安徽省2024-2025学年沪科版数学九年级上期末专题复习相似形部分重难点专项练习

安徽省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 相似形部分重难点专项练习 本资料以2023年安徽省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，那么（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在四边形中，，对角线，过点作于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 7．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，是边上一点，，点在边上，若，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．3.2 D．3.6 9．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在三角形纸片中，，，垂直平分，平分，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，若，则的长为(　　) A． B． C． D．1 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 14．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    15．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，D，E别是的边上的点，，若，，则线段的长的值为 ． 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 18．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）在中，，，，点D是的中点，点F是射线上一点，将沿对叠得到． （1）当时， ． （2）当时，的面积为 ． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 20．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，，是的两条高． （1）线段的长为 ． （2）连接，＝ ． 21．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，D是上的一点，G为中点，过点G的直线分别交和于点E，F，． （1）若D是的中点，则 ； （2）连接，若是直角三角形，则的长为 ． 22．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M． （1） ； （2）若、，则 ． 三、解答题 23．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立直角坐标系后，点B的坐标为．    (1)把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标； (2)把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请在网格内画出． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，．点在边上，点、在边上，四边形是一个边长为的正方形，且．    (1)求关于的函数解析式； (2)的最大值． 25．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒，连接． (1)若，求的值； (2)若以为顶点的三角形与相似，求的值． 26．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，中，平分，E是上一点，． (1)求证： (2)已知，，试求的长． 27．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，中，点P在上，点E为的中点，点Q在线段的延长线上，且． (1)求证：； (2)若， ．求的长． 28．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，E为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 29．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在四边形中，，点在边上，且，． (1)如图1，求证：； (2)作交线段于点，连接． ①如图2，若的延长线恰经过点，求的值； ②如图3，若的延长线交线段于点，且，直接写出的值． 30．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法．先根据证明∽，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ，， ， ， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 3．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 4．D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先求出,证得，，得到，根据相似三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，,， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵，且 ∴， 即， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故选C． 9．A 【分析】本题以翻折为背景，考查的是三角形的外心的性质，相似三角形的判定与性质．根据三角形的相似的判定定理易得，进而相似三角形对应边成比例解题即可． 【详解】解：连接， ∵平分 ∴ ∵平分 ∴所在的直线垂直平分 ∴O是的外心 即 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴，(负根舍去)，经检验符合题意． 即 故选：A． 10．B 【分析】取的中点，连接，过点作于点，得是的中位线，连接并延长交于点，可得点的运动轨迹是射线，所以得的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到点的运动轨迹是射线． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作于点， 点是的中点， 是的中位线，始终与平行， 连接并延长交于点， ∴ ， 点的运动轨迹是射线， 的最小值为的长， ，，是的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：B 11．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，，证明，则，，可判断A的正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，C成立，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，A成立，故不符合要求； 设到上的高为，到上的高为， ∴， ∴，D成立，故不符合要求； 当时，， ∵的大小关系不确定， ∴，不一定成立，故B符合要求； 故选：B． 12．A 【分析】此题主要考查了正方形规律题，熟练掌握正方形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，归纳出正方形边长的规律，是解本题的关键是． 利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，得到，求出，，推导出，即得． 【详解】∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ， …， ∴， ∴． 故选：A． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 根据小花的高度与长的比等于小花在传感器上的高度与长的比求解作答即可． 【详解】解：设小花在传感器上的高度为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图：过点C作于点M，过点作于点N，则，根据题意可得，进而得到；由勾股定理可得，再证明，运用相似三角形的性质可得，进而求得，最后根据点在x轴的负半轴写出坐标即可． 【详解】解：如图：过点C作于点M，过点作于点N， 则．    ∵与的相似比为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵点在x轴的负半轴， ∴点的坐标为，即． 故答案为． 15． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义．添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 过点A作轴，点C作轴，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，，，得线段长度，，，，代入比例线段求解即可． 【详解】如图，过点A作轴，点C作轴，垂足分别为G，F ，则， 由题意知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的两个三角形面积的比等于底边的比；由可得；由得，，即可求得结果． 【详解】解：∵，且这两个三角形等高， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：． 17． 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 18． 6 60或15/15或60 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与折叠问题． （1）只需要证明△ADF∽△ABC，即可推出； （2）分图1和图2两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）如图1，当于点H时， 由（1）可知，，，则． 在中，，， 由勾股定理，得，则，解得， ∴； 如图2，当点F位于点C左侧，当于点H时，则，． 在中，由勾股定理，得，则， 解得，则， ∴． 综上所述，的面积为60或15． 故答案为：60或15． 19． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 20． 【分析】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，运用勾股定理计算是解题的关键． （1）设，根据勾股定理得到即可求出长， （2）先证明，然后证明计算即可． 【详解】解：设，则， ∴，即， 解得：， ∴，， ∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 21． 2.5 3.2或4 【分析】（1）由勾股定理得，再证四边形是矩形，则可得．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 可得，则． （2）①若，先证，则可得，即可求出的长； ②若，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：（1）在中，，，， ， ∵G是的中点， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ∵中，D是的中点， ， ． 故答案为：2.5； 解：（2）①如图，若，则， 又， ， ， ， 解得． ②如图，若，则， 又， ． 故答案为：3.2或4． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22． 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟记定理内容，寻找几何条件证相似是解题关键． （1）根据题意易得，，，从而易证，即可得到； （2）由（1）易证，从而可得转换为可证，根据勾股定理即可求得的长，可得，都是三边比例为的直角三角形，设，则，可得，解得的值，即可推出的长． 【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，都是三边比例为的直角三角形， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 23．(1)作图见解析，点的坐标为： (2)见解析 【分析】本题考查了写出点的坐标，平移作图，画位似图形； （1）根据平移的性质画出，根据坐标系写出点的坐标； （2）根据位似的性质，使放大前后对应边长的比为，画出，即可求解． 【详解】（1）如图所示：即为所求，点的坐标为：    （2）如图所示：即为所求    24．(1) (2) 【分析】此题涉及到相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形的性质等多个知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）延长，交于，显然，则，利用，求得，于是可得方程，然后解方程即可， （2）由第（1）题得方程，解当时，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：延长，交于，   ， ， ，， ， 可得：， 两边平方，整理可得： 解得：，（舍去） 关于的函数解析式为： （2）解：由（1）题可得：， 当，即时， 有最大值， 故当时，有最大值为 25．(1) (2)若以为顶点的三角形与相似，的值为或. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用勾股定理求得的长，由题意得，，根据，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意知：，， ∴，， ∵， ∴， 解得； （2）解：若以为顶点的三角形与相似，分两种情况， ①若， 则，即， 解得； ②若， 则，即， 解得， 若以为顶点的三角形与相似，的值为或． 26．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据，于是得到结论； （2）根据得到，可求得的值，由即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 27．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，证明相似是解题的关键． （1）证明即可； （2）由的性质可求得，进而求得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， 开算术平方根得， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：． 28．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，由（1）知，，从而得到，可证明，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ． （2）解：平分， ， 由（1）知，， ． 又， ， ， 即， ． 29．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）证明得出，根据，即可求解； （2）①设，， 根据得出，证明四边形是平行四边形，得出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； ②延长交于点，根据①的方法得出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解： ∵， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 即， 即， 解得：（负值舍去）， 即； ②如图所示延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 由①可得，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 即 即 解得：（负值舍去） 即 30．(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析． 【分析】（1）平移至，使点F与点重合，证明，进而得出结论； （2）将平移至，将平移至，可证得，进而得出结果； （3）平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于，，，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，    平移至，使点F与点重合， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2，    将平移至，将平移至， ，， 同理（1）得， ， 同理（1）可得： ，， ， ， ． （3）解：如图3，    平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$