精品解析：江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

金溪一中2024-2025学年度下半学期八年级期中考试 数学试题 本试卷共有六大题，23小题，全卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 10的立方根是 B. 是4的一个平方根 C. 的平方根是 D. 0.01的算术平方根是0.1 2. 如图，为修铁路需凿隧道，测得，，，若每天凿隧道，则把隧道凿通需要（ ） A. 10天 B. 天 C. 天 D. 天 3. 如图，小手盖住点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象与y轴的交点坐标是( ) A. (4，0) B. (0，4) C. (2，0) D. (0，2) 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的平方根是____. 8. 已知≈1.859，≈5.879，则≈________. 9. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________． 10. 已知函数（b的图象不经过第三象限，则直线经过第____象限. 11. 当时，代数式______． 12. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为 __． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）求x的值： 14. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为， （1）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求m的值； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值． 15. 如图，，，，都是格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）在图1中，在y轴上找点M，使得最小； （2）在图2中的AB上找一点N，使． 16. 已知直线（）经过点． （1）求该直线的函数关系式； （2）求该直线与两坐标轴围成三角形面积． 17. 课本再现 思考：对于任意数，一定等于吗？ 得出结论 （1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________． 知识应用 （2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示． 请化简：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数的表达式； （2）的面积为________． 19. 如图，在四边形OABC中，，，，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求梯形OABC的面积． 20. 阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． （1）直接写出结果________； （2）利用上面的规律，计算：； （3）比较大小：与． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，若、，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问值是否存在最小值？请求出这个最小值，若不存在请说明理由． （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为 ． 22. 在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： （1）如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； （2）如图（2），连接三格和两格对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 23. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________； （2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金溪一中2024-2025学年度下半学期八年级期中考试 数学试题 本试卷共有六大题，23小题，全卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 10的立方根是 B. 是4的一个平方根 C. 的平方根是 D. 0.01的算术平方根是0.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根，平方根和算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：A. 10的立方根是，正确； B. -2是4的一个平方根，正确； C. 的平方根是±，故错误； D. 0.01的算术平方根是0.1，正确. 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根和算术平方根的定义． 2. 如图，为修铁路需凿隧道，测得，，，若每天凿隧道，则把隧道凿通需要（ ） A. 10天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】A 【解析】 【分析】由，可知△ABC是直角三角形，再根据AB与BD的长，用勾股定理求出第三边长，即可得出答案. 【详解】解：∵∠A+∠B=90°，AB=130m，BC=120m， ∴ ∵每天凿隧道5m， ∴ 50÷5=10=10（天）． 故选A． 【点睛】熟练勾股定理及其应用是解本题的关键.同时要注意区分直角三角形的直角边和斜边. 3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可，四个象限的符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 ．本题考查了根据点所在的象限求参数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为． 故选：D． 4. 一次函数的图象与y轴的交点坐标是( ) A. (4，0) B. (0，4) C. (2，0) D. (0，2) 【答案】B 【解析】 【分析】求一次函数图像与y轴的交点坐标，令x=0，求出y值即可. 【详解】令x=0， 得y=-2×0+4=4， ∴一次函数与y轴的交点坐标是(0,4)， 故选B. 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标问题，求图像与y轴交点坐标时，令x=0，解出y即可；求图像与x轴交点坐标时，令y=0，解出x即可. 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当，可得，解得， 图象与x轴交于点，故B错误； 函数值y随自变量x的增大而增大， 当时，，故D错误， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答． 【详解】解：∵点、、、， ∴，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 第六次相遇点是点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的平方根是____. 【答案】± 【解析】 【分析】首先计算的值为，再计算的平方根即可得解 ． 【详解】∵=，=±， ∴的平方根是± ． 故答案为± ． 【点睛】本题考查了正数的算术平方根以及平方根的相关知识，在计算时不应忽略= ． 8. 已知≈1.859，≈5.879，则≈________. 【答案】587.9 【解析】 【详解】因为,≈5.879, 所以,故答案为. 点睛:本题主要考查二次根式乘法法则的逆用,解决本题的关键是对二次根式法则得逆向运用. 9. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 则由题设条件可知： 解得： 点A的横坐标为：，点A的纵坐标为： 故点A的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键． 10. 已知函数（b的图象不经过第三象限，则直线经过第____象限. 【答案】二、四 【解析】 【分析】先根据一次函数y=kx+b（b的图象不经过第三象限得出k＜0，b0，再根据正比例函数的图像和性质即可得出结论 【详解】解：∵一次函数y=kx+b（b的图象不经过第三象限， ∴经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b0． ∴kb ∴直线经过第二、四象限. 故答案为二、四 【点睛】本题考查了一次函数图象，一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交． 11. 当时，代数式______． 【答案】2023 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质=a（a≥0）即可求出答案． 【详解】解：∵时， ， ∴原式=1+2022 =2023， 故答案为：2023． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及完全平方公式，本题属于基础题型． 12. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为 __． 【答案】13或24或 【解析】 【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得的值． 【详解】解：，，， ． ①当时，； ②当时，，； ③当时，，，， 在中，， 即， 解得． 综上，当为等腰三角形时，或24或． 故答案为：13或24或． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）求x的值： 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先计算除法和乘法，再进行合并同类二次根式； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得：或 14. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为， （1）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求m的值； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形， （1）根据点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，确定方程求解即可； （2）根据点P在第三象限，且点P到x轴距离为7，得出相应方程求解即可； 熟练掌握坐标与图形基本知识点是解题关键． 【小问1详解】 解：点P在过点且与y轴平行的直线上， ， 解得：， 因此m的值为； 【小问2详解】 点P在第三象限，且点P到x轴距离为7， ， 解得：， 因此m的值为． 15. 如图，，，，都是格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）在图1中，在y轴上找点M，使得最小； （2）在图2中的AB上找一点N，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称作图，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）连接交轴于， 即为所求； （2）在线段上取格点，使，连接即可． 【小问1详解】 解：如图， 点即为所求： 【小问2详解】 解：如图： 点即为所作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16. 已知直线（）经过点． （1）求该直线的函数关系式； （2）求该直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识． （1）把带入求解即可； （2）先求出一次函数与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解∶直线经过点， ，解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，令，得； ∴与y轴的交点为， 令，得，解得； ∴与x轴的交点为， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 17. 课本再现 思考：对于任意数，一定等于吗？ 得出结论 （1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________． 知识应用 （2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示． 请化简：． 【答案】（1）5，5，；（2） 【解析】 【分析】本题考查数轴，二次根式的化简，化简绝对值，掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质求解； （2）根据数轴确定a，c和的正负，进而利用化简． 【详解】解：（1），，可以得出结论：， 故答案为：5，5，； （2）由数轴可知，，， ， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数的表达式； （2）的面积为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算． 【小问1详解】 设一次函数表达式为 把，代入得， 解得． 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 把代入， 得， 所以点坐标为， 所以的面积 ． 19. 如图，四边形OABC中，，，，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求梯形OABC的面积． 【答案】(1)C（0，8），B（8，8），A（16，0）；(2)S梯形OABC=96. 【解析】 【分析】（1）如图，过点B作于点D，由OC=8可得C点坐标，由CB//OA，可证明BD=OC，BC=OD，即可求出B点坐标，由∠OAB=45°可得△ABD是等腰直角三角形，可得AD=BD，进而可求出OA的长，即可得A点坐标；（2）根据梯形面积公式即可得答案. 【详解】(1)如图，过点B作于点D． ∵， ∴点C的坐标为， ∵CB//OA，， ∴，BC=OD=8， ∵，OC=8， ∴点B的坐标为． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴点A的坐标为． (2)． 【点睛】本题考查了点的坐标的意义及与图形相结合的具体运用，也考查了梯形面积. 20. 阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． （1）直接写出结果________； （2）利用上面的规律，计算：； （3）比较大小：与． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 小问3详解】 解：，， ∵， ∴， 即． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，若、，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问的值是否存在最小值？请求出这个最小值，若不存在请说明理由． （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为 ． 【答案】（1） （2）存在，最小值为10 （3）25 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，即可求解； （2）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点作，交的延长线于点．在中运用勾股定理计算求解． （3）由（1）的结果可作，过点作，交的延长线于点，使，，连接交于点，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式 的最小值． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∴， ∴当、、在同一直线上时，的值最小，最小值等于长， 过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． 在中，由勾股定理，得 ． 即的最小值是10． 【小问3详解】 解：如图， 若、，，设． ∴， ∴的最小值是长， 即的最小值是长， 过点作，交的延长线于点， 在中，由勾股定理，得 ， ∴的最小值是25． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 22. 在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： （1）如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； （2）如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 【答案】（1）AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析 （2）∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可． （2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可． 【小问1详解】 如图，连接AC， 由勾股定理得，， ， ， ∴，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， 综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC； 【小问2详解】 ∠α+∠β＝45°． 证明如下：如图， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α+∠β＝45°． 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 23. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________； （2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）． 【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可； ②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2 S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b） ∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b） ∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2 ∴c2＝a2＋b2． （2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又， 根据翻折可知： BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a， OD＝BD－OB＝5－3＝2． 在Rt△COD中，根据勾股定理，得：， 即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝． ∴C（0，），D（2，0）． 答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）． ②如图： 当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM， 设CM＝DM＝x， 在中，根据勾股定理得：， 则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝， ∴2－x＝， ∴M（，0）； 当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝， ∴M（，0）； 当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD， ∵， ∴OM＝OD＝2， ∴M（－2，0）； 当DC＝DM，＝4－＝， ∴OM＝－2＝， ∴M（－，0）． 答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$