河南省项城市第三高级中学2024-2025学年高三上学期第二次考试（期中）数学试题

高三数学试题 第 1页 （共 4页） 项城三高 2024-2025 学年度上期第二次考试 高三数学试卷 满分 150分，考试时间 120分钟 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题所给的选项中，只有一项是 符合要求的。 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，且 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 5．若弧度为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所夹扇形的面积是(　　). A．tan 1 B． C． D． 6．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结 合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解 析式来琢磨函数的图象的特征，则函数 的图象大致是（ ）  2 3 4 0A x x x     2 2B x x    A B R  1 2x x    1 2x x    2 4x x   2 4x x  tan 24 s 300 in 0   3 2  3 2 3 3 2  3 3 2 , ,a b c  R a b ac bc 2 2a b 3 3a b 1 1 a b  0.43a  0.5log 4b  πcos 18 c       c b a  b a c  c a b  a c b  1 sin1 2 1 sin 1 1 cos1   2 1 xf x x    高三数学试题 第 2页 （共 4页） A． B． C． D． 7．已知函数 有两个零点，在区间 上是单调的，且在该区间中有且只 有一个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 有极值点，则实数 a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列结论中错误的是（ ） A．若角 的终边过点 ，则 B．若 是第二象限角，则 为第二象限或第四象限角 C．若 ， ，则 D．对任意 ， 恒成立 10．定义域为R的函数 ，同时满足： ①当 时， ；② 2( ) 2f x x ax   ( 1, 2) a ( , 2 2) ( 2 2, )    ( , 3) (3, )    ( , 4] (3, )   ( , 4] [2, )      2 ln 1f x x a x    ,0  ,0 10, 2       1, 2      (3 , 4 )P k k 4sin 5  =  2  1sin cos 5    0 π  7cos sin 5     (0,1)x  ( sin ) tan 0x x x    f x 0x y      0f x f y  高三数学试题 第 3页 （共 4页） ，当 时， ；③ .则（ ） A． 是奇函数 B． 在[1,2]上单调递减 C．函数y = f(x)的图像关于点(1,0)中心对称 D． 11．设函数 ， ，给定下列命题，则正确的命题是（ ） A．不等式 的解集为 ； B．函数 在 单调递增，在 单调递减； C．若函数 有两个极值点，则实数 ； D． 时，总有 恒成立. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，则 . 13．曲线 在点 处的切线与抛物线 相切，则 . 14．已知函数 有三个不同的零点，则 的取值范围 是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）(1)计算 ． (2)若 ，求 ．  , 1,1x y   0x y      0f x f y     2f x f x   f x  f x        0 1 2 3 0f f f f      lnf x x x    f xg x x     0g x  1 , e       g x  0,e  e,     2F x f x ax   0,1a  1 ,1 e x         f x g x tan 2  sin 3cos 2sin 3cos        2 lny x x   1,2 2 2y ax ax   a         2 2ln 2 1 ln 1f x x m x x m m x     m lg8 lg125 lg 2 lg5 lg 10 lg 0.1     2 2( 0)xa a  3 3x x x x a a a a     高三数学试题 第 4页 （共 4页） 16．（15 分）已知集合 ，函数 的定义域为 . (1)求 ； (2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 17．（15 分）如图所示，学校要围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利 用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 为 的进出口，已知旧墙的维修费用为 56 元 ，新墙的造价为 200 元 ，设利用旧墙的 长度为 （单位： ），修建此矩形场地的总费用为 （单位：元）. (1)求 关于 的函数表达式； (2)试确定 的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出 最小的费用. 18．（17 分）已知函数 ． (1)当 时，求 的极值； (2)讨论 的单调性． 19．（17 分）对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点. (1)求函数 的不动点； (2)若函数 有两个不相等的不动点 、 ，求 的取值范围； (3)若函数 在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数 的取值范围.  1 2 3A x m x m     2( ) 2 8f x x x    B B x A x B m 2400m 3m /m /m x m y y x x    3 21 3 4 2 f x x a x ax     6a   f x  f x  f x 0 Rx   0 0f x x 0x  f x 2 3y x x    2 2 1y x a x    1x 2x 1 2 2 1 x x x x     2 1 1g x mx m x m     m 数学试题答案第 1页，共 8页 高三第二次考试数学参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D C D C A ABC ABD 题号 11 答案 AD 1．D 【详解】因为 ， ， 则 或 ，故 .故选：D. 2．B 【详解】 . 故选：B. 3．C 【详解】当 时， ，故 错误； 当 ， 时， ，故 错误； 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，故 正确； 当 ， 时， ，故 错误.综上，正确的为 .故选： . 4．D 【详解】由 ， ， ，由于 ，所以 ，所以 .故选：D. 5．C 【详解】根据题意，可得图形，过点 作 于 ，延长 交弧 于 ,如下所示：    2 3 4 0 1 4A x x x x x         2 2B x x     2B x x  R 2x   2 4A B x x   R     3tan 24 sin 30 tan 180 60 sin 360 60 tan 60 sin 60 20 0              0c  ac bc A 1a   2b   2 2a b B 3y x R a b 3 3a b C 1a  1b   1 1 a b  D C C 0.4 03 3 1a    0.5 0.5log 4 log 1 0b    π πcos cos 18 18 c        π π0 18 2   0 1c  a c b  O OC AB C OC AB D 数学试题答案第 2页，共 8页 由题意可知， ，所以 ， ， 所以 ，故扇形的面积为： 故选：C 6．D 【详解】由题可知，函数定义域为 ，即 ， 所以 ，所以 为奇函数，排除选项 A； 当 时， ，排除选项 B； 当 时，分母 ，分子 ，此时函数值小于零，排除选项 C；故选：D. 7．C 【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 由在区间 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得 且 或 且 ， 则 或 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围是 .故选：C 8．A 【详解】 ， ， 即 有实数根，因为函数 的对称轴为 ， 所以函数在区间 有零点，只需满足 ，得 .故选：A 9．ABC 2AOB rad  1AOD BOD rad    1 1 2 AC AB  1 sin sin1 ACAO AOC    2 2 1 1 1= 2 ( ) 2 sin1 sin 1 S    2 1 0x    | 1x x        2 1 xf x f x x          f x 1 2 x  1 1 22 012 31 4 f           x   2 1 0x   0x  2( ) 2f x x ax   ( , ] 2 a   [ , ) 2 a   ( 1, 2) ( , ]( 1, 2) 2 a    ( 1) 0 (2) 0 f f     [ , )( 1, 2 2) a  ( 1) 0 (2) 0 f f     2 2 3 0 6 2 0 a a a          1 2 3 0 6 2 0 a a a          4a   3a  a ( , 4] (3, )     22 22 0 1 1 a x x af x x x x         1x  22 2 0x x a   22 2y x x a   1 2 x   1, 22 1 2 1 0a     0a  数学试题答案第 3页，共 8页 【详解】对于 A，当 时， ，而 ，A错误； 对于 B，若 ，是第二象限角， 是第一象限角，B错误； 对于 C，由 两边取平方， ， 可得 ，因 ，则 ，故 ， 由 可得 ，C错误； 对于 D，因 ，则 ，故 ，设 ，则 ，即 在区间 上单调递增，故 ，即得 ， 故必有 时， 恒成立，即 D正确.故选：ABC. 10．ABD 【详解】对于 A，因为 的定义域为 R，且当 时有 ， 即 ，所以 是奇函数，故 A正确； 对于 B、C，因为 ，所以 关于 对称，故 C错误， 因为对 ，当 即 时， ， 即 ，结合奇函数的性质可得 ， 所以当 时， 为增函数，结合 关于 对称的条件可知， 当 时， 为减函数，故 B正确； 对于 D，结合①，令 可得 ，所以 ， 因为 关于 对称，所以 ， 结合③，因为 ，令 可得 结合奇偶性可得 ，所以 ，所以 ，解得 ， 所以 ，即 ，故 D正确，故选：ABD. 11．AD 【详解】对于 AB， ， ， ， 0k  2 2| | (3 ) (4 ) 5r OP k k k     4 4sin 5 5 k k      120   602    1sin cos 5    2 1(sin cos ) 1 2sin cos 25        242sin cos 0 25      0 π  π π 2   sin 0,cos 0   2(cos sin ) 1 492sin cos 25       7cos sin 5     (0,1)x  π0 1 2 x   tan 0x  ( ) sin , (0,1)f x x x x   ( ) 1 cos 0f x x    ( )f x ( 0, 1) ( ) (0) 0f x f  sin 0x x  (0,1)x  ( sin ) tan 0x x x   ( )f x 0x y  ( ) ( ) 0f x f y  ( ) ( ) 0f x f x   ( )f x ( ) (2 )f x f x  ( )f x 1x   , 1,1x y   0x y  x y  ( ) ( ) 0f x f y  ( ) ( )f x f y  ( ) ( )f x f y   1,1x   ( )f x ( )f x 1x   1, 2x  ( )f x 0x y  (0) (0) 0f f  (0) 0f  ( )f x 1x  (2) 0f  ( ) (2 )f x f x  3x  (3) ( 1) (1)f f f    ( ) ( 2)f x f x  (3) (1)f f (1) (1)f f  (1) 0f  (3) (1) 0f f  (0) (1) (2) (3) 0f f f f      ln 1f x x     ln 1 0xg x x x        2 2 1 ln 1 lnx xg x x x       数学试题答案第 4页，共 8页 当x ∈ (0,1)时， ；当x ∈ (1, + ∞)时， ； 在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，B错误； 又 ，当 时，g(x) > 0恒成立， 的解集为 ，A正确； 对于 C， ， ， 有两个极值点， 有两个不等正实根，由 得： ， 与 有两个 不同交点， 图象如下图所示， 结合图象可知：当 ，即 时， 与 有两个不同交点， 即若函数 有两个极值点，则实数 ，C错误； 对于 D， ， 当 时， ， ∴ f(x)在 上单调递增， ； 在(0,1)上单调递增， ， 的最大值与 的最小值不同时取得， 当 时， 恒成立，D正确.故选：AD. 12． 【详解】 .故答案为： 13．1 【详解】由 ，则 ，则 ，    0g x    0g x   g x 1 0 e g       1x    0g x  1 , e        2lnF x x x ax     ln 1 2 0F x x ax x      F x   0F x     0F x   ln 12 xa g x x     g x 2y a  g x 0 2 1a  10 2 a   g x 2y a     2F x f x ax  10, 2 a        ln 1f x x   1 ,1 e x        1 0 e f x f        1 ,1 e         max 1 0f x f    g x  min 1 0 e g x g         f x  g x  1 ,1 e x         f x g x 1 7  sin 3cos sin 3cos tan 3 1cos 2sin 3cos2sin 3cos 2 tan 3 7 cos                    1 7  2 lny x x  12y x    1 1xy   数学试题答案第 5页，共 8页 曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 当 时，则 ，得 ， 由 ，得 .故答案为：1. 14． 【详解】根据 有三个不同的零点， 则 具有三个不同的解， 可得 与 的共有三个解， 构造函数 ，则 ，故 ，则 ， 当 ， ，当 ， ， 所以 ，当 时， ，当 时， ， 所以 或 ，解得 或 ， 故 的取值范围为 .故答案为： . 15．(1) ；(2) 【详解】（1）由题意可知： . （2）因为 ，所以 ． 16．(1) ；(2) 【详解】（1）由题意， ，即 ，解得 ， . 2 lny x x   1,2 2 1y x   1y x  0a  2 1 2 y x y ax ax        2 1 1 0ax a x    2Δ ( 1) 4 0a a    1a  11 1 e m           2 2ln 2 1 ln 1f x x m x x m m x          ln ln 1 0f x x mx x m x        ln 1x m x  ln x mx   ln xg x x    2 1 ln xg x x     0g x  ex   0,ex    0g x   e,x     0g x   max 1 e g x  0x   g x   x     0g x  10 1 e 0 m m        11 e 10 e m m         11 1 e m     m 11 1 e m    11 1 e m    4 3 2 2 1 12 8 125lglg8 lg125 lg 2 lg5 lg102 5 41lg 10 lg 0.1 ( 1)lg10 lg10 2             2 2xa  3 3 2 2 2 2 ( )( 1 ) 1 1 31 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a                     2,4   1, 4 1, 2        2 2 8 0x x    2 2 8 0x x   2 4x    2 4B x x     数学试题答案第 6页，共 8页 （2）因为“ ”是“ ”的充分不必要条件， 所以集合 是集合 的真子集， 当 即 ，即 时，合题意； 当 时，有 ，解得 ， 综上，实数 的取值范围为 . 17．(1) ；(2) ，最小总费用是 12200元. 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为 ，另一边长为 ， 则 ， 故 . （2）因为 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为 时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是 12200元. 18．(1)极大值为 ，极小值为 ；(2)答案见解析 【详解】（1）当 时， ， 所以 在区间 上 单调递增， 在区间 上 单调递减， 所以 的极大值是 ，极小值为 . （2） ， ， 当 时， 单调递增； x A x B A B A   1 2 3m m   4m   A   1 2 3 1 2 2 3 4 m m m m           11 2 m   m   1, 4 1, 2          160000256 600 3y x x x     25m mx 400 m x   40056 200 3 200 2y x x x        160000256 600 3x x x      160000256 600 3y x x x     0x  2 160000256 2 256 400 12800x x     160000256 600 12200y x x     160000256x x  25x  25m 14 1 2 6a        3 2 23 6 4, 3 3 6 3 2 1 2 f x x x x f x x x x x           f x    , 2 , 1,       0,f x f x   2,1    0,f x f x   f x  2 8 6 12 4 14f          3 11 1 6 4 2 2 f         3 21 3 4 2 f x x a x ax          23 3 3 1 3 af x x a x a x x            1, 3 3 a a       0,f x f x  数学试题答案第 7页，共 8页 当 时， 在区间 上 单调递增， 在区间 上 单调递减. 当 时， 在区间 上 单调递增， 在区间 上 单调递减. 综上：当 时，f(x)在 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 19．(1) 和 3.；(2) ；(3) . 【详解】（1）由题意知 ，即 ，则 ， 解得 ， ，所以不动点为 和 3. （2）依题意， 有两个不相等的实 数根 、 ， 即方程 有两个不相等的实数根 、 ， 所以 ，解得 ，或 ， 且 ， ，所以 ， 因为函数 对称轴为 当 时， 随 的增大而减小，若 ，则 ； 当 时， 随 的增大而增大，若 ，则 ； 故 ，所以 的取值范围为 . （3）由 ，得 ， 1, 3 3 a a     f x  ,1 , , 3 a           0,f x f x  1, 3 a        0,f x f x  1, 3 3 a a   f x  , , 1, 3 a           0,f x f x  ,1 3 a        0,f x f x  3a   R 3a    f x  ,1 , , 3 a        1, 3 a     3a    f x  , , 1, 3 a        ,1 3 a     1  2,   2 31,1 3          2 3x x x   2 2 3 0x x     3 1 0x x   1 1x   2 3x  1  2 2 1x a x x    1x 1x 2x  2 3 1 0x a x    1x 2x  2 2Δ 3 4 6 5 0a a a       5a   1 a 1 2 3x x a   1 2 1x x      2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 3 2x x x x x x x x a x x x x           23 2y x   3x   3x   y x 5x   2y  3x   y x 1x   2y     23 2 2,a     1 2 2 1 x x x x   2,     2 1 1g x mx m x m x       2 2 1 0mx m x m     数学试题答案第 8页，共 8页 由于函数 在(0,2)上有且只有一个不动点， 即 在(0,2)上有且只有一个解， 令 ， ① ，则 ，解得 ； ② ，即 时， 方程可化为 ，另一个根为 ，不符合题意，舍去； ③ ，即 时，方程可化为 ，另一个根为 1，满足； ④ ，即 ，解得 ， （ⅰ）当 时，方程的根为 ，满足； （ⅱ）当 时，方程的根为 ，不符合题意，舍去； 综上， 的取值范围是 .  g x  2 2 1 0mx m x m        2 2 1h x mx m x m        0 2 0h h    1 1 0m m   1 1m    0 0h  1m   2 0x x   1  2 0h  1m  2 3 2 0x x   0     22 4 1 0m m m    2 3 3 m   2 3 3 m   2 2 1 3 2 2 2 m mx m m         2 3 3 m    2 2 1 3 2 2 2 m mx m m         m   2 31,1 3         