安徽省合肥市第四十二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

1 九年级期中绿色评价 数学学科试题卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列函数中，是二次函数的是( ) A. � = 1�2 − 3 B. � = 4� 2 − (2� − 1)2 C. � = 13 � 2 + 3 D. � = 1� + 3 2.将抛物线� = �2 + 1向右平移 2个单位，所得抛物线的表达式为( ) A. � = �2 + 3 B. � = �2 − 1 C. � = (� + 2)2 + 1 D. � = (� − 2)2 + 1 3.若△ ���∽△ �′�′�′，相似比为 2：1，则△ ���与△ �′�′�′的面积的比为( ) A. 1：2 B. 1：4 C. 2：1 D. 4：1 4.若反比例函数� = �−1� 的图象经过点( − 1, − 2)，则�的值是( ) A. 3 B. −3 C. −1 D. 2 5.如图，已知直线�//�//�，直线�分别交直线�，�，�于点�，�，�，直线�分别交直线�， �，�于点�，�，�，若�� �� = 3 7 ，�� = 21则 EF =( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 第 5题图 第 8题图 6.二次函数� =− �2 + 2�的图象一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.已知点�是线段��的黄金分割点，且�� < ��，若�� = 2，则�� = ( ) A. 5 − 1 B. 5−1 2 C. 3 − 5 D. 3− 5 2 8.如图，�是△ ���边��上一点，添加一个条件后，仍不能使△ ���∽△ ���的是( ) A. ∠��� = ∠� B. ∠��� = ∠��� C. ���� = �� �� D. �� 2 = �� ⋅ �� 2 9.已知点A（x1, y1）, B（x2, y2）在二次函数y=− x2 + 2x + 1 上，且−2 < x1 <− 1,1<x2 < 2, 则下列结论正确的是（ ） A. y1>y2 B. y1=y2 C.y1<y2 D. 无法确定 10.如图，正方形����的边长为 4��，点�，点�同时从点�出发，速度均 2��/�，点�沿� − � − �向点�运动，点�沿� − � − �向点�运动，则△ ���的面积�(��2)与运动时间�(�)之间 函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 11. 若 � 5 = � 3，则 �−� � = ． 12.点(a, b)在二次函数 y = x2 + x + 2的图象上，则 a + b的最小值是 ． 13.如图，矩形����，双曲线� = �� (� > 0)分别交��、��于�、�两点，已知�� = 5，�� = 4， 且�∆��� = 8 5，则�的值为 ． 14.如图，已知��∆���中，∠��� = 90∘，�� = 2��，以��为直角边作等腰�� △ ���，且 ∠��� = 90∘． (1)若�� = 2，则�� = ； (2)连接��，交��于点�，则���� = ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15.(本题满分 8分) 第 14题图 第 13题图 已知关于 x的二次函数 y= x2 −（k − 3）x + 1 − k（k为常数），求证：无论 k为何值时， 函数图象与 x轴总有两个不同交点． 16.(本题满分 8分) 已知抛物线的顶点坐标为(1,2)，与�轴交于点(0,4)， （1）求抛物线的解析式． （2）判断点�(2,6)是否在此抛物线上． 3 17.(本题满分 8分) 如图，在边长为 1个单位长度的小正方形网格中． (1)画出△ ���向上平移 6个单位长度，再向右平移 4 个单位长度后的△ �1�1�1． (2)以点�为位似中心，将△ ���放大为原来的 2倍， 得到△ �2�2�2，请在网格中画出△ �2�2�2． 18.(本题满分 8分) 如图，在平行四边形����中，连接对角线��，延长��至点�，使�� = ��，连接��，分别 交��，��交于点�，�． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = 6，求��的长． 19. (本题满分 10分)如图，已知一次函数� = �� + �的图象与反比例函数� = ��的图象交于 点� 1,2 ， � −2, � 两点，与�轴相交于点�． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点�与点�关于�轴对称，求∆���的面积； (3)根据图象直接写出不等式�� + � < ��的解集． 20.(本题满分 10分) 某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是 20元．调查发现销售单价是 30元时，月 销售量是 240件，而销售单价每上涨 1元，月销售量就减少 10件，且每件文具售价不能高 于 40元，设每件文具的销售单价上涨了�元时(�为正整数)，月销售利润为�元． (1)求�与�的函数关系式并求出�的取值范围； (2)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 4 21. (本题满分 12分) 已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，点 P为△ABC内部一点且始终满足∠ACP=∠CBP，延 长 BP交 AC于点 D. （1）求证：��2 = �� ∙ ��； （2）若∠APB=90°+∠CBA，求证：AD=CD. 22. (本题满分 12分)已知：抛物线 y =− x2 + bx + c 与坐标轴交于 A、B两点，点 A坐标 （ − 3,0），点 B坐标（0,3），点 M，N在 x轴上横坐标分别是 t和 t+2，过点 M作直线 MD∥y 轴交抛物线于点 D，线段 DN的中点为 C. （1）求 b和 c的值； （2）若点 D在 X轴上方且满足 MC= 5，求 t的值； （3）求点 C的运动路径所对应的函数解析式. 23. (本题满分 14分) 如图，�� △ ���中，∠��� = 90°，�� = 6��，�� = 8��，动点�从点�出发，在��边上以 每秒 5��的速度向点�匀速运动，同时动点�从点�出发，在��边上以每秒 4��的速度向点� 匀速运动，运动时间为�秒(0 < � < 2)，连接��． （1）线段 BP= ��，线段 BQ= �� （用含有 t 的代数式表示）. （2）当△ ���与△ ���相似时，求�的值； （3）连接��、��交于点 D，若点 D 是线段��的中点，求�的值．