3.3.1抛物线及其标准方程四维限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程--四维限时练 (考察范围： 抛物线定义和标准方程) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） ******************************************************************************* 【2】限时练习（约45分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力）一、单选题 1．方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 2．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 6.已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题 7．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 8．抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 三、填空题 9．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 10．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 四、解答题 11．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，求的最小值. 12．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，求的最小值. ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A D D D AC ABC 1．【详解】化简得， 即动点到定点的距离与到直线的距离相等， 且点不在直线上， 故方程表示的曲线为抛物线． 故选：A. 2．【详解】抛物线，准线，, 由抛物线的定义可知，解得. 故选：A. 3．【详解】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 4．【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 5.【详解】抛物线的准线为， 由抛物线定义可得，故， 则，即到轴的距离为. 故选：B. 6.【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 7．【答案】ACD 【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 8．【答案】ACD 【分析】对于A,B,根据抛物线的定义即可求解p,进而知道抛物线方程和准线方程；对于C,D，由抛物线的性质易知该结论正确.证明过程见详解. 【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，    则由抛物线的定义可知:, 解得 . 抛物线的方程为:,故正确; 对于，抛物线的准线方程为，故错误； 对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,    易知抛物线的焦点，设，则,, 所以, 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在， 假设,设,AB的中点为,则 ， 如图所示，作垂直于准线于点，则,    联立，消去并整理可得， 所以， 所以所以, , , 以 为直径的圆与准线相切，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：如图所示，    已知抛物线,过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论： （1） （2）若直线的倾斜角为，则; （3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切； （4）; 9．【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【详解】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 10．【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 11【分析】由题意设抛物线的方程，将点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为在抛物线的内部，由抛物线的性质可得，可得结果． 【详解】由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 12．【详解】 由抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛:①问题【1】抛物线的定义中，为什么要强调直线l不经过点F? 答案：若直线l经过点F，则到点F与到直线l的距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线． 【问题2】抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是什么？ 答案：焦点F到准线l的距离已知抛物线, ②过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论： （1） （2）若直线的倾斜角为，则; （3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切； （4）; 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$