精品解析：福建省福州第二中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试数学试题

福州二中2024-2025学年第一学段考试 高一年段数学学科必修一 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高一数学集备组 审核：高一数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出集合A，B各自表示的范围，再根据集合的运算求出A，B的交集即可. 【详解】由题意得，集合， 集合或， 所以根据集合的交集运算可得， 或， 故答案选：C. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可得到命题的否定. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以其否定为. 故选：C. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可. 【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且， 故A正确； 对于B，的定义域为， 而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为， 两函数定义域不同，故C错误； 对于D，易知两函数定义域均为R，但， 故D错误. 故选：A 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案. 【详解】因为函数定义域为R，， 所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除D， 因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方， 所以排除B， 故选：C 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案. 【详解】函数在上单调递增， 故，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集解出之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集. 【详解】由题意知，是一元二次方程的两个实数根，且， 所以，解得， 所以， 所以不等式的解集为：， 故选：C. 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数解析式，再结合基本不等式求出函数最值即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 即函数有最大值，没有最小值. 故答案选：C. 8. 定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；求出的范围计算判断B；利用1的妙用，结合单调性判断C；消元，结合二次函数判断D. 【详解】对于A，，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，，得，则，B错误； 对于C，由，得， 对单调递增，，C错误； 对于D，，而， 则当时，取得最小值，D正确. 故选：AD. 11. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数定义，求出函数的解析式，画出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】令得， ， 故， 则其图象如下： 根据图象可知， 函数图象关于轴对称，所以函数是偶函数，故正确； 函数图象与轴又三个交点，所以方程有三个解，故正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 函数的最大值是，故正确， 故选： 12. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心是 B. 函数的对称中心是 C. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 D. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】计算可判断A选项；计算可判断B选项；推导出函数的图象关于直线对称的充要条件为函数为偶函数，可判断CD选项. 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 则，可得， 对于A选项，因为， 则， 所以，函数的图象关于点对称，A对； 对于B选项，因为， 则， ， 所以，， 所以，函数的对称中心是，B对； 若函数的图象关于直线成轴对称图形， 在函数的图象上任取一点， 则该点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，， 用替代等式中的可得， 此时，函数为偶函数， 所以，函数的图象关于直线对称的充要条件为函数为偶函数， 对于C选项，类比上面推广结论： 函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，C对； 对于D选项，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，D错. 故选：ABC. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 14. 函数在区间的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简解析式，再根据定义域求出值域即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 所以， 即的值域为. 故答案为：. 15. 已知函数，当时，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两个情况分别求解即可. 【详解】由，得或，解得或， 所以x的取值范围是． 故答案为： 16. 已知函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算得出的值，即可求出所求代数式的值. 【详解】当且时，，且， 故 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知是二次函数，且满足，， （1）求的解析式； （2）若，求的单调区间和值域. 【答案】（1） （2）减区间为，增区间为，值域为 【解析】 【分析】（1）设，根据题中条件可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的增区间和减区间，进而可求得该函数在上的值域. 【小问1详解】 设，则， 因为， 即， 即， 所以，，解得，则. 【小问2详解】 因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因为，，所以，， 所以，函数在上的值域为. 18. 设，，命题，命题. （1）当时，求； （2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，当时，解出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）分析可得，然后对与的大小关系进行分类讨论，在时，直接检验；在、两种情况下，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为或，则， 当时，， 此时，. 【小问2详解】 因为命题是命题的一个必要但不充分条件，则， 当时，，合乎题意； 当时，则，所以， 此时，； 当时，则，所以， 因为，则，解得，此时，， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （3）对于函数，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数 （2） 任取，且， 则， 因为，则， 所以，即， 故在区间上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）定义法判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性解不等式. 【小问1详解】 函数，定义域为R， ， 所以在R上为奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得在区间上单调递减， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元 【解析】 【分析】（1）利用，即可求解； （2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案. 【小问1详解】 根据题意，，化简得， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， 当时，， 当时，，所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当时，， 故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元. 21. 已知函数和，定义集合. （1）设，求； （2）设，当时，求的取值范围； （3）设，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【小问1详解】 已知， 由即， 解得 ， 则； 【小问2详解】 已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 已知， 由得，不等式组有解， 由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州二中2024-2025学年第一学段考试 高一年段数学学科必修一 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高一数学集备组 审核：高一数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 8. 定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数最大值为1 12. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心是 B. 函数的对称中心是 C. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 D. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，，则与的大小关系为_________. 14. 函数在区间的值域为__________. 15. 已知函数，当时，则的取值范围为__________. 16. 已知函数，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知是二次函数，且满足，， （1）求的解析式； （2）若，求的单调区间和值域. 18. 设，，命题，命题. （1）当时，求； （2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件. 19. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （3）对于函数，，若，求实数的取值范围. 20. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知函数和，定义集合. （1）设，求； （2）设，当时，求的取值范围； （3）设，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $