4.2.3 对数函数的性质与图象（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

4.2.3 对数函数的性质与图象 题型一 对数函数定义的判断 1．（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 题型二 对数函数的解析式求解 1．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 2．（23-24高一上·天津·月考）若对数函数的图象过点，则 ． 3．（23-24高一上·上海·月考）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 4．已知函数是对数函数，且，则 ． 题型三 对数函数定义域问题 1．（23-24高二下·四川南充·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·福建三明·期中）函数的定义域为 . 4．（23-24高二下·北京东城·期末）函数的定义域是 . 题型四 对数型函数过定点问题 1．（23-24高一上·四川·月考）函数过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林通化·月考）函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 题型五 对数函数的图象问题 1．（22-23高一上·江西·月考）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·月考）函数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽合肥·月考）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 题型六 指数与对数比较大小 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建三明·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山西晋中·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 对数型函数的单调性问题 1．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 解对数型不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 ． 4．（24-25高三上·辽宁·开学考试）若，则的取值范围是 . 题型九 对数型函数的奇偶性问题 1．（22-23高一上·江苏扬州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）若函数是偶函数，则（    ） A． B．e C． D． 3．（23-24高一上·上海闵行·月考）函数的奇偶性是 . 4．（22-23高一上·云南红河·月考）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 题型十 对数型函数的值域问题 1．（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的最小值是 ． 3．（23-24高一上·河南·月考）求函数，的值域. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 1．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 2．（23-24高一上·天津·月考）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西·月考）若函数是奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 5．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知，则的值域是 ． 6．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数在上的最大值为2，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.3 对数函数的性质与图象 题型一 对数函数定义的判断 1．（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D. 2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．故选：A． 3．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数.故选：B. 4．（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【解析】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意；故选：AC. 题型二 对数函数的解析式求解 1．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【解析】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 2．（23-24高一上·天津·月考）若对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设对数函数（，且），因为函数图象过点， 所以，得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·月考）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】 【解析】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 4．已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】 【解析】设，且， 因为， 所以，解得， 所以，所以. 题型三 对数函数定义域问题 1．（23-24高二下·四川南充·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴函数的定义域为，故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得，所以定义域为. 3．（24-25高一上·福建三明·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则即， 因为为增函数，所以即. 所以函数的定义域为. 4．（23-24高二下·北京东城·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】为了让函数的表达式有意义， 需要.解得， 所以函数的定义域是. 题型四 对数型函数过定点问题 1．（23-24高一上·四川·月考）函数过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且， 所以要求恒过定点，则满足 解得， 所以恒过定点.故选：B 2．（23-24高一上·吉林通化·月考）函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于（且）， 则函数（且）恒过定点．故选：D． 3．（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且， 所以在函数中， 令，则，， 所以函数的图象一定经过点.故选：D. 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 所以.故选：B. 题型五 对数函数的图象问题 1．（22-23高一上·江西·月考）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【解析】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1， 函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的， 因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D． 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即， 所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误，故选：C. 3．（23-24高一上·四川成都·月考）函数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的定义域为或，故排除AB， 又,则， ,故排除C.故选：D. 4．（23-24高一上·安徽合肥·月考）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，则函数的定义域为，排除选项C； 又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D； 当时，，排除选项B， 因为为偶函数，且当时，函数单调递减， 选项A中图象符合.故选：A 题型六 指数与对数比较大小 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. ,即. 综上知道.故选：D. 2．（24-25高一上·福建三明·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二次函数性质可得当时，， 由指数函数性质可得， 由对数函数性质可得， 因此可得.故选：C 3．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递增知道，； 故.故选：A. 4．（23-24高一下·山西晋中·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数在上单调递增可得，，即； 由指数函数为减函数可得，，因此； 即可知.故选：A 题型七 对数型函数的单调性问题 1．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间.故选：B. 2．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为．故选：A． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 4．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 令， 则在上单调递增且恒大于， 则，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C 题型八 解对数型不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由可得: ,解得：， 因是的真子集， 故 “”是“”的必要不充分条件.故选：B． 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为，故选：B. 3．（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由可得，解得， 故答案为： 4．（24-25高三上·辽宁·开学考试）若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 可得且，可得且，可知， 且，可得，解得或（舍去）， 若，则，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型九 对数型函数的奇偶性问题 1．（22-23高一上·江苏扬州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，的定义域是， A选项，设， ，解得，所以的定义域是， ，所以是奇函数，A选项正确. B选项，，B选项错误. CD选项，的定义域是， 所以，，所以和的定义域为， 不关于原点对称，CD选项错误.故选：A 2．（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）若函数是偶函数，则（    ） A． B．e C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以，所以， 可得， 可得对均成立， 所以.故选：A. 3．（23-24高一上·上海闵行·月考）函数的奇偶性是 . 【答案】奇函数 【解析】由函数，可得， 解得， 所以，所以， ， 所以函数是奇函数， 故答案为:奇函数. 4．（22-23高一上·云南红河·月考）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)；(2)偶函数，理由见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）为偶函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以的为偶函数. 题型十 对数型函数的值域问题 1．（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为故选：B 2．已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由函数有意义， 则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得， 令， 因为， 当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以， 所以函数的最小值为4． 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南·月考）求函数，的值域. 【答案】 【解析】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵是定义在上的奇函数，∴. ∵时，， ∴当时，， ∴. （2）由题意得，. 令，问题等价于求，的值域 ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴，， ∴函数的值域为. 1．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 【答案】A 【解析】由得：或，的定义域为； ，是奇函数； ， 在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可知：在上是增函数.故选：A. 2．（23-24高一上·天津·月考）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是.故选：D 3．（24-25高一上·江西·月考）若函数是奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 即，即， 解得，即， ，即函数的定义域为， 设，则在上为增函数， 而在上为增函数， 所以在上为增函数， 若，则，可解得， 则， 又，则有， 不等式的解集为.故选：A. 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 【答案】ABD 【解析】对于A，， 所以，则， 即恒成立，所以的定义域为， 且当趋于无穷大时，接近于0， 当趋于无穷小时，趋于无穷大， 所以的值域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确； 对于C，因为在上递减， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，因为在上递减， 且为奇函数，则， 在上为减函数， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 在上为减函数，即在上单调递减， 则，故D正确.故选：ABD. 5．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知，则的值域是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为. 令，则， 故，故为上的奇函数. 在上，均为增函数，故在上为增函数， 又在上为奇函数，且在上为增函数， 故为奇函数，且在上增函数，所以在上单调递增， 由可得：， 即也就是， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故，即m的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数在上的最大值为2，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的值. 【答案】(1)2，；(2). 【解析】（1），则， 当时，（舍） 当时，满足， 故. ，故集合 （2）由集合， 设，则当，即时， 由对勾函数的性质可知， 故， 设，则由题意得为当时，的值域的子集. 当即时，易知在上单调递增， 故，得 当，即时，在上的最大值为和中的较大值， 若得， 若得，而，故不合题意； 当，即时，易知在上单调递减， 故，不等式组无解. 综上所述：实数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$