5.5 一元一次方程的应用（二）（12大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.5 一元一次方程的应用（二） 知识点 一元一次方程的应用 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 行程问题…… 相遇问题 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 1．（2023•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式． 【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为： 1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键． 2．（2024•路南区开学）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时． A．60 B．70 C．75 D．85 【分析】设乙车的速度是x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合两车经过8小时相遇，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设乙车的速度是x千米/时， 根据题意得：50×8+8x＝960， 解得：x＝70， ∴乙车的速度是70千米/时． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了 　 　米． 【分析】根据甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速度即为小狗跑的路程． 【解答】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒． 2x+3x＝400， 解得x＝80， ∴小狗跑了80﹣6＝74秒， ∴小狗跑的路程为74×6＝444米， 故答案为444． 【点评】考查一元一次方程的应用，得到小狗跑步的时间是解决本题的突破点． 4．（2023秋•青云谱区期末）甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以每小时50千米的速度从甲站出发开往乙站．1小时后，一辆快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．那么快车开出后几小时与慢车相遇？ 【分析】设快车开出x小时后与慢车相遇，等量关系为：慢车（x+1）小时的路程+快车x小时的路程＝275，把相关数值代入求值即可． 【解答】解：设快车开出后x小时与慢车相遇． 由题意得：50（1+x）+75x＝275， 解得：． 答：快车开出后小时与慢车相遇． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，得到相遇问题中的路程的等量关系是解决本题的关键． 5．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后2h两人相遇．相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚回到A地． （1）两人的行进速度分别是多少？ （2）相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【分析】此题为相遇问题，可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解． 【解答】解：（1）设小刚的速度为x km/h， 则相遇时小刚走了2x km，小强走了（2x﹣24）km， 由题意得，2x﹣24＝0.5x， 解得：x＝16， 则小强的速度为：（2×16﹣24）÷2＝4（km/h）， 答：两人的行进速度分别是16km/h，4km/h； （2）2×16÷4＝8（h）． 答：相遇后经过8h小强到达A地． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 6．（2023秋•泸县校级期末）甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题． （1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间； （2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程． 【分析】（1）根据快车与慢车相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程＝900，列出方程，求解即可解答； （2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程＝900﹣315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程＝900+315；③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90＝630＞315，此种情况不存在． 【解答】解：（1）由题意得， 120（x+0.5）+90x＝900， 解得：x＝4， ∴慢车行驶的时间为4小时； （2）①两车相遇前相距315千米， 120（x+0.5）+90x＝900﹣315， 解得：x＝2.5， 此时快车行驶的路程：120×（2.5+0.5）＝360（千米）； ②两车相遇后相距315千米， 120（x+0.5）+90x＝900+315， 解得：x＝5.5， 此时快车行驶的路程：120×（5.5+0.5）＝720（千米）； ③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90＝630＞315，此种情况不存在； ∴当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目意思，根据题目所给条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 7．（2023秋•锡山区校级月考）甲、乙两人分别从相距100km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲出发2h后到达B地立即按原路返回，返回时速度提高了30km/h，回到A地后在A地休息等乙，乙在出发5h后到达A地． （友情提醒：可以借助用线段图分析题目） （1）乙的速度是 　 　km/h，甲从A地到B地的速度是 　 　km/h，甲在出发 　 　小时到达A地． （2）出发多长时间两人首次相遇？ （3）出发多长时间时，两人相距30千米？ 【分析】（1）利用路程除以速度得出甲、乙的速度即可；利用路程除以甲返回时速度求得返回时间再加上从A地到B地的时间即可； （2）设出发x小时两人相遇，根据两人所行路程和为100km列出方程解答即可； （3）设出发a小时，两人相距30千米，根据相遇前、相遇后、甲返回A地追上乙前、甲返回A地追上乙后、当甲到达A地后，乙行驶了65km五种情况列出方程解答即可． 【解答】解：（1）乙的速度是100÷5＝20km/h，甲从A地到B地的速度是100÷2＝50 km/h，甲在出发2+100÷（50+30）＝3.25小时到达A地； （2）设出发x小时两人相遇，由题意得 50x+20x＝100 解得：x， 答：出发小时两人相遇． （3）设出发a小时，两人相距30千米，由题意得 50a+20a＝100﹣30或50a+20a＝100+30或20a﹣（50+30）（a﹣2）＝30或（50+30）（a﹣2）﹣20a＝30或20（a﹣65÷20）＝100﹣65﹣30， 解得：a＝1或a或a或a或a＝3.5 答：出发1或或或或3.5小时，两人相距30千米． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键，注意分类讨论思想的渗透． 题型二 行程问题…… 追击问题 解题技巧提炼 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．小明跟小亮在400米的环形跑道上进行长跑训练，已知小明的速度为6米/秒，小亮的速度为5米/秒，他们俩同时同地同向出发，经过多少秒后小明第一次追上小亮，则可列方程为（　　） A．6x+5x＝400 B．6x﹣5x＝400 C．6x＝400﹣5x D．6x＝5x﹣400 【分析】设经过x秒后小明第一次追上小亮，小明第一次追上小亮，则小明多走400米，据此列出一元一次方程． 【解答】解：设经过x秒后小明第一次追上小亮， 根据题意可知，小明第一次追上小亮，则小明多走400米， 即6x﹣5x＝400， 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解题的关键是掌握两人第一次相遇，则小明多走400米，此题难度不大． 2．（2023秋•馆陶县期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用x h才能追上队伍，那么可列出的方程是（　　） A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（x） C．12x＝4x D．4x＝12（x） 【分析】由小王比队伍晚出发h，可得出小王追上队伍时队伍出发了（x）h，利用路程＝速度×时间，结合小王追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵小王比队伍晚出发h（20min），且小王要用x h才能追上队伍， ∴小王追上队伍时，队伍出发了（x）h． 依题意得：12x＝4（x）． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023春•泉港区期末）我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驾马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？ 【分析】设良马x天追上劣马，根据题意列出方程可求解． 【解答】解：设良马x天追上劣马， 由题意可得：240x＝150（x+12）， 8x＝5（x+12）， ∴x＝20， 答：良马20天追上劣马． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意解题的关键． 4．（2023秋•莘县校级月考）阳光中学七年级学生从学校出发去郊游，带队的老师和学生们以4km/h的速度步行前进，20min后，小明骑自行车前去追赶．已知小明骑自行车速度比队伍步行速度多8km/h，那么小明要用多少时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？ 【分析】设小明要用x h才能追上队伍，则队伍行走的时间是（x）h．根据他们所行驶的路程相等列出方程并求得x的值；然后根据路程＝时间×速度计算队伍行走的路程． 【解答】解：设小明要用x h才能追上队伍，则队伍行走的时间是（x）h， 根据题意，得4（x）＝（4+8）x， 解得x． 所以4（x）＝4（）＝2． 答：小明要用小时才能追上队伍，此时队伍已行走了2km． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 【分析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解； （2）根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可． 【解答】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了（x+5）分钟， 由题意得：80（x+5）＝180x， 解得：x＝4， ∵180×4＝720（米）＜1000米， 所以，小明爸爸追上小明用了4分钟． （2）小明此时已经行走的路程为：180×4＝720米， ∴追上小明时，距离学校的距离为：1000﹣720＝280米． 【点评】本题考查一元一次方程的应用问题，关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解． 6．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程＝速度×时间，结合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时， 依题意得：40x＝15（x+1）， 解得：x． 答：乙出发小时后能追上甲． （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意得：1， 解得：y＝10． 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒． （1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？ （2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由） 【分析】（1）设小亮经过x秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程即可求解； （2）设小亮经过y秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程可求解y值，即可求解追上时两人跑过的路程，进而可求解． 【解答】解：（1）设小亮经过x秒追上小明， 依题意得6x+6×3＝7.5x， 解得x＝12， 答：若小明先跑3秒，小亮经过12秒追上小明； （2）若小明先跑4秒，设小亮经过y秒追上小明， 则6y+6×4＝7.5y， 解得y＝16（秒）， ∴7.5y＝7.5×16＝120m＞100m， 故小亮不能追上小明． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 题型三 行程问题…… 航行问题 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意，列出方程，即可求解． 【解答】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意得： ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（2023秋•南岗区校级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是 　 　km/h． 【分析】设船在静水中的平均速度是x km/h，利用路程＝速度×时间，结合甲、乙码头间的路程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设船在静水中的平均速度是x km/h， 根据题意得：2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得：x＝27， ∴船在静水中的平均速度是27km/h． 故答案为：27． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024春•阳新县期末）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 　 千米/小时． 【分析】设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，利用顺流的速度﹣轮船在静水中的速度＝轮船在静水中的速度﹣逆流的速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该轮船在静水中的速度． 【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/小时， 依题意得：x＝x， 解得：x＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•金乡县月考）一架飞机在A，B两个海岛之间飞行，无风时每小时飞行2100千米，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用了1.5小时，逆风飞行用了2小时，则这次飞行的风速为 　 　． 【分析】设这次飞行的风速为每小时x千米，根据等量关系：两个城市之间的距离不变，即逆风速度×逆风时间＝顺风速度×顺风时间，列出方程解方程即可． 【解答】解：设这次飞行的风速为每小时x千米，根据题意得： （2100+x）×1.5＝（2100﹣x）×2， 解得：x＝300． 答：这次飞行的风速为300千米/时． 故答案为：300千米/时． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题需注意：逆风速度＝无风速度﹣风速；顺风速度＝无风速度+风速． 5．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，水流速度为2km/h，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用2h，则两地之间的路程为多少km？ 【分析】直接利用在某两地之间顺流航行比逆流航行少用2h，得出等式求出答案． 【解答】解：设两地之间的路程为x km，根据题意可得： 2， 解得：x＝448， 答：两地之间的路程为448km． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 6．一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了2.8小时：从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 【分析】设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，逆风航行时的平均速度为（x-24）千米/时，根据A，B两个城市之间的航行长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出飞机在无风航行时的平均速度． 【解答】解：设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，逆风航行时的平均速度为（x-24）千米/时， 依题意得：2.8（x+24）=3（x-24）， 解得：x=696． 答：飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距离． 【分析】根据“一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中”可得顺水速度为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时），设甲、乙两码头之间的距离为x千米，根据顺水从甲到乙的时间+逆水从乙到甲的时间＝12.5列出方程，求解即可． 【解答】解：∵一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中， ∴顺水速度为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时）， 设甲、乙两码头之间的距离为x千米， 根据题意得：， 解得：x＝120， ∴甲、乙两码头之间的距离为120千米． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找出题目中的等量关系列出方程是解题关键． 题型四 行程问题…… 环形跑道问题 解题技巧提炼 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. 1．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的，且甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（　　） A．120min B．60 min C．80min D．90min 【分析】设两人第一次相遇是在出发后xmin，利用二人的速度之差×第一次相遇所需时间＝二者之间的距离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设两人第一次相遇是在出发后xmin， 依题意得：（8080）x＝4000﹣2400， 解得：x＝60． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（　　） A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上 【分析】首先求得乙追上甲所用的时间，然后求得甲所走的路程，从而确定被追上的位置． 【解答】解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71﹣65）x＝60， 解得：x＝10， 故甲走的路程为650米， ∵650÷90＝7…20， ∴甲此时在AB边上．或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米， 710÷90＝7...80，也说明此时乙在AB边上， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求得乙追上甲所用的时间，难度不大． 3．（2023秋•市中区期末）如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动．它们第2022次相遇在（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，根据正方形周长＝二者速度之和×时间，可求出两只电子蚂蚁相遇一次的时间，再结合电子蚂蚁Q的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、第4次、第5次……相遇点，根据相遇点的变化规律可得出结论． 【解答】解：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次， 根据题意得：（）x＝1×4， 解得：x＝2． ∵电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动， 2秒后它到达B点，即第一次它们相遇在B点， ∴第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，…． 又∵2022÷4＝505……2， ∴第2022次相遇和第2次相遇地点相同，即第2022次相遇在点C． 故选：C． 【点评】本题考查了相遇问题，计算出相遇时间，得到相遇位置的规律，是解决本题的关键． 4．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是 　 　米． 【分析】此题利用环形跑道的相遇问题的数量关系：相遇时间×速度和＝环形跑道的长度×圈数（相遇次数），设乙每秒行x米，甲每秒行（x+0.1）米，列出方程解答即可． 【解答】解：设乙每秒行x米，则甲每秒行（x+0.1）米，根据题意列方程得， 8×60×（x+x+0.1）＝400×3， 解得x＝1.2， 则在8分钟内，乙共行：1.2×60×8＝576（米）， 去掉乙走过了一整圈400米，还余176米，由于不足200米，是相遇地点沿跑道距A点的最短距离． 故填176． 【点评】此题考查相遇问题的数量关系：相遇时间×速度和＝总路程，解答时抓住环形跑道的特点，灵活运用数量关系． 5．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 　 　分钟后乙首次追上甲． 【分析】设经过x分钟后乙首次追上甲，根据两人所行的路程差为100米，列出方程解答即可． 【解答】解：设经过x分钟后乙首次追上甲， 由题意得135x﹣115x＝100， 解得：x＝5． 所以经过5分钟后乙首次追上甲． 故答案为：5． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 6．（2023秋•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． （1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【分析】（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据两人行走的总路程为（400﹣8）或8米，可得出方程，解出即可； （2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走（400﹣8）米，可得出方程，解出即可． 【解答】解：（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得： 8x+6x＝400﹣8， 解得：x＝28； 或：8x+6x＝8， 解得：x（不符合现实，舍去）， 答：经过28秒，两人首次相遇； （2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得： 8y﹣6y＝400﹣8， 解得：y＝196． 答：经过196秒后两人首次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题，解答本题的关键是仔细审题，理解每种情况下两人所走路程之间的关系． 7．周末小明和爸爸在300m的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： （1）请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； （2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距100m？ 【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，根据爸爸2分钟才能第一次追上小明，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸在跑道上相距100米，分爸爸又比小明多骑了100米及爸爸又比小明多骑了（300﹣100）米两种情况考虑，利用路程＝速度×时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟， 依题意得：2（2x﹣x）＝300， 解得：x＝150． 答：小明的骑行速度为150米/分钟． （2）设在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸在跑道上相距100米， ①爸爸又比小明多骑了100米， 依题意得：2×150y﹣150y＝100， 解得：y； ②爸爸又比小明多骑了（300﹣100）米， 依题意得：2×150y﹣150y＝300﹣100， 解得：y． 答：在第二次相遇前，再经过分钟或分钟，小明和爸爸在跑道上相距100米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型五 火车过桥（隧道）问题 解题技巧提炼 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 【分析】设列车的速度为x m/s，由题意：一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设列车的速度为x m/s， 由题意得：64x＝1000+280， 解得：x＝20， 即列车的速度为20m/s， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（　　）米． A． B．133 C．200 D．400 【分析】设火车的长为x米，根据经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，灯光照在火车上的时间是10秒和火车的速度不变，列出方程求解即可． 【解答】解：设火车的长为x米，由题意得： ， 解得：x＝200． 答：这列火车的长度是200米． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（2024春•黔江区期末）一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【分析】设这列火车的长度为x m，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这列火车的长度为x m， 依题意得：， 解得x＝160． 答：这列火车的长度为160m， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 4．（2023秋•怀宁县期末）安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A．400m B．300m C．200m D．100m 【分析】设这列动车长为x米，根据动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒得：，即可解得答案． 【解答】解：设这列动车长为x米， 根据题意得：， 解得x＝200， ∴这列动车长为200米； 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程解决问题． 5．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 【分析】设这列火车的长度为x m，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这列火车的长度为x m， 根据题意得：， 解得：x＝248， ∴这列火车的长度为248m． 故答案为：248． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度． 小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成： 设这列火车的长度是x米，那么 （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是　 米，这段时间内火车的平均速度是　 米/秒； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是　 　米，这段时间内火车的平均速度 是　 　米/秒； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是　 ； （4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解） 【分析】（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm， 这段时间内火车的平均速度m/s． 故答案为：x，； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m， 这段时间内火车的平均速度为m/s． 故答案为：（x+300）；； （3）速度没有发生变化，即火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等． 故答案为：相等； （4）根据题意得：， 解得：x＝300． 答：这列火车的长度300m． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题注意理解“完全通过”的含义，完全通过：火车所走的路程＝隧道长度+火车长度． 题型六 古代数学问题 解题技巧提炼 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． 1．（2022秋•桂平市期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（　　） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 【分析】设有x个人，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设有x个人， 根据题意得，8x﹣3＝7x+4， 解得x＝7， 7×8﹣3＝53（元）， 故选：D． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 2．（2024春•巴南区校级期中）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（　　） A．16辆 B．15辆 C．14辆 D．13辆 【分析】人数是定值，列一元一次方程可解此题． 【解答】解：设有x辆车，则有3（x﹣2）人， 根据题意得：2x+9＝3（x﹣2）， 解的：x＝15， ∴有15辆车， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键． 3．（2023秋•泊头市期末）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（　　） A．升 B．升 C．升 D．升 【分析】设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设壶中原来有酒x升， 根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]﹣5＝0， 解得：x， ∴壶中原来有酒升． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2024秋•蓝田县月考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4 【分析】根据“三阶幻方”的知识分别列出关于x、y的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意，可得x+0+（﹣5）＝1+（﹣2）+（﹣5）， 解得x＝﹣1， ∴y+（﹣2）＝1+（﹣1）， 解得y＝2， ∴x+y＝﹣1+2＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定x、y的值是解题关键． 5．（2023秋•双峰县期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　 步．（一亩＝240平方步） 【分析】设此矩形田的宽为x步，根据题意列出方程即可求出答案． 【解答】解：设此矩形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x⋅2x＝240×7.5， 解得x＝30（负值舍去）， 则长为60步， 故答案为：60． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 6．（2023春•泉港区期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？ 【分析】（法一）：设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （法二）：设共有x辆车，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（法一）：设共有x人，依题意得： ， 2x+12＝3（x﹣9）， 解得x＝39． 答：共有39人． （法二）：设共有x辆车，依题意得： 3（x﹣2）＝2x+9， 解得x＝15， 2x+9＝39． 答：共有39人． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键． 题型七 调配问题 解题技巧提炼 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． 1．（2023秋•洪山区期末）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（　　） A．272+x（196﹣x） B．（272﹣x）＝196﹣x C．（272+x）＝196﹣x D．272+x＝196﹣x 【分析】等量关系为：乙队调动后的人数甲队调动后的人数，把相关数值代入求解即可． 【解答】解：设应该从乙队调x人到甲队， 196﹣x（272+x）， 故选：C． 【点评】考查了一元一次方程的应用，得到调动后的两队的人数的等量关系是解决本题的关键． 2．（2023秋•上思县月考）甲组有31人，乙组有20人，现又调来18人，要使甲组人数是乙组人数的2倍，问应往甲组分配多少人？若设应往甲组分配x人，则x＝　 　． 【分析】设应往甲组分x人，则往乙组分（18﹣x）人，利用使甲组人数是乙组人数的2倍得出方程即可． 【解答】解：设应往甲组分x人，则往乙组分（18﹣x）人，根据题意得出： 31+x＝2（20+18﹣x）， 解得：x＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 3．（2023春•朝阳区校级月考）某厂一车间有45人，二车间有30人，现因工作需要，要求一车间人数是二车间人数的2倍，则需从二车间调多少人到一车间？ 【分析】设需从二车间调x人到一车间，一车间人数是（45+x）人，二车间人数是（30﹣x）人，根据一车间人数是二车间人数的2倍，列出方程即可． 【解答】解：设需从二车间调x人到一车间， 根据题意，得45+x＝2（30﹣x）， 解得x＝5， 答：需从二车间调5人到一车间． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 4．（2023春•灌云县校级月考）甲食堂有面粉340千克，乙食堂有面粉200千克，现需从乙食堂中调一部分面粉到甲食堂，使甲食堂的面粉恰好是乙食堂面粉的2倍，问需从乙食堂调多少面粉到甲食堂？ 【分析】根据题意找出等量关系：调用后，甲面粉＝2×乙面粉．设需从乙食堂调x千克面粉到甲食堂，调用后甲面粉量（340+x）千克，调用后乙面粉量为（200﹣x）千克，列一元一次方程求解即可． 【解答】解：设需从乙食堂调x千克面粉到甲食堂． 根据题意可列方程340+x＝2（200﹣x）， 解得x＝20． 答：需从乙食堂调20千克面粉到甲食堂． 【点评】本题考查了一元一次方程方程的应用，根据题意找准相等关系准确列出方程是关键． 5．某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 【分析】本题的关键描述语是：调学生后，乙组人数是甲组的2倍．那么，等量关系为：乙组人数+调来学生数＝2×（甲组人数﹣调走学生数）． 【解答】解：设从甲组抽调了x名学生去乙组， 则：25+x＝2（17﹣x）， 解得：x＝3． 答：需抽调3名学生． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题需注意甲组调走的学生应加到乙组学生数上． 6．（2023春•闵行区期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2：1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 【分析】设乙队抽调了x人，则甲队抽调了2x人，根据甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍列出方程，解方程即可． 【解答】解：设乙队抽调了x人，则甲队抽调了2x人， 根据题意得，400﹣2x＝4（150﹣x）， 解得，x＝100． 则2x＝200． 答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据人数变化得出正确等量关系是解题关键． 题型八 商品销售问题 解题技巧提炼 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= ×100% = ×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．（2024•船山区校级开学）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　） A．50×30%x﹣50＝8.5 B．50（1+30%）x﹣50＝8.5 C． D．50（1+30%）x%﹣50＝8.5 【分析】根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：由题意可得， 50（1+30%）50＝8.5， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程． 2．（2023秋•岳阳县期末）我县某一大型超市为庆祝开业周年庆典，所有商品都打折销售，该超市某柜台将单价标为130元的书包按8折出售仍可获得30%利润，该书包每个的进价是（　　） A．65元 B．80元 C．100元 D．104元 【分析】设每个书包的进价是x元，根据售价﹣进价＝利润，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设书包每个的进价是x元，根据题意得 130×0.8﹣x＝30%x， 解得x＝80． 答：每个书包的进价是80元． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（2023秋•永川区期末）文具店老板以每个144元的价格卖出两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则卖这两个计算器总的是（　　） A．不赚不赔 B．亏12元 C．盈利8元 D．亏损8元 【分析】可分别设两种计算器的进价，根据赔赚可列出方程求得，再比较两计算器的进价和与售价和之间的差，即可得老板的赔赚情况． 【解答】解：设赚了20%的进价为x元，亏了20%的一个进价为y元，由题意得： x（1+20%）＝144， y（1﹣20%）＝144， 解得：x＝120，y＝180， 则两个计算器的进价和＝120+180＝300（元）， 两个计算器的售价和＝144+144＝288（元）， 则300﹣288＝12（元）， 即在这次交易中亏了12元． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，分清两个单位“1”的不同，找出合适的等量关系列出方程解决问题． 4．（2023秋•港南区期末）某品牌西装进价为800元，售价为1200元，后由于该西装滞销积压，商家准备打折出售，若保持5%的利润率，则应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【分析】设应打x折，根据西装进价为800元，售价为1200元，准备打折出售，若保持5%的利润率，可列方程求解． 【解答】解：设应打x折， 1200800＝800×5% x＝7 应该打7折． 故选：B． 【点评】本题考查理解题意的能力，关键根据利润＝售价﹣进价，可列方程求解． 5．（2023秋•济南期末）一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．则这件夹克衫的成本价是 　 元． 【分析】这件夹克衫的成本价是x元，先表示出打折后的标价为元，再根据利润＝标价﹣成本价列出方程求解即可． 【解答】解：设这件夹克衫的成本价是x元， 由题意得， 解得x＝200， ∴这件夹克衫的成本价是200元， 故答案为：200． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 6．（2023秋•肇源县期中）某商场推出新年大促销活动，其中标价为1800元的某种商品打9折销售，该种商品的利润率为8%． （1）求该商品的成本价是多少； （2）在这次促销活动中，商场销售了100件这种商品，则盈利多少元？ 【分析】（1）设该商品的成本价为x元，根据该种商品的利润率为8%列出方程并解答； （2）根据单件利润×数量＝总利润直接计算这次活动中的总盈利． 【解答】解：（1）设该商品的成本价为x元， 依题意得：（1+8%）x＝1800×0.9， 解得x＝1500， 答：设该商品的成本价为1500元； （2）由题意：（1800×0.9﹣1500）×100 ＝（1620﹣1500）×100 ＝12000（元）， 答：盈利12000元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，列出方程并解答． 7．（2023秋•金寨县期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好为2600元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利380元列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只， 由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600， 解得：x＝60，100﹣60＝40（只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只， 由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380， 解得：y＝10， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 8．（2023秋•船营区校级期中）今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 （1）求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示）； （2）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示）； （3）当销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为5120元时，求x的值． 【分析】（1）由装运甲种土特产的车有x辆，得出装运乙种土特产的车有（10﹣x）辆，再结合表格内的数据，可表示出10辆汽车装运土特产的数量． （2）用装运甲、乙土特产的量分别乘以它们每吨的利润即可． （3）由总利润的表达式，再根据“总利润为5120元”列方程可解决问题． 【解答】解：（1）因为装运甲种土特产的汽车有x辆， 则装运乙种土特产的车有（10﹣x）辆， 所以装运的总量为：4x+3（10﹣x）＝x+30． 故这10辆汽车共装运土特产的数量为（x+30）吨． （2）令总利润为w， 则w＝140×4x+160×3（10﹣x）＝80x+4800． 故销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（80x+4800）元． （3）由题意得， 80x+4800＝5120， 解得x＝4． 故x的值为4． 【点评】本题考查根据题目所给条件列出代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 题型九 数字问题 解题技巧提炼 1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法. 2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字. 1．（2023秋•蓝田县期末）一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（　　） A．54 B．72 C．45 D．62 【分析】设个位数字为x，则十位数字是（3x+1）．根据“个位上的数与十位上的数的和等于9”列出方程并解答． 【解答】解：设个位数字为x，则十位数字是（3x+1）， 依题意得：x+（3x+1）＝9， 解得x＝2， 则3x+1＝3×2+1＝7， 即所求的两位数是72． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出十位和个位数字，进而得出等式是解题关键． 2．（2023秋•宿豫区期末）一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　 　． 【分析】设十位上的数字为a，根据交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，列出一元一次方程，解之即可得结论． 【解答】解：设十位上的数字为a，则这个两位数是10a+3， 根据题意得：10a+3﹣（30+a）＝45， 解得：a＝8， ∴10a+3＝80+3＝83， 即这个两位数是83， 故答案为：83． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•康县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为 　 　． 【分析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入10x+x+3中，即可求出结论． 【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3）， 根据题意得：3（10x+x+3）﹣[10（x+3）+x]＝1， 解得：x＝1， ∴10x+x+3＝10×1+1+3＝14， ∴原两位数为14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•潮安区期末）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 　 　． 【分析】根据题意分别表示出交换前和交换后的两位数，再根据题意列方程进而得出答案． 【解答】解：设原两位数十位上的数字为x，那么个位数字为：12﹣x， 由题意得，[10x+（12﹣x）]＝10（12﹣x）+x， 解得x＝8， 12﹣x＝4， 所以原来的两位数是84， 故答案为：84． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，能够正确表示出交换前和交换后的两位数是解题关键． 5．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数． 【分析】设原来十位上的数字为x，则个位数字为2x．利用新数＝原数+36，列方程求解即可． 【解答】解：设原来十位上的数字为x， 依题意得：10×2x+x＝10x+2x+36， 解得x＝4， 则2x＝8． 答：原来的两位数是48． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键． 6．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍大1，若交换个位与十位上的数字的位置，则所得新两位数比原两位数小45，求原来的两位数． 【分析】设个位上的数字是x，则十位上的数字是（3x+1 ）；（10×十位数字+个位数字）﹣45＝10×个位数字+十位数字．根据这个等量关系可列出方程． 【解答】解：设个位上的数字是x，则十位上的数字是（3x+1）， 依题意得：10（3x+1）+x﹣45＝10x+3x+1， 解得x＝2， 则3x+1＝7． 所以原来的两位数是72． 答：原来的两位数是72． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程．本题涉及一个常识问题：两位数＝10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数． 7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 【分析】首先设十位数字为x，则个位数字为（x+1），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+（x+1），这个两位数是10x+（x+1），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，可得方程x+（x+1）＝[10x+（x+1）]，解方程可得x的值，进而得到答案． 【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+1），由题意得： x+（x+1）＝[10x+（x+1）]， 解得x＝4， 故十位数字为4，个位数字为4，这个两位数字是45， 答：这个两位数是45． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 题型十 年龄问题 解题技巧提炼 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的. 1．（2023春•朝阳区期中）今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】根据x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍列方程，可解得答案． 【解答】解：根据题意得：36+x＝3（8+x）， 解得x＝6， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 2．（2023秋•佳木斯期末）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（　　）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． A．5年后 B．9年后 C．12年后 D．15年后 【分析】设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，根据父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍， 根据题意得：39+x＝2（12+x）， 解得：x＝15． 答：15年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•宝安区期末）小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据“小明的年龄是他祖父年龄的“列方程即可解得答案． 【解答】解：根据题意得：13+x（76+x）， 解得x＝8， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． 4．（2023秋•香坊区校级月考）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的，则女儿现在的年龄是（　　）岁． A．24 B．26 C．28 D．30 【分析】设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，根据父女的年龄差不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁， 根据题意得：91﹣x﹣x＝2x（91﹣x）， 解得：x＝28． 答：女儿现在的年龄是28岁． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2024•万全区一模）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（　　） A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁 【分析】设小亮今年的年龄为x岁，根据题意列出方程并求解，即可获得答案． 【解答】解：设小亮今年的年龄为x岁， 则42﹣x+5＝3（x+5）， 解得x＝8， 即小亮今年的年龄为8岁． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 6．（2023春•宜阳县期末）张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过 　 　年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍． 【分析】设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，根据经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，则张老师的年龄为（45+x）岁，学生小明的年龄是（13+x）岁， 根据题意得：（45+x）＝3（13+x）， 解得：x＝3， 即经过3年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023春•八公山区期末）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 【分析】设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，根据4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁， 根据题意得：x+4＝2（x﹣12+4）， 解得：x＝20． 答：甲今年的年龄是20岁． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十一 图表信息问题 解题技巧提炼 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题． 1．（2023秋•武进区期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+2，进而可得出三个数之和为3x﹣5，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数，即可得到答案． 【解答】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+2， ∴三个数之和为x+x﹣7+x+2＝3x﹣5． 根据题意得：3x﹣5＝1002、3x﹣5＝1004、3x﹣5＝1006、3x﹣5＝1008， 解得：x＝335.7（舍去），x＝336.3（舍去），x＝337，x＝337.6（舍去）， ∴3×337﹣5＝1006． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024秋•北京期中）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（　　） A．40 B．88 C．107 D．110 【分析】设中间一个数为x，则上方两个数为x﹣8、x﹣6，下方两个数为x+6、x+8，得出五个数的和为5x，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【解答】解：设中间一个数为x，则上方两个数为x﹣8、x﹣6，下方两个数为x+6、x+8， 所以这五个数的和为x+x﹣8+x﹣6+x+6+x+8＝5x， 若5x＝40，解得x＝8，此时左上数字为空，不符合题意； 若5x＝88，解得x＝17.6，不是整数，不符合题意； 若5x＝107，解得x＝21.4，不是整数，不符合题意； 若5x＝110，解得x＝22，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 3．（2023秋•青岛期末）如图的数阵是由77个偶数排成：小颖用一平行四边形框出四个数（如图中小例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的个是（　　） A．100 B．102 C．104 D．106 【分析】可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差16，左右相差2，即可表示出四个数；根据“四个数的和是436”列出方程并解答． 【解答】解：设最小的一个数是x，笑容其他三个数为：x+2，x+16，x+18， 由题意得，x+（x+2）+（x+16）+（x+18）＝436， 解得：x＝100， 即：这四个数中最小的一个是100． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出四个数的关系，设出其中一个，应能表示出其他三个． 4．（2023秋•夏邑县期末）在2022年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（　　） A．28 B．40 C．50 D．58 【分析】设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），进而可得出四个数之和A＝4x+14，再分别代入A＝28，A＝34，A＝58，A＝82求出x的值，对照月历表后即可得出结论． 【解答】解：设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7）， ∴四个数的和A＝x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝4x+14． 当A＝28时，x， ∵x为整数， ∴选项A不符合题意； 当A＝40时，x＝6.5， ∵x为整数， ∴选项B不符合题意； 当A＝50时，x＝9， ∵x＝9在第3列开始位置，无法框出“S”型框，选项C不合题意； 当A＝58时，x＝11， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，用含x的代数式表示出四个数之和是解题的关键． 5．（2023秋•君山区期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和28个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由． 【分析】（1）等量关系为：2×暖瓶单价+3×（38﹣暖瓶单价）＝84； （2）甲商场付费：暖瓶和水杯总价之和×90%；乙商场付费：4×暖瓶单价+（15﹣4）×水杯单价． 【解答】解：（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（38﹣x）元， 根据题意得：2x+3（38﹣x）＝84． 解得：x＝30． 一个水杯＝38﹣30＝8（元）． 故一个暖瓶30元，一个水杯8元； （2）若到甲商场购买，则所需的钱数为：（4×30+28×8）×90%＝309.6元． 若到乙商场购买，则所需的钱数为：4×30+（28﹣4）×8＝312元． 因为309.6＜312． 所以到甲家商场购买更合算． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出所求量的合适的等量关系．需注意乙商场有4个水杯不用付费． 6．（2023秋•长寿区期末）某公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元． （1）两班各有多少学生？ （2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ （3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？（直接回答） 【分析】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论； （3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生， 根据题意得：13x+11（104﹣x）＝1240， 解得：x＝48， ∴104﹣x＝56． 答：七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生； （2）1240﹣9×104＝304（元）． 答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱； （3）51×11＝561（元），48×13＝624（元）， ∴561＜624， ∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用列出关于x的一元一次方程；（2）根据总价＝单价×数量求出购买104张门票的总钱数；（3）根据总价＝单价×数量分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数． 7．如图是2024年2月的日历表． （1）在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　． （2）在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　． （3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为113吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）将五个数相加，即可求出结论； （2）若最小的数字为x，则另外四个数分别为x+2，x+7，x+9，x+15，将五个数相加，即可用含x的代数式表示出U形框框住的五个数字之和； （3）假设框住的五个数字之和能为113，设最小的数字为y，根据五个数字之和为113，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，由2月16号为周五，不符合题意，可得出假设不成立，进而可得出框住的五个数字之和不能为113． 【解答】解：（1）根据题意得：1+3+8+10+16＝38． 故答案为：38； （2）若最小的数字为x，则另外四个数分别为x+2，x+7，x+9，x+15， ∴U形框框住的五个数字之和为x+x+2+x+7+x+9+x+15＝5x+33． 故答案为：5x+33； （3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为113，理由如下： 假设框住的五个数字之和能为113，设最小的数字为y， 根据题意得：5y+33＝113， 解得：y＝16， ∵2月16号为周五，不符合题意， ∴假设不成立，即在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为113． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十二 方案决策问题 解题技巧提炼 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1．（2023秋•新兴县期末）某市要印刷高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是： 按每份定价1.5元的8折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元价格不变，而制版费900元6折优惠．回答下列问题： （1）印刷多少份时，两厂所需费用相等？ （2）如果要印刷3000份录取通知书，那么应当选择哪个厂？需要多少费用？ 【分析】（1）分别表示出甲、乙两厂的费用进而得出答案； （2）直接利用x＝3000代入（1）中关系式进而得出答案． 【解答】解：（1）设印刷x份，此时甲厂所需费用是：1.5×0.8x+900， 此时乙厂所需费用是：1.5x+900×0.6， 当1.5×0.8x+900＝1.5x+900×0.6， 解得：x＝1200， 答：印刷1200份时，两厂所需费用相等； （2）当x＝3000时， 甲厂所需费用是：1.5×0.8x+900＝4500（元）， 此时乙厂所需费用是：1.5x+900×0.6＝5040（元）， 故应当选择甲厂，需要费用是4500元． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两厂所需费用是解题关键． 2．（2023秋•怀集县期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为a（a＞40），如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 【分析】（1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有x人，列方程20（x﹣7）×0.9＝702，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，由题意得20（a﹣7）×0.9＝20a×0.8，得a＝63，当班级人数为63人时，两种方案费用相等，分a＞63和a＜63再讨论即可． 【解答】解：（1）44×20×0.8＝704（元）， 答：1班购票需要704元； （2）设2班有x人，由题意得20（x﹣7）×0.9＝702， 解得x＝46， 答：2班有46人； （3）选择方案二购票更省钱，理由如下： 设3班有a人，由题意得20（a﹣7）×0.9＝20a×0.8， 解得a＝63， ∴当班级人数为63人时，两种方案费用相等， 当a＞63时，按方案一需要花费：20×0.8a＝16a（元）， 按方案二需要花费：（a﹣7）×20×0.9＝18a﹣126（元）， 方案一省钱； 当a＜63时，方案二省钱． 【点评】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． 3．（2023秋•夏邑县期末）在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用300元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用600元． 设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元． （1）分别用x表示M，N； （2）若交费时间为1年，哪种方案更省钱？并说明理由； （3）交费时间多长时，两种方案费用相等？ 【分析】（1）方案一，根据每月垃圾处理费用300元，x个月则需要垃圾处理费300x元，再加上买垃圾桶的费用即可得出M关于x的表达式，同理可得N关于x的表达式； （2）1年有12个月，将x＝12代入M，N的表达式，再比较M，N的值大小即可得出答案； （3）根据两种方案费用相同，得到M＝N，由此列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）依题意得M＝300x+4000，N＝600x+1000． （2）1年＝12个月， 当x＝12时，M＝300×12+4000＝7600， 当x＝12时，N＝600×12+1000＝8200， ∵7600＜8200， ∴若交费时间为1年，选择方案一更合适． （3）依题意，得M＝N， 即300x+4000＝600x+1000， 解得x＝10． 故交费时间为10个月时，两种方案费用相同． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题目中的等量关系是解题关键． 4．（2023秋•盘山县期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 【分析】方案一：直接用算术方法计算：粗加工的利润×吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，知精加工了15×6＝90吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得x的值，然后可求得获得的利润． 【解答】解：方案一：∵4500×140＝630000（元）， ∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元 方案二：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）， ∴将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元； 方案三：设精加工x天，则粗加工（15﹣x）天． 根据题意得：6x+16（15﹣x）＝140， 解得：x＝10， 所以精加工的吨数＝6×10＝60，16×5＝80吨． 这时利润为：80×4500+60×7500＝810000（元） 答：该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元． 【点评】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键． 5．（2023秋•青山湖区校级期末）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【分析】（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）元，根据租金费用列出方程解答即可； （2）先求得学校七年级老师的人数，再分别计算方案一和二的费用，比较可得答案． 【解答】解：（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）元， 2（x+80）+5x＝1140， 解得：x＝140， ∴x+80＝220， 答：25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元； （2）设这个学校七年级老师共有y名，则 解得：y＝135 方案一的费用： （135+15）÷25×140＝840（元）， 方案二的费用： 135÷45×220＝660（元）， ∵840＞660， 答：方案二更省钱． 【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是找出等量关系． 6．（2023秋•黄石港区期末）某超市在圣诞节当天开展促销活动，出售A、B两种商品，活动方案有如下两种： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 促销方案一 买一件A商品，赠送一件B商品 促销方案二 A商品和B商品都打九折 （备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） （1）某单位购买A商品10件，B商品30件，选用哪种促销方案更划算？能便宜多少钱？ （2）若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品多20件，请问购买A商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？ （3）在第（2）问的条件下，请根据购买A商品的件数，直接写出选择哪种促销方案才能获得最大优惠． 【分析】（1）根据题意给出的方案分别求出需要付款的数目即可求出答案； （2）由题意可知：购买B商品的件数为x+20，根据题意给出的等量关系即可求出答案； （3）由于购买A商品5件时，两种方案相同，从而可知当购买A商品少于5件时，选择促销方案二能获得更大优惠，当购买A商品多于5件时，选择促销方案一能获得更大优惠； 【解答】解：（1）促销方案一：10×100+（30﹣10）×20＝1400（元） 促销方案二：（10×100+30×20）×0.9＝1440（元） 所以选促销方案一更划算，能便宜40元 （2）由题意：购买B商品的件数为x+20， 促销方案一总花费为100x+20×20 促销方案二总花费为[100x+（x+20）×20]×0.9 由100x+20×20＝[100x+（x+20）×20]×0.9 x＝5 答：购买A商品5件时，两种促销方案花费相同 （3）当购买A商品5件时，两种促销方案花费相同 当购买A商品少于5件时，选择促销方案二能获得更大优惠 当购买A商品多于5件时，选择促销方案一能获得更大优惠 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.5 一元一次方程的应用（二） 知识点 一元一次方程的应用 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 行程问题…… 相遇问题 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 1．（2023•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2024•路南区开学）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时． A．60 B．70 C．75 D．85 3．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了 　 　米． 4．（2023秋•青云谱区期末）甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以每小时50千米的速度从甲站出发开往乙站．1小时后，一辆快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．那么快车开出后几小时与慢车相遇？ 5．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后2h两人相遇．相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚回到A地． （1）两人的行进速度分别是多少？ （2）相遇后经过多少时间小强到达A地？ 6．（2023秋•泸县校级期末）甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题． （1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间； （2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程． 7．（2023秋•锡山区校级月考）甲、乙两人分别从相距100km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲出发2h后到达B地立即按原路返回，返回时速度提高了30km/h，回到A地后在A地休息等乙，乙在出发5h后到达A地． （友情提醒：可以借助用线段图分析题目） （1）乙的速度是 　 　km/h，甲从A地到B地的速度是 　 　km/h，甲在出发 　 　小时到达A地． （2）出发多长时间两人首次相遇？ （3）出发多长时间时，两人相距30千米？ 题型二 行程问题…… 追击问题 解题技巧提炼 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．小明跟小亮在400米的环形跑道上进行长跑训练，已知小明的速度为6米/秒，小亮的速度为5米/秒，他们俩同时同地同向出发，经过多少秒后小明第一次追上小亮，则可列方程为（　　） A．6x+5x＝400 B．6x﹣5x＝400 C．6x＝400﹣5x D．6x＝5x﹣400 2．（2023秋•馆陶县期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用x h才能追上队伍，那么可列出的方程是（　　） A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（x） C．12x＝4x D．4x＝12（x） 3．（2023春•泉港区期末）我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驾马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？ 4．（2023秋•莘县校级月考）阳光中学七年级学生从学校出发去郊游，带队的老师和学生们以4km/h的速度步行前进，20min后，小明骑自行车前去追赶．已知小明骑自行车速度比队伍步行速度多8km/h，那么小明要用多少时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？ 5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 6．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 7．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒． （1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？ （2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由） 题型三 行程问题…… 航行问题 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•南岗区校级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是 　 　km/h． 3．（2024春•阳新县期末）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 　 千米/小时． 4．（2023秋•金乡县月考）一架飞机在A，B两个海岛之间飞行，无风时每小时飞行2100千米，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用了1.5小时，逆风飞行用了2小时，则这次飞行的风速为 　 　． 5．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，水流速度为2km/h，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用2h，则两地之间的路程为多少km？ 6．一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了2.8小时：从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 7．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间的距离． 题型四 行程问题…… 环形跑道问题 解题技巧提炼 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. 1．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的，且甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（　　） A．120min B．60 min C．80min D．90min 2．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（　　） A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上 3．（2023秋•市中区期末）如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动．它们第2022次相遇在（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是 　 　米． 5．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 　 　分钟后乙首次追上甲． 6．（2023秋•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． （1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 7．周末小明和爸爸在300m的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： （1）请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； （2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距100m？ 题型五 火车过桥（隧道）问题 解题技巧提炼 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． 1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（　　）米． A． B．133 C．200 D．400 3．（2024春•黔江区期末）一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米． A．120 B．140 C．160 D．180 4．（2023秋•怀宁县期末）安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A．400m B．300m C．200m D．100m 5．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度． 小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成： 设这列火车的长度是x米，那么 （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是　 米，这段时间内火车的平均速度是　 米/秒； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是　 　米，这段时间内火车的平均速度 是　 　米/秒； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是　 ； （4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解） 题型六 古代数学问题 解题技巧提炼 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． 1．（2022秋•桂平市期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（　　） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 2．（2024春•巴南区校级期中）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（　　） A．16辆 B．15辆 C．14辆 D．13辆 3．（2023秋•泊头市期末）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（　　） A．升 B．升 C．升 D．升 4．（2024秋•蓝田县月考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4 5．（2023秋•双峰县期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　 步．（一亩＝240平方步） 6．（2023春•泉港区期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？ 题型七 调配问题 解题技巧提炼 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． 1．（2023秋•洪山区期末）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（　　） A．272+x（196﹣x） B．（272﹣x）＝196﹣x C．（272+x）＝196﹣x D．272+x＝196﹣x 2．（2023秋•上思县月考）甲组有31人，乙组有20人，现又调来18人，要使甲组人数是乙组人数的2倍，问应往甲组分配多少人？若设应往甲组分配x人，则x＝　 　． 3．（2023春•朝阳区校级月考）某厂一车间有45人，二车间有30人，现因工作需要，要求一车间人数是二车间人数的2倍，则需从二车间调多少人到一车间？ 4．（2023春•灌云县校级月考）甲食堂有面粉340千克，乙食堂有面粉200千克，现需从乙食堂中调一部分面粉到甲食堂，使甲食堂的面粉恰好是乙食堂面粉的2倍，问需从乙食堂调多少面粉到甲食堂？ 5．某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 6．（2023春•闵行区期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2：1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 题型八 商品销售问题 解题技巧提炼 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= ×100% = ×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．（2024•船山区校级开学）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　） A．50×30%x﹣50＝8.5 B．50（1+30%）x﹣50＝8.5 C． D．50（1+30%）x%﹣50＝8.5 2．（2023秋•岳阳县期末）我县某一大型超市为庆祝开业周年庆典，所有商品都打折销售，该超市某柜台将单价标为130元的书包按8折出售仍可获得30%利润，该书包每个的进价是（　　） A．65元 B．80元 C．100元 D．104元 3．（2023秋•永川区期末）文具店老板以每个144元的价格卖出两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则卖这两个计算器总的是（　　） A．不赚不赔 B．亏12元 C．盈利8元 D．亏损8元 4．（2023秋•港南区期末）某品牌西装进价为800元，售价为1200元，后由于该西装滞销积压，商家准备打折出售，若保持5%的利润率，则应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 5．（2023秋•济南期末）一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．则这件夹克衫的成本价是 　 元． 6．（2023秋•肇源县期中）某商场推出新年大促销活动，其中标价为1800元的某种商品打9折销售，该种商品的利润率为8%． （1）求该商品的成本价是多少； （2）在这次促销活动中，商场销售了100件这种商品，则盈利多少元？ 7．（2023秋•金寨县期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 8．（2023秋•船营区校级期中）今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 （1）求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示）； （2）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示）； （3）当销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为5120元时，求x的值． 题型九 数字问题 解题技巧提炼 1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法. 2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字. 1．（2023秋•蓝田县期末）一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（　　） A．54 B．72 C．45 D．62 2．（2023秋•宿豫区期末）一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　 　． 3．（2023秋•康县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为 　 　． 4．（2023秋•潮安区期末）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 　 　． 5．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数． 6．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍大1，若交换个位与十位上的数字的位置，则所得新两位数比原两位数小45，求原来的两位数． 7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 题型十 年龄问题 解题技巧提炼 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的. 1．（2023春•朝阳区期中）今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2023秋•佳木斯期末）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（　　）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． A．5年后 B．9年后 C．12年后 D．15年后 3．（2023秋•宝安区期末）小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2023秋•香坊区校级月考）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的，则女儿现在的年龄是（　　）岁． A．24 B．26 C．28 D．30 5．（2024•万全区一模）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（　　） A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁 6．（2023春•宜阳县期末）张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过 　 　年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍． 7．（2023春•八公山区期末）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 题型十一 图表信息问题 解题技巧提炼 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题． 1．（2023秋•武进区期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 2．（2024秋•北京期中）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（　　） A．40 B．88 C．107 D．110 3．（2023秋•青岛期末）如图的数阵是由77个偶数排成：小颖用一平行四边形框出四个数（如图中小例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的个是（　　） A．100 B．102 C．104 D．106 4．（2023秋•夏邑县期末）在2022年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（　　） A．28 B．40 C．50 D．58 5．（2023秋•君山区期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和28个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由． 6．（2023秋•长寿区期末）某公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元． （1）两班各有多少学生？ （2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ （3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？（直接回答） 7．如图是2024年2月的日历表． （1）在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　． （2）在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　． （3）在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为113吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 题型十二 方案决策问题 解题技巧提炼 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 1．（2023秋•新兴县期末）某市要印刷高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是： 按每份定价1.5元的8折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元价格不变，而制版费900元6折优惠．回答下列问题： （1）印刷多少份时，两厂所需费用相等？ （2）如果要印刷3000份录取通知书，那么应当选择哪个厂？需要多少费用？ 2．（2023秋•怀集县期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为a（a＞40），如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 3．（2023秋•夏邑县期末）在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用300元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用600元． 设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元． （1）分别用x表示M，N； （2）若交费时间为1年，哪种方案更省钱？并说明理由； （3）交费时间多长时，两种方案费用相等？ 4．（2023秋•盘山县期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 5．（2023秋•青山湖区校级期末）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 6．（2023秋•黄石港区期末）某超市在圣诞节当天开展促销活动，出售A、B两种商品，活动方案有如下两种： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 促销方案一 买一件A商品，赠送一件B商品 促销方案二 A商品和B商品都打九折 （备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） （1）某单位购买A商品10件，B商品30件，选用哪种促销方案更划算？能便宜多少钱？ （2）若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品多20件，请问购买A商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？ （3）在第（2）问的条件下，请根据购买A商品的件数，直接写出选择哪种促销方案才能获得最大优惠． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 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