精品解析：云南省玉溪市第四中学教育集团2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题卷

云南省玉溪市第四中学教育集团2024-2025学年上学期期中 初三数学试题卷 （全卷总分：100分；考试时间120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、、1 B. 2、、 C. 、、1 D. 、3、 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 二次函数的最小值是（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 2或 8. 已知点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. 3 C. -3 D. 9. 已知菱形的两条对角线长是方程：的两个根，则菱形的面积为（ ） A. B. 11 C. D. 7 10. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽．若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在边上，且点D在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. 旋转角是 D. 14. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 17. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 18. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 19. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2）． 21. 如图，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．求证：； 22. “读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 23. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点对称的， （3）作出绕着点O逆时针旋转后的，并写出的坐标． 24. 已知，以为边向外作等边经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，． （1）的度数． （2）求点D到的距离． 25. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 26. 已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）求的值． 27. 如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省玉溪市第四中学教育集团2024-2025学年上学期期中 初三数学试题卷 （全卷总分：100分；考试时间120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、、1 B. 2、、 C. 、、1 D. 、3、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先将方程化为一元二次方程的一般形式即可解答，掌握一元二次方程的一般形式（是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：将方程化为一元二次方程的一般形式为， ∴二次项系数为，一次项系数、常数项为， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，即可求解． 【详解】解：一元二次方程中， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：D ． 4. 二次函数的最小值是（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：由表达式可知函数顶点为， ∴二次函数最小值为． 故选：C 【点睛】本题主要考查二次函数基本性质，根据顶点式得到二次函数顶点是解题的关键． 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 7. 若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵方程的左边是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. 3 C. -3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，负整数指数幂的计算；关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，从而得出的值，即可得到答案. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴， 故选：A． 9. 已知菱形的两条对角线长是方程：的两个根，则菱形的面积为（ ） A. B. 11 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根与系数的关系，设方程的两个根为，，则，根据菱形的面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为，， ∴， 又∵菱形的两条对角线长是方程的两个根， ∴菱形的面积， 故选：C． 10. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 11. 如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 12. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽．若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移把不规则的图形变为规则图形是解题关键． 设路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，表示出长和宽，即可列出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为： 设道路宽为，则种草部分的宽为，长为， 根据题意得：， 故选：A． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在边上，且点D在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. 旋转角是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可得，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即旋转角为， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∵， ∴， 故选：A． 14. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论． 【详解】连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 17. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为， 又∵， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 19. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 21. 如图，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．求证：； 【答案】 证明：由旋转可得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定等知识，由旋转可得：，，进而得到，即可得证，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 22. “读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出方程并解方程，即可求解． 【详解】解：进馆人次的月平均增长率，根据题意得 解得：（舍去）或 答：进馆人次的月平均增长率为． 23. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点对称的， （3）作出绕着点O逆时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了平移、旋转等图形变换的基本性质． （1）利用平移的性质得出对应点的位置进而得出答案； （2）利用关于原点对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案； （3）利用旋转的性质得出旋转后的点的坐标进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 已知，以为边向外作等边经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，． （1）的度数． （2）求点D到的距离． 【答案】（1）； （2）点D到的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由旋转可得 ，，，证明是等边三角形，即可求解； （2）过点作，交于点，由旋转的性质和等边三角形，得到， ，由勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转可得： ，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，交于点，如图： 由旋转可得：， ∴， ∵为等边三角形， ∴ ，， 又∵， ∴，， 在中，， ∴点D到的距离为． 25. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 【答案】（1）（0≤x≤5且x为整数）；（2）定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.. 【解析】 【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围； （2）根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，然后配方求出最大利润即可． 【详解】解：（1）由题意得每件涨价x元， 则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）； （2）每星期的利润为W元， ， ∵x为整数， ∴当x=3或2时，W有最大值1560， 当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件， 所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元. 【点睛】本题是对二次函数运用题型的考查，准确根据题意列出代数式是解决本题的关键． 26. 已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的增减性等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据抛物线经过点可求出，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，可得对称轴直线为，可求出，即可求得抛物线解析式； （2）由是抛物线与轴的交点的横坐标，可得即原式变形后即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴ ∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，． ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵是抛物线与轴的交点的横坐标， ∴ ∴ ． 27. 如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵点C是优弧的中点， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， 且 （2） 证明：连接，如图： ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）的半径的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得即可证可得则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，如图： 又∵ 在和中， 设则 在中，由勾股定理得， 解得： ∴的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $