福建省福州第十八中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 (满分：150分：考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题所给出的四个选项恰有一项是 符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.下列图形中，是中心对称图形的是( 2.抛物线y=2(x一1)2一6的对称轴是直线( A.x=6 B.x=-1 C.x-7 D.x=1 3.如图，点A、B、C在⊙0上，∠ABC=40°，则∠AOC的度数为() A.209 B.40° C.60° D.80° 4.若关于x的一元二次方程2x+x-m=0有一个根为1，则m的值为 A.3 B.0 C.-2 D.-3 5.将抛物线y=-x向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（) A.y=-xX2-2B.y=-x2+2 C.y=-(x+2)2 D.y=(x-2)3 6.已知二次函数y=(x-1)41,若点A(0,y)和B(3,2)在此函数图象上，则y与y2 的大小关系是() A.yi>y2 B.y<y2 C.yi=y2 D.无法确定 7.福州盛产橄榄，当地人称橄榄为“福果”，它是“有福之州”的特产，寓意着“幸福”，某企业2022 年加工福州撒榄3万吨，随着加工技术的提升，该企业2024年预计加工福州橄榄5万吨，设 从2022年到2024年该企业加工福州橄榄的年平均增长率为x,则符合题意的方程是() A.31+2x)=5B.3+31+x+31+x2=5C.30+x=5D.31+x2-3=5 8.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材， 埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何 语言表达即：如图，弦AB1CD,垂足为点E,CE=1寸，AB=10寸，则直径 CD的长度是() B A.12寸 B.13寸 C.24寸 D.26寸 9.如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为(2,0)，以点0为旋转中心， 把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A的坐标是() A.(-l,V3) B.(3,-) C.(-3,) D.(-2,) 七年级数学第1页（共4页） 10.己知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点P(-2,%),且对于抛物线.上任总一点(，片)都有片y, 若点A(,2-m),B(-5H-1)均在这条抛物线上，且m+n)3,则1的值可以是() A.0.5 B.-2 C.4 D.-6 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11.在平而直角坐标系中，点A(1,6)关于原点对称的点的坐标是 12、方程(x-1)(x-2)=0的根是 13.已知二次函数y=x2+bx十c过点(2,0)，则-2b-c的值为· 14.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子 中。为区别口味，他打算制作“*饼干”字样的矩形标签粘贴在盆 子侧面。为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所二司 。饼于 对的圆心角为90°（如图）.已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm, 则标签长度1应为 cm. 15.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值舜下表：则当y<10时，x的 取值范围是 -10123 y…105212… 16.如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,线段BP以B为中心逆 时针旋转90°得到线段B2,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分)解方程：x2-4x-1=0. 18.(8分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，且过点(2，-3)求该函数的解析式. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠B=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C,使点B在BC 的延长线上.求证：BB⊥CB. 第？而林4而 20.(8分)如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连 接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E.求证：CD是⊙O的 切线. B 21.(8分)如图，已知△ABC,将△ABC绕着点A逆时针方向旋转60°得△ADE,点B,C的对 应点分别是点D,E (1)画出旋转后的△MDE; (2)延长线段BC与ED,它们交于点N.求∠DNB的度数 B 22.(10分)数学兴趣学习小组准备建一个矩形苗圃园ABCD,苗圃园的一边利用长为14米的 住房墙，另外三边用28米长建筑材料围成。 (1)若矩形苗圃园ABCD的面积为96平方米，求边AB的长： (2)当边AB为多少时，矩形苗圃园ABCD的面积最大，最大是多少？ 23.(10分)根据以下素材，探索完成任务， 如何设计大棚苗木种植方案？ 素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半 部分是一个长为20m,宽为1m的矩形，其上半部分是 一条抛物线，现测得，大棚顶都的最高点距离地而5m, 素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m,为了保证生长空间， 相邻两棵苗木种植点之间间隔1m,苗木项部不触碰大1m 20m 棚，且种植后苗木成轴对称分布， 图1 七年级数学第3贞（供4） 问题解决 任务1：确定大棚上半部分形状.根据图2建立的平而直角坐标系，求抛物线的函数关系式. 01 图2 任务2：探究种植范围.在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标 的取值范围。 任务3：拟定种植方案.给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵种植点的 横坐标. 24.(12分)如图，AB,AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D,交⊙O于点B,过点B作 BF⊥AC于点F,交CE于点G,连接BE. (1)求证：BE=BG: (2)过点B作BH⊥AB交⊙O于点H,若BE的长等于半径，BH=4,AC=4√5，求CD的 长 D 25.(14分)已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a>0),顶点为(0,0). (1)求b,c的值； (2)若a=1,抛物线与直线L:y=+2相交，P为y轴右侧抛物线c上一动点，过P 作直线PNLx轴交x轴于点N,交直线L于M点，设P点的横坐标为m,当2PM= PN时，求m的值： (3)已知点P(0,2)、Q(0,4),若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且 ∠APO=∠BPQ,求证：直线AB经过一个定点. 第4页共4页2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的。 题号 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A B B D C D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.(-1,6) 12.1=1和2=2 13.4 14.3π15.-1<x<516.2W10-1 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分8分)川说明：如果用求根公式的△=20算对给4分，下面求根公式代入求两个根各2 分) 解：x2-4x=1, …1分 x2-4x+4=1+4 …3分 (x-2}=5 4 …4分 x-2=±V5 …6分 ∴x-2=5或x-2=-5, :x=2+V5,:=2-V5 …8分 18.(本小题满分8分) 解：设此二次函数的解析式为y=a(--4 …2分 ,其图象经过点(2,3)， ∴.0(2-1)2-4=-3，… …4分 a=1,… 44444444 444404440444 6分 :y=1×(-°-4，即y=(x--4 …8分 19.证明：VABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C, ABCAABC.. …l分 .AB=AB,∠AB'C=∠ABC=45, …3分 .∠AB'B=∠B=45, …6分 ∠BBC'=∠AB'C'+LABB=45+45=90，…7分 BB⊥CB.…8分 九年级参考答案答第1页，共6页 20.(1)证明：连接0C0E,如图，…1分 ,AB为直径， .∠ACB=90°，即∠BC0+∠AC0=90°，…3分 又：∠DCB=∠CAD, ,∠CAD=∠OCA, ∠0CA=∠DCB, …5分 ∴.∠DCB+∠BCO=90°， 即∠DC0=90°， 小…6分 .DC⊥OC ,OC是⊙0的半径， CD是⊙0的切线：… 8分 21.解：(1)如图△ADE就是所求的图形.…1分 (画图工具可以任意，但是方向错误此题不得分)………4分 (2),VABC绕着点A逆时针方向旋转60°得VADE, .∠B=∠ADE,∠BAD=60°， 6分 ,∠ADN+∠ADE=180°， .∠4DN+∠B=180°.… …7分 .∠DNB=360°-∠ADN-∠B-∠BAD=120° …8分 22.解：(1)设边AB的长为x米，… …1分 28-x=96 由题意得： 2 …3分 整理得：x2-28x+192=0, 解得：名=12，x=16 …4分 ,x≤14， x=12, 答：边AB的长为12米： …5分 (2)矩形苗圃园ABCD的面积为y平方米， 九年级参考答案答第2页，共6页 y=x282x=-7x2+14x=-(x-14)+98 2 …8分 :-0,当x≤4时，)随x增大面增大 ∴当x=14时，y最大值，最大值为98， ∴.当边AB为14米时，矩形苗画园ABCD的面积最大，最大是98平方米.…10分 23.解：(1)如下图所示， 根据题意得OB=10,OA=5,E(-101),F10).A(0,5) …1分 设二次函数的解析式为y=x2+b, [b=5 得1=100k+b ……3分 1 解方程组得b=5, k=- 25 …4分 …5分 (2)当y>1.76时， _1x2+5>1.76 得25 …7分 .x2<81, .-9<x<9: …8分 (3),-9<x<9,相邻两棵苗木种植点之间间隔1m, .最前排的种植数量为17棵，… …9分 ∴.最左边一棵苗木种植点的横坐标为8.…… ……10分 其它方案： 当在距离y轴0.5m的两侧开始种植时，最前排可种植9×2 ------9分 =18(棵)， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标为-0.5-8=-8.5： -------10分 24.(1)证明：由圆周角定理得：∠BAC=∠BEC,…1分 ,CE⊥AB,BF⊥AC, ∴.∠ADC=∠GFC=90°， …2分 ∴.∠CGF+∠ACD=∠BAC+∠ACD=90°， ∠CGF=∠BAC,… …3分 ,'∠BEC=∠BAC, 九年级参考答案答第3页，共6页 ∴∠BEC=∠CGF,… …4分 ,∠BGE=∠CGF, ∴.∠BEC=∠BGE, BE=BG:4…44+… …5分 (2)解：连接OB、OE、AE、CH,如图所示： ,BH⊥AB, ∴.∠ABH=90°=∠BDE, BH∥CD,… 小…6分 ,四边形ABHC内接于⊙O, ∠ACH+∠ABH=180°， ……7分 ∴.∠ACH=90°=∠AFB, ∴.BF∥CH, 四边形BGCH是平行四边形，…8分 ∴.CG=BH=4. .BE=OB=OE, ∴.△OBE是等边三角形， ∴.∠BOE=60°， 9分 ·BE=BE, 六∠BAE= 2∠80E-30. ,'∠ADE=90°， .DE=2AE,设DE=x,则AE=2x, -10分 ,BE=BG,AB⊥CD, ∴.DG=DE=x, ∴.CD=x+4, 在R△ADE中，AD=VAE2-DE2=V3r …1分 在Rt△ADC中，AD+CD=AC, 即(5x)24(x+4)2=(4√5)2， 解得：x1=2,x2=-4<0(舍去)，.DG=2, .CD=2+4=6.… 12分 九年级参考答案答第4页，共6页 25.解：(1)设这个抛物线的表达式为y=a(x-h)'+k, ,这个抛物线的顶点是(0,0)， ∴，这个抛物线的表达式y=ar2, (说明：b=0或c=0有写一个就给1分) b=0,C=0生…2分 (2)当a=1时，抛物线的表达式为y=x …3分 ,'P为y轴右侧抛物线C上一动点， :设点P的坐标为P(m,m)(m>0),则点 M m,2m+2 小小小…4分 2PM PN, (如果进行分类讨论，两种情况少一种扣2分，计算 错误或没有取舍扣1分) 、2m+2-m= +4+**…4…6分 -17+1 7+14 2(舍去)或2或3或-1（舍去）， m=V7+i 4 2。或3； …8分 (3)作点A关于'轴对称的对应点M, M 0 九年级参考答案答第5页，共6页 ,抛物线关于y轴对称， ∴点M在抛物线上， 连接MP, ,∠MPO=∠APO=∠BPQ M,P,B三点共线，…9分 设A(p,p2）,则点M(-p,p), 设直线PM的解析式为y=+b,得 ap*=-pk+b 2=b k=2-p b=2 一直线PM的解析式为y=2-a -x+2, 10分 p ,点B,点M是抛物线C与直线PM的交点， 2-ap y= x+2 (y=ax ar2+p2-2 x-2=0 ,+w=-p2-2 卯，小11分 Xu=-p, 2 .x8= p 把的值代入y=r2得，y=4 (24 ∴点B的坐标为a叩叩 4…12分 A(p.ap), ·直线4B的解析式为y=2+ -x-2 13分 当x=0时，y=-2, ∴直线4B恒过一个定点，定点坐标为(0-2习 …14分 九年级参考答案答第6页，共6页 九年级参考答案答第7页，共6页