精品解析：湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024年秋“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题 命题学校：襄阳四中 命题人：胡凤鸣 审题人：韩正洪 曹文君 李光益 联合审题单位：圆创教育研究中心 考试时间：2024年11月12日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为( ). A. B. C. D. 3. 在中，设，，若是线段中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线.给定下列三条曲线：①；②；③.其中，是型曲线的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同），且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（ ） A. 36 B. 41 C. 46 D. 51 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 有以下说法，其中错误的是（ ） A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C. 事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 D. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 11. 某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则的最大值是_________． 13. 如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为__________. 14. 已知圆和直线，折线，若与恰有一个公共点，则实数__________；若与恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 16. 在如图所示的四棱锥中，底面是梯形，且面，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，斜线和平面所成角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的焦点为和，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上､下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）.证明：直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值. 18. 某校艺术团共有人，男生与女生的比例是.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为的样本，并观测样本身高数据（单位：）.已知男生样本的身高平均数为，标准差为.下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 身高 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差. （1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数； （2）用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值； （3）若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数，标准差.）【参考数据：，，.】 19. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. （1）球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； （2）与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题 命题学校：襄阳四中 命题人：胡凤鸣 审题人：韩正洪 曹文君 李光益 联合审题单位：圆创教育研究中心 考试时间：2024年11月12日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘方求得，再由共轭复数概念判断． 【详解】，故共轭复数为. 故选：A． 2. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A. 3. 在中，设，，若是线段中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算直接转化求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案． 【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为. 故选：C. 5. 已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线.给定下列三条曲线：①；②；③.其中，是型曲线的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由新定义，结合图像逐个判断即可. 【详解】对于①，到直线的距离为，若直线上存在两点，使为正三角形，则， 以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，如图，可求解出两解，所以曲线①是型曲线. 对于②，化为，图形是半圆（包括端点），则由为顶点的角两边能与半圆找到交点，故曲线②也是型曲线， 对于③，过分别作倾斜角为和的直线交于两点， 则， 同时过倾斜角为和的直线关于对称，也关于对称，所以曲线上存在两点，使为正三角形，所以曲线③是型曲线. 故选：D 6. 若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果. 【详解】设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点，知， 由题意知：母线与底面所成角为，则，可得， 即，得，则内切球的半径， 所以圆台表面积，球的表面积 所以. 故选：C 7. 小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同），且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（ ） A. 36 B. 41 C. 46 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】由百分数的计算公式即可求解. 【详解】设班级的人数为，由题意，解得. 故选：A 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示， 延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则或，故A正确； 对于B，若，则或，故B正确； 对于C，若，则平行或相交或异面，故C不正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：AB. 10. 有以下说法，其中错误的是（ ） A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C. 事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 D. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断ABC，利用概率公式求概率判断D. 【详解】对于AB，投一枚骰子，事件表示掷出的点数为2，事件表出的点数为3， 则事件和互斥，但不是对立事件，互为对立的事件一定互斥，故A错误，B正确； 对于C，当两个事件和互斥时，事件和事件至少有一个发生的概率 与和中恰有一个发生的概率相等，他们都等于，故C错误； 对于D，考虑投掷一个骰子的试验，样本空间为， 记事件，事件， 则事件和同时发生的概率， 和恰好有一个发生的概率为，故D错误. 故选：ACD. 11. 某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】设到底面的高为，在中，到的距离为，则，可得，从而，同理点到的距离，，求出四面体的体积，利用基本不等式求出，得解. 【详解】设四面体，棱，而其余每条棱长都小于等于2， 设到底面的高为，在中，到的距离为，则. 若是的高，则中有一条的长度，（设的长为）. 于是，从而. 类似的，在中，点到的距离小于等于， 所以. 所以，. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则的最大值是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先设出复数，由已知得出复平面内点到的距离为1，再结合图象即可求出的最大值. 【详解】 设，则，则，即复平面内点到的距离为1， 又表示复平面内点到原点的距离，结合图像可知：最大值为原点到的距离加1，即. 故答案为：6. 13. 如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ， ，则，设， 则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21. 故答案为：． 14. 已知圆和直线，折线，若与恰有一个公共点，则实数__________；若与恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】若与恰有一个公共点，结合直线与圆的位置关系分析求解即可；法一，若与恰有两个公共点，结合对称性可知与在内只有1个交点，且不过，联立方程可得关于的方程在仅有一解，且解不为2，结合二次函数零点分布分析求解即可；法二，判断出点在圆内可得答案. 【详解】由题意可知：圆可化为表示圆心为， 半径为的圆，故， 若与恰有一个公共点，则，解得； 法一，因为与均关于直线对称，注意到与直线的交点为， 若与恰有两个公共点，等价于与在内只有1个公共点， 且不过，此时， 联立方程，消去得， 即关于方程在仅有一解，且解不为2， 则，或，或， 解得， 所以实数的取值范围是. 法二，因为与均关于直线对称，注意到与直线的交点为， 若与恰有两个公共点，等价于与在内只有1个公共点， 且不过， 当圆与两条射线都相切时，无解， 所以点在圆内， 即，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：①；②. 【点睛】思路点睛：本题解题思路是将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有公共点转化为直线与圆的交点问题，即可求出结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 16. 在如图所示的四棱锥中，底面是梯形，且面，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，斜线和平面所成角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面， 可知， 在中，为的中点，则， 因为，所以，所以，即， 又因为平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，由条件可得，从而，由线面垂直的判定定理可证出结论； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以. 又因为，故两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即，可取 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的焦点为和，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上､下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）.证明：直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值. 【答案】（1） （2）证明：因为直线过点，且与椭圆的交点不与重合， 可知直线的斜率存在， 且直线与椭圆必相交，可设直线， 联立方程，消去可得， 由根与系数的关系可得：， 因为，可得直线，直线， 所以. 即，解得， 所以直线的交点在直线上. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的基本知识点可求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）由题意可知，直线存在斜率，可设直线方程，与椭圆方程联立，由根与系数的关系，可得到和的表达式；根据两点坐标，可写出直线与直线的方程，将化简得到，则，解得，即可证明并得到结果. 【小问1详解】 根据题意可得：，所以， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 某校艺术团共有人，男生与女生的比例是.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为的样本，并观测样本身高数据（单位：）.已知男生样本的身高平均数为，标准差为.下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 身高 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差. （1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数； （2）用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值； （3）若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数，标准差.）【参考数据：，，.】 【答案】（1） （2）， （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据女生样本中身高在的频率可直接估计总体中对应的人数； （2）根据分层抽样平均数和方差的计算公式直接求解即可； （3）剔除偏离值后，根据平均数的公式可得新的平均数，根据原数据方差可得，进而利用方差公式求得新的方差. 【小问1详解】 在女生样本中，身高在的频率， 艺术团女生总体身高在范围内的人数估计为人. 【小问2详解】 由题意知：男生样本的身高平均数为，方差为， 女生样本的身高平均数为，方差， 则总样本的平均数为， 方差为， ，. 【小问3详解】 由题意知：， 由样本数据可知：，为偏离值， 剔除后，女生样本的身高平均数为， 由得：， 则剔除后，女生样本的身高的方差为. 19. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. （1）球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； （2）与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 【答案】（1） （2）①，，；② 【解析】 【分析】（1）通过已知条件直接证明三个平面两两垂直，然后由球面角的定义即可得出； （2）使用空间解析几何方法求出球面的三个球面角，再证明球面球面的面积，即可得到结果. 【小问1详解】 由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， 所以由知，所以，即， 这得到， 从而，又在两个互相垂直的大圆上， 故， 从而两两垂直， 从而由在平面内交于点，可知垂直于平面， 而在平面和平面内， 故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知， 所以球面的内角和是. 【小问2详解】 ①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知 ； ； ， 故， 不妨设，则，所以有， 设平面的法向量分别为，并设， 则即， 从而，故可以取 所以我们有 ， ， ， 故球面的三个内角的余弦值分别为. ②先证明一个引理. 引理：若在单位球面上的球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则， 引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆， 它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故， 引理得证， 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. 【点睛】结论点睛：球面的面积求解定理： 若球面的三个球面角，设该球面的面积为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $