【变式3-4】（2024·高一·四川乐山·阶段练习）已知，若，则的值为 【变式3-5】（2024·高一·山东济宁·期末）若，，则 . 题型四：利用同角关系化简三角函数式 【典例4-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）（1）若，求的值． （2）若，化简 【典例4-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）（1）化简： （2）已知，计算 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）化简：（）. 【变式4-2】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 【变式4-3】（2024·高一·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）化简： 【变式4-5】（2024·高一·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【变式4-6】（2024·高一·天津·阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 【典例5-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）求证：. 【方法技巧与总结】 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【变式5-2】（2024·高一·全国·单元测试）求证:. 【变式5-3】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的值， （2）分别计算和的值，你有什么发现，对于，和又有什么关系，请给出证明． 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知，（，），求证：； （2）已知，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．2．2 同角三角函数的基本关系 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 3 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 5 题型三：与关系的应用 7 题型四：利用同角关系化简三角函数式 10 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 13 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点二：同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 【方法技巧与总结】 （1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值． ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解； ②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解； ③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解． 求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取． （2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． （3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）． 【典型例题】 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【典例1-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题设，，故. 故选：B 【典例1-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第二象限角，所以. 又，，所以. 所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式1-1】（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以． 故选：B 【变式1-3】（2024·高一·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 【变式1-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知，为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以， 联立，解得， 因为为第三象限角， 所以， 故 故选：C. 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【典例2-1】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）若，则 ＝ 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高一·湖南衡阳·期中）已知，则的值为 【答案】 【解析】. 故答案为： 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式2-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】， 故答案为： 【变式2-2】（2024·高一·安徽·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【变式2-3】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则 . 【答案】/ 【解析】， 故原式， 故答案为： 【变式2-4】（2024·高一·上海·单元测试）若，则 . 【答案】1 【解析】因为，所以. 故答案为：1 【变式2-5】（2024·高一·湖北·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 题型三：与关系的应用 【典例3-1】（2024·高一·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】 【解析】 ∴. . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知是方程的两个根，，则角等于 ． 【答案】 【解析】∵ 代入，得，即． 又∵，∴，， ∴，． 又∵，∴． 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知，则 ，若，则 . 【答案】 / 【解析】由题意：，得：， 所以：， 所以：， 因为：，所以：， 又因为：，得：， 所以：，得： 又因为：，所以：，， 所以：. 故答案为：；. 【变式3-3】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意，两边同时平方可得， 即， 所以， 又因为，所以，， 所以， 可得． 故答案为： 【变式3-4】（2024·高一·四川乐山·阶段练习）已知，若，则的值为 【答案】 【解析】因为，，则有， 有，即，， 因此， 所以. 故答案为： 【变式3-5】（2024·高一·山东济宁·期末）若，，则 . 【答案】/ 【解析】，故，故， ，故，，， ，故. 故答案为： 题型四：利用同角关系化简三角函数式 【典例4-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）（1）若，求的值． （2）若，化简 【解析】（1）由，得 . （2）由，得， . 【典例4-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）（1）化简： （2）已知，计算 【解析】（1） （2） 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）化简：（）. 【解析】由，得，则， 所以原式 . 【变式4-2】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 【解析】（1）是第三象限角， ； （2）不妨设直角三角形的一个锐角为， 方程中，， 当，方程恒有两实根， 又， 所以， 解得， 当时，，，满足题意， 当时，，这与是锐角矛盾，应舍去． 综上，. 【变式4-3】（2024·高一·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【解析】（1）. （2）∵为第三象限角，∴，， 又因为. 故，. 【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）化简： 【解析】解析： ＝ 【变式4-5】（2024·高一·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【解析】（1）因为,,所以， 当时，； 当时，， 综上，时，；时，. （2）因为为第二象限角，所以， 则， 所以 【变式4-6】（2024·高一·天津·阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 【解析】（1）由，两边平方得，即， 所以； 由是的一个内角，得，则，而，则，有， 所以是钝角三角形. （2）由（1）知，，， 所以. 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 【典例5-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【解析】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）求证：. 【解析】. 所以原等式成立． 【方法技巧与总结】 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【解析】左边右边. 所以. 【变式5-2】（2024·高一·全国·单元测试）求证:. 【解析】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 【变式5-3】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的值， （2）分别计算和的值，你有什么发现，对于，和又有什么关系，请给出证明． 【解析】（1）， 因为，所以，， （2）， ， ， 所以. 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知，（，），求证：； （2）已知，求证：． 【解析】（1）由得：，而， 于是得，即，因此， 又，，即有，所以. （2）因为，则有 当时，，则，必有，显然等式成立， 当时，由得：，又， 因此，则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$