精品解析：河北省石家庄二十七中2024-2025学年高一上学期期中数学试题

石家庄市第二十七中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高中数学 出题人：刘红；校对人：闫梦月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式 的解集为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 11. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若幂函数过点，则的单调递增区间为__________. 13. 已知函数，，则_________. 14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 17. 已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数，求函数的最大值. 18. 函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有. （1）求的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若，求在上的值域. 19. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第二十七中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高中数学 出题人：刘红；校对人：闫梦月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 3. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为 若函数在区间上是单调增函数，则，∴ 若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是. 故选：A. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】，而函数在上单调递增，，因此， 所以. 故选：A 5. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】点在直线上得到，然后结合基本不等式1的妙用求解； 【详解】因为在， 所以， , 当且仅当时等号成立. 故选：B. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式 的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得是的两个根，利用韦达定理求出，再逐项判断可得答案. 【详解】因为不等式 的解集为， 所以是的两个根，且 ，得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，因为， 所以，解得， 可得不等式的解集为，故C错误； 对于D，由得， 因为，所以，解得，或， 所以不等式 的解集为 ，或，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数的定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为R， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则，， 所以 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为①， 所以②， ②得③， ①③得，， 解得，故D正确； 故选：AD. 11. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意. 【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”． A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义； D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若幂函数过点，则的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数解析式，结合幂函数过点可得，再根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】设幂函数解析式，因为幂函数过点，故，故，即， 故的单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知函数，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值. 【详解】设，则，且为奇函数，即. 又； 所以， 所以. 故答案为： 14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解. 【详解】由函数，且不等式的解集为， 即是方程两个实数根， 可得，解得，所以， 又由，且， 当时，函数取得最大值，最大值为， 因为对任意恒成立，即恒成立， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再利用补集与交集定义计算即可得； （2）由题意可得集合是集合的真子集，再分及讨论并计算即可得. 【小问1详解】 当时，，且， 故； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意； 当，即，即时， 只需或，即或， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 16. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元． 【解析】 【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解， （2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 所以，解得． 所以 【小问2详解】 当时，，其图象开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值750万元； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值850万元， 因为， 所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元． 17. 已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数，求函数的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，则，得到且，即可得到函数的解析式； （2）由（1）作出函数的图象，得到函数在定义域上为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解. （3）当，得到函数，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为R上的奇函数，当时，， 设，则， 可得，且， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得函数，作出函数的图象如图所示： 可得函数在定义域上为单调递增函数， 又由函数为奇函数，所以不等式， 可化为， 所以，解得，即实数的取值范围是. （3）当， 可得函数， 则函数开口向下，且对称轴的方程为， 当时，即，函数在区间单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在区间单调递增， 在区间单调递减 所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在区间单调递增， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的最大值. 【点睛】有关二次函数的最值问题的求解策略： 1、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； 2、二次函数的单调性问题主要依据二次函数的图象的对称轴进行分类讨论求解. 18. 函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有. （1）求的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若，求在上的值域. 【答案】（1）； （2）设，且， 则， ，， ， ，即在上是增函数 （3）. 【解析】 【分析】（1），根据函数性质即可求出； （2）根据单调性的定义及可证明函数为增函数； （3）根据函数的单调性及函数满足的性质可求出函数值域. 【详解】当，时，， 令，则 略 由知在上是增函数， ， ， 由，知， ， 在上的值域为. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性证明，抽象函数值域，属于中档题. 19. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 【答案】（1） （2），. （3）存在，使得函数. 【解析】 【分析】（1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组即得解； （2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解； （3）求出，得到时，，即得解. 【小问1详解】 由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以. 所以 【小问2详解】 由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. 【小问3详解】 由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $