精品解析：上海市新中初级中学2024-2025学年上学期数学学科九年级期中试卷

新中初级中学2024学年第一学期 数学学科九年级期中练习卷 （考试时间 100分钟） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（　　） A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° ， ABCDEF，不符合题意； B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm 又 ，不符合题意； C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm 但 不能判断ABC和DEF相似符合题意； D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm ，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例问题，根据比例线段的概念，最小线段长与最大线段长的积，另外两条线段长的积，两个结果是否相等即可即可求解． 【详解】解：A．∵，∴、、、不成比例； B．∵，∴、、、不成比例； C．∵，∴、、、不成比例； D．∵，∴、、、成比例； 故选D． 3. 已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么或 D. 如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 ； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 故选：． 4. 点、分别在 的边和上，下列条件能判定的比例式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意确定相似三角形的对应边是解题的关键． 根据题意确定相似三角形的对应边即可解答． 【详解】解：如图： 当时，，即, ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 在中，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6. 如图，梯形中，，，，点E在上，点F在上，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造基本图形． 设，连接，延长交于点，过点作于点，由折叠可得为等腰直角三角形，可证明四边形为矩形，以及，继而求出，则，而为等腰直角三角形，则，那么，最后由，得到，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， 连接，延长交于点，过点作于点， ∵，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合 ∴， ∴为等腰直角三角形，即 ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选B． 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 若，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为:． 8. 已知，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由比例的性质设，，代入即可求解. 【详解】设，， 则 故答案为. 【点睛】本题考查根据比例式求代数式的值，设比例参数是解决本类问题的常用方法. 9. 已知点是线段上的黄金分割点，且，则较长线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键．根据黄金分割比为，根据为较长线段则， 【详解】解：∵点P是线段上的黄金分割点，且， ∴长线段的长为. 故答案为：． 10. 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 11. 计算：=_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键；先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，是的一条中线，G是的重心，过点G作，交于点E，F．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据是中线，得到，由G为的重心，可以得到，有，可以证明，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 14. 如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【详解】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确 【详解】解：在△AEF和△ABC中 ∵， ∴△AEF≌△ABC（SAS）， ∴AF＝AC， ∴∠AFC＝∠C， ∴①正确； 不正确，理由是：假设， ∵△AEF≌△ABC ∴∠AFD=∠C，AF=AC， ∴△ACF≌△AFD， ∴∠DAF=∠FAC， 原题中无AF为∠BAC平分线这一条件， ∴②错误； ∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF， ∴△ADE∽△FDB， ∴③正确； ∵△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF， ∴∠EAD＝∠CAF， ∵△ADE∽△FBD， ∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF， ∴④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键． 16. 如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___． 【答案】4 cm 【解析】 【分析】设正方形的边长为x cm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为xcm，与交于点P， ∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴＝， 解得：x＝4， 故答案为：4cm 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，列出方程． 17. 如图，在梯形中，，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是____． 【答案】 【解析】 【分析】延长BE，AD交于G，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC，根据全等三角形的性质得到DG=BC=2AD，GE=BE，于是得到AG=3AD，通过△AGF∽△BCF，得到===，设GF=3x，BF=2x，求得=，由==，得到S△ABF=S△BCF，由==4，得到S△CEF=S△BCF，即可得到结论． 【详解】 延长BE，AD交于G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠EBC， 在△DGE与△BCE中， ， ∴△DGE≌△BCE， ∴DG=BC=2AD，GE=BE， ∴AG=3AD， ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△BCF， ∴===， ∴设GF=3x，BF=2x， ∴BG=5x， ∴BE=GE=2.5x， ∴EF=12x， ∴=， ∴==， ∴S△ABF=S△BCF， ∵==4， ∴S△CEF=S△BCF， ∴△ABF和△CEF的面积比= =6:1. 故答案为6:1. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 18. 如图，中，，，，点在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，若是等腰三角形，则的长是____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：， 若是等腰三角形，则，勾股定理求出，再证明，求出，根据，即可求出；当点在边之间上动，且点在线段的延长线上时，同理即可求解． ． 【详解】解：∵在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，根据题意作图如下，过作的垂线，交于， 在中， ， 根据翻折的性质，可得：， 当点在边之间上动，且点在线段上时， 故， 若是等腰三角形， 则， 根据等腰三角形的三线合一的性质知， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 过作的垂线，交于， 在中， ， 根据翻折的性质，可得：， 当点在边之间上动，且点在线段的延长线上时， 故， 若是等腰三角形， 则， 根据等腰三角形的三线合一的性质知， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】解： 20. 已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F． （1）求的值； （2）设，，请用向量、表示向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，由，得，从而解决问题； （2）求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 设，则，， ， 【小问2详解】 解：，，， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 21. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 【答案】（1） 由题意： ∵CE⊥CD， ∴， 又∵， ∴∠CDE＝∠ACD， ∵在中，CD是AB边上的中线， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴∠CDE＝∠CAD， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD ，再利用CD是斜边AB中线，可得CD=AD，证得∠A=∠ACD，从而∠CDE＝∠CAD，进而可以证明； （2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案． 【详解】解（1） 略 （2）∵AC＝8，BC＝6， ∴利用勾股定理得： ∵在中，CD是AB边上的中线， ∴CD＝5， ∵ ∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5， ∴DE＝． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键． 22. 已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：： （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形AFCD是平行四边形 ∴ ∴ ∴ （2） 证明：∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【解析】 【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等 （2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点 23. 如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质以及三角函数即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， ， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． （1）求一次函数的解析式及点D的坐标； （2）求证：； （3）如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 25. 如图，在中，，点D是射线上的一个动点，过点B作，垂足为点E，延长交射线于点F，设． （1）如图1，当点C是线段的中点时，求的值； （2）如图2，当点D在的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． （3）当时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，先证明，求出，则，那么，然后在中，由正切的定义求解； （2）过点作，交于点，则，则，表示出，再证明即可求解； （3）分两种情况讨论，点在的延长线上或点在线段上求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 如图1，过点作，垂足为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是线段的中点， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，过点作，交于点， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问3详解】 解：情况一：当点在的延长线上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 情况二：当点在的边上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 同（2），如图5，过点作交的延长线于点， 可求得 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：的面积为或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正切值，求函数解析式和定义域，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中初级中学2024学年第一学期 数学学科九年级期中练习卷 （考试时间 100分钟） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（　　） A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 3. 已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么或 D. 如果为单位向量，且，那么 4. 点、分别在 的边和上，下列条件能判定的比例式是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，梯形中，，，，点E在上，点F在上，将梯形沿直线翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 若，则______． 8. 已知，则_______________. 9. 已知点是线段上的黄金分割点，且，则较长线段的长为______． 10. 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______． 11. 计算：=_______． 12. 如图，是的一条中线，G是的重心，过点G作，交于点E，F．若，则的长为________． 13. 如图，，则的长为_________． 14. 如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么______． 15. 如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）． 16. 如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___． 17. 如图，在梯形中，，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是____． 18. 如图，中，，，，点在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，若是等腰三角形，则的长是____． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F． （1）求的值； （2）设，，请用向量、表示向量． 21. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 22. 已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：： （2）如果，求证：． 23. 如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． （1）求一次函数的解析式及点D的坐标； （2）求证：； （3）如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 25. 如图，在中，，点D是射线上的一个动点，过点B作，垂足为点E，延长交射线于点F，设． （1）如图1，当点C是线段的中点时，求的值； （2）如图2，当点D在的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． （3）当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $