福建省泉州惠南中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

期中考试九年级数学试卷参考答案 第 1 页 共 6 页 泉州惠南中学 2024年秋季期中考试卷 九年级试卷参考答案与评分标准 一、选择题（10小题，每题 4分，共 40分） 二、填空题 11. 3x 12. 3 5 13. 2,0 21  xx 14. 3-2 15. 2 16. 24 7 二、解答题 17.解：原式 33- 3 33  ……………………………6 分 3 ……………………………8 分 18.解： 0)3(3 2  xx ）（ ……………………………2 分 0)13)(3(  xx ……………………………4 分 0203  xx 或 ……………………………6 分 2,3 21  xx ……………………………8 分 19.解：原式＝ • … … … … … … … … …4 分 ＝ … … … … … … … … …5 分 ＝ ， … … … … … … … … …6分 当 时，原式＝ ＝ ． … … … … … … … … …8分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C B A D A C 期中考试九年级数学试卷参考答案 第 2 页 共 6 页 20.解：解：如图，点 O 即为所求. … … … ……………………………4 分 ∵△ABC 与△A′B ′ C′是位似图形，且位似比是 1﹕2， , ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ …………………………… 6 分 ∴A′C′=2AC=2×2=4（cm）． ……………………………8 分 (其它解法，请参照以上评分标准) 21.解： （1）证明：依题意，得 Δ = 22 )1(4)1(  kkk ……………………………2 分 ∵ 0)1( 2 k ，即Δ ≥ 0 ， ∴方程总有两个实数根； …………………………… 4 分 （2）（方法一）解：由求根公式，得 ∴ x1 = -1 ，x2 = -k ， ……………………………6分 ∵方程两根均为负数，∴-k < 0 ， ∴k > 0 ．……………………………8分 （方法二）解： ∵方程两根均为负数，       0 0)1(- k k ……………………………6 分 解得： ∴ k > 0 ． ……………………………8 分 期中考试九年级数学试卷参考答案 第 3 页 共 6 页  2100 1 144x  m    30 600 10 40 10000m m      2 130 4000 0m m   50m  80m  50m  2.11x 22.解：（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 x， 由题 意得 得 …………………………3分 解 得 或 < 0 （不合题意，舍去） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为 20% . ………………………4 分 （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个定为 元，得 ……………………7 分 整理得， 解 得 或 ……………………………9分 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴取 ∴该品牌头盔的实际售价应定为 50 元． ……………………………10 分 23.（1）① 1.5 10 2.5 x x   ， ② 15x  ；……………………4分 （2）相似三角形的判定与性质；……………………6分 （2）解：如图，在河岸一边，确定恰好在同一条直线上的三点 B，D，C，利用皮尺测 BD、CD 的长，在端点 C处，立一根 2.5米长的标杆CE（CE BC ），在 B点正对岸点 A处（ AB BC ）， 测点 A，D，E恰好在同一条直线上；由 AB CE 可证 ABD ECD∽△ △ ，计算求解即可。 …………………………………………………10分 20%x  2.2x   期中考试九年级数学试卷参考答案 第 4 页 共 6 页 24.解：（1）解： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠A=∠D=90° , AB=DC=2，AD=BC=5， ∴ ∠ABE+∠AEB=90° , ∵ ∠BEC=90° , ∴ ∠DEC+∠AEB=90° , ∴ ∠ABE = ∠DEC， ∴△ABE∽△DEC， ……………………………2 分 ∴ …………………………… 3 分 解得 AE = 1或 AE = 4 ， ∴AE 的长度为 1 或 4. ……………………………4 分 （2）证明： ∵四边形 BEFG 和 ABCD 都是矩形， ∴ ∠GBE=∠ABC=90° , ……………………………ⅆ5 分 ∴ ∠GBA=∠EBC， ………………………………6 分 ∴△GBA ∽△EBC， ……………………………7 分 ∴∠BAG=∠BCE； …………………………… 8 分 （3）解：延长 GA ，CE 交于点 H，则∠DEC = ∠AEH， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠A=90°，AD // BC， 0452  AEAE 期中考试九年级数学试卷参考答案 第 5 页 共 6 页 ∴∠DEC =∠BCE ， 由（2）得∠BAG=∠BCE， ∴∠BAG =∠AEH， ……………… 10 分 ∵∠BAG+∠HAE=90° , ∴∠AEH+∠HAE=90° , ∴∠AHE=90° , ∴AG⊥CE ． ……………………… 12 分 (其它解法，请参照以上评分标准) 25．（1）证明：∵A（0，2a），B（2a，0） ∴OA＝OB＝2a，∠OAB＝∠ABD＝45°………………1分 ∵∠DEF＝∠AEC＝45° ∴∠AEC＝∠ABD …………………………2分 ∵∠CAE＝∠BAD ………………………3分 ∴△ACE∽△ADB ………………………4分 （2）证明：由（1）可知△ACE∽△ADB ∴ AC AE AD AB  即 AC•AB＝AE•AD ……………………-5分 ∵C为 AB的中点， ∴  2 21 1 22 2AB AB AOAC AB AOAE AD AD AD AD      ……………………………6分 ∴ AO AE AD AO  ………………………………7分 又∵∠OAE＝∠OAO ∴△AOE∽△ADO ………………………………8分 ∴∠AEO＝∠AOD＝90° ∴OE⊥AD； ………………………………9分 _O _A _B _C _D _E _F _ y _ x 期中考试九年级数学试卷参考答案 第 6 页 共 6 页 _H _O _A _B _C _D _E _F _ y _ x （3）解：连接 CD， ∵D（a，0），B（2a，0） ∴D是 OB的中点，又 C是 AB的中点， ∴CD∥AO， ∵AO⊥OB， ∴CD⊥OB， ………………………………10分 作 BH⊥AD交 AD的延长线于 H， ∵∠ODE＝∠BDH，∠OED＝∠BHD，OD＝BD ∴△ODE≌△BDH（AAS）， ∴OE＝CH，∠DOE＝∠DBH ∵∠AOD为直角， ∴AD＝ a， ………………………………11分 ∴OE＝ AO OD AD  ＝ a， ∴BH＝ a， ………………………………12分 ∵OE⊥AD，∠DEF＝45°， ∴∠OEF＝45°＝∠ABD， ∵∠CFD＝∠DOE+∠OEF＝∠DOE+45° 又∵∠ABH＝∠DBH+∠ABD＝∠DBH+45° ∴∠CFD＝∠ABH， 又∵CD⊥OB，BH⊥AH， ∴∠CDF＝∠AHB＝90° ∴△CDF∽△AHB ………………………………13分 ∴DF：CF＝BH：AB＝ a：2 a ＝ ．………………………14分 期中考试卷九年级数学 第 1页（共 6 页） 泉州惠南中学 2024 年秋季期中考试卷 九年级数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 2024.11.14 班级： 号数： 姓名： 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：（本题共 10小题，每小题 4分，共 40分，每题只有一个正确选项。） 1．下列二次根式子中，是最简二次根式的是（ ） A． 12 B． 3 C． 4 D． 8 2．下列计算正确的是（ ） A．2 + 3 = 2 3 B．3 3 − 2 3 = 1 C． 12 ÷ 3 = 4 D． 23 × 6 = 2 3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 A B C， ， 都在横线上．若线段 4AB  ，则线段 BC的长是（ ） A． 2 3 B．2 C． 3 2 D．4 4．如图，点 A，B，C在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC等于（ ） A． 5 10 B． 2 5 C． 10 5 D． 5 5 5．如图，在△ABC中，D，E分别在边 AB，AC上，添加下列一个条件后，仍无法判定 △ADE∽△ACB的是（ ） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． �� �� = �� �� D． �� �� = �� �� 第 4 题图第 3题图 第 5题图 期中考试卷九年级数学 第 2页（共 6 页） 6．根据福建省统计局数据，福建省 2021 年的地区生产总值为 43903.89 亿元，2023 年的 地区生产总值为 53109.85 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为 x，根 据题意可列方程（ ） A． 85.53109189.43903  ）（ x B． 85.53109189.43903 2  ）（ x C． 85.5310989.43903 2 x D． 85.53109189.43903 2  ）（ x 7．如图，嘉嘉在 A时测得一棵 4 米高的树的影长 DF为 8米，若 A时和 B时两次日照的 光线互相垂直，则 B时的影长 DE为（ ） A．2米 B． 52 米 C．4米 D． 24 米 8．如图，在△ABC中，D，E分别是 AB，AC的中点，BE，CD相交于点 O，则下列四个 结论中，错误的是（ ） A． �� �� = 1 2 B． �� �� = 1 2 C． △���的周长 △���的周长 = 1 2 D． △���的面积 四边形����的面积 = 1 4 9．我们把顶角为 36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 ． 如图，在△ABC 中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交 AC于点 D，若 BC＝2， 则 CD的长为（ ） A． 1-5 B． 3-5 C． 25  D． 2 25  第 7题图 第 8题图 第 9题图 10．关于的方程 2 2( 1) 2 0x m x m    的两个根互为相反数，则m的值是（ ） A． 1m   B． 1m  C． 1m   D． 0m  期中考试卷九年级数学 第 3页（共 6 页） 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．二次根式 � − 3 中，x的取值范围是 ． 12．若 � � = 2 3 ，则 �+� � = ． 13．方程 x2﹣2x＝0的解为 ． 14．化简： ( 3 − 2)2 = ． 15．如图，正方形 ABCD的面积为 4，点 E，F，G，H分别为边 AB，BC，CD，AD的中 点，则四边形 EFGH的面积为 ． 16．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O， 过点 A作 EA⊥CA交 DB的延长线于点 E，若 AB=3， BC=4，则 AE OA 的值为_____________． 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分） 计算：   113tan30 9 3     ． 18.(8 分）解方程：   33 2  xx 19．（8 分）先化简，再求值： .12, 2 1) 2 11( 2       x x x x 其中 20．（8分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是 1：2．若 AC＝2cm， 在图中画出位似中心 O，并求 A′C′的长． 21．（8分）已知关于 x的一元二次方程 x2 +（k + 1）x + k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数 k的取值范围． 第 15题 第 16题 期中考试卷九年级数学 第 4页（共 6 页） 22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头 盔经销商统计了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量，该品牌头盔 4 月份销售 100个，6月 份销售 144个，且从 4月份到 6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为 30元/个，测算在市场中，当售价为 40元/个时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1元/个，则月销售量将减少 10个，为使月销售利润达到 10000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23.（10分）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度． 工具：1.5米长的标杆和 2.5米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度 AB，测量过程 如下： （1）小康站在河岸 BD的一端点 B处立了一根1.5米长的标杆 BC（BC BD ）； （2）小明站河岸的另一端点 D处，立了另一根2.5米长的标杆DE（DE BD ）； （3）小英在点 A处测得点 A，B，D恰好在同一条直线上，点 A，C，E恰好在同一条直 线上； （4）小康利用皮尺测出 10BD  米． 求解过程： 期中考试卷九年级数学 第 5页（共 6 页） ∵CB AD ， ED AD ，∴ 90ABC ADE   ． ∵ BAC DAE   ，∴ ABC ADE△ △∽ ，∴ AB BC AD DE  ． ∵ 1.5BC  米， 2.5DE  米， 10BD  米，设 AB x ， ∴ ① ， 解得 x  ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度 AB用到的几何知识是_____________________． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画 出图形，并简要说明一下（不必计算）． 24．（12分）如图 1，在矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝5，点 E是边 AD上一点，连接 BE， CE． （1）若∠BEC＝90°时，求 AE的长度； （2）如图 2，以 BE为边在 BE的左侧作矩形 BEFG，且 BG：BE＝2：5，连接 AG，CE． ①求证：∠BAG＝∠BCE； ②求证：AG⊥CE． 期中考试卷九年级数学 第 6页（共 6 页） _O _A _B _C _D _E _F _ y _ x 25．（14 分）已知：如图，在平面直角坐标系中，A（0，2a），B（2a，0），C为 AB的 中点，D为 OB上一点，点 E在 AD上，连接 CE并延长交 x轴于 F，若∠DEF＝45°． （1）求证：△ACE∽△ADB； （2）求证：OE⊥AD； （3）若 D（a，0），求 DF：CF的值．