5．2．2 同角三角函数的基本关系（五大题型）（精练）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．2．2 同角三角函数的基本关系 目录 【题型归纳】 2 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 2 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 2 题型三：与关系的应用 2 题型四：利用同角关系化简三角函数式 3 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 3 【重难点集训】 4 【高考真题】 7 【题型归纳】 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 1．（2024·高一·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·云南玉溪·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·江西景德镇·期末）已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 5．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ， . 6．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）已知，则 ， . 7．（2024·高三·全国·专题练习）如果，那么 ， ， ． 题型三：与关系的应用 8．（2024·高一·四川泸州·期末）若，且，则 ． 9．（2024·高一·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 10．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知，则 ． 11．（2024·高三·甘肃张掖·阶段练习）已知，且，则的值为 . 题型四：利用同角关系化简三角函数式 12．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 13．（2024·高一·重庆北碚·期末）已知关于x的方程的两个不等实根分别是和 (1)求m的值； (2)求的值． 14．（2024·高一·江苏·专题练习）化简： (1)－； (2)； (3)． 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 15．（2024·高一·全国·专题练习）求证： (1)＝； (2) 16．（2024·高一·安徽宿州·期中）求证：＝. 17．（2024·高二·全国·课后作业）求证：. 18．（2024·高一·上海·专题练习）已知，求证：． 19．（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【重难点集训】 1． “点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 3．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．（多选题）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．若角的终边上有一点，则 . 13．已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 14．已知，，则= ，= ． 15．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 16．化简： (1)； (2)． 17．已知是第二象限的角，化简：． 18．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【高考真题】 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．2．2 同角三角函数的基本关系 目录 【题型归纳】 2 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 2 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 3 题型三：与关系的应用 4 题型四：利用同角关系化简三角函数式 6 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 8 【重难点集训】 10 【高考真题】 16 【题型归纳】 题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 1．（2024·高一·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为第二象限角,又因为, 所以. 故选：C. 2．（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第二象限角，且， 所以， 所以， 故选：B 3．（2024·高一·云南玉溪·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以. 故选：A 4．（2024·高一·江西景德镇·期末）已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是第三象限角，且， 所以， 所以， 故选：B. 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 5．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ， . 【答案】 / 【解析】， ． 故答案为：；． 6．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）已知，则 ， . 【答案】 3 【解析】，即，所以，所以. 则. 故答案为：3，. 7．（2024·高三·全国·专题练习）如果，那么 ， ， ． 【答案】 1 /0.6 /0.6 【解析】由，得， ， ． 故答案为：1，， 题型三：与关系的应用 8．（2024·高一·四川泸州·期末）若，且，则 ． 【答案】2 【解析】因为，两边平方可得， 解得， 且，可得，，则， 又因为，可得， 联立方程，解得， 所以. 故答案为：2. 9．（2024·高一·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【解析】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 10．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】由得： ， 解得：； 由得： 又因为,且,所以即 所以 则 故答案为：. 11．（2024·高三·甘肃张掖·阶段练习）已知，且，则的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 故答案为：. 题型四：利用同角关系化简三角函数式 12．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【解析】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 13．（2024·高一·重庆北碚·期末）已知关于x的方程的两个不等实根分别是和 (1)求m的值； (2)求的值． 【解析】（1），即，，， ，从而，则； （2） . 14．（2024·高一·江苏·专题练习）化简： (1)－； (2)； (3)． 【解析】（1）原式＝. （2）原式＝ （3）原式＝ 题型五：利用同角关系证明三角恒等式 15．（2024·高一·全国·专题练习）求证： (1)＝； (2) 【解析】（1）左边= =右边. （2）左边= =右边. 16．（2024·高一·安徽宿州·期中）求证：＝. 【解析】证明：∵右边＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边， ∴＝. 17．（2024·高二·全国·课后作业）求证：. 【解析】左边 右边 所以原等式成立. 18．（2024·高一·上海·专题练习）已知，求证：． 【解析】∵， ∴ . ， ， ∴， ∴， ∴ ∴. ∴. 19．（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【重难点集训】 1． “点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件. 故选：C. 2．已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 3．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】. 故选：A. 4．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 依题意，，则， 又， 因此，即，而， 所以. 故选：C 5．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 7．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角α的终边在函数的图象上，所以， = 故选：A. 8．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B． 9．（多选题）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】若角是第二象限角，则，， 则，，故A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 10．（多选题）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 11．（多选题）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】是方程的两根，则有， 由， 得，解得，A选项错误； ，有，由，有， ， 由，所以，B选项正确； 由得，，C选项错误； ，D选项正确. 故选：BD. 12．若角的终边上有一点，则 . 【答案】 【解析】∵角的终边上有一点， ∴， ∴. 故答案为： 13．已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意得 所以． 故答案为：. 14．已知，，则= ，= ． 【答案】 / 【解析】，. ，，又，； 由得： 或（舍），. 故答案为：； 15．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 【解析】（1）由三角函数的定义得 ；； （2） . 16．化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式=． （2）原式 ． 17．已知是第二象限的角，化简：． 【解析】因为 ， 又是第二象限的角，所以，故， 所以. 18．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【解析】（1）， . （2） . 【高考真题】 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$