3.3.2抛物线的简单几何性质课件第二课时-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2抛物线的简单几何性质 教师：XXX 复习导入 2 一、抛物线的性质 y2=2px (p>0) 1.范围 x≥0,y∈R 2.对称性 关于 x 轴对称.   3.顶点 原点O，坐标是 (0, 0) ． 4.离心率 用 e 表示，e = 1 5.焦半径 6.焦点弦 |AB|＝ (x1＋x2) ＋ p 7.通径 通径的长度为____ 2p 复习导入 3 将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的）方程组： Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 为常数. 若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠ 0，计算判别式 Δ＝B2 －4AC ： 若 Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）； 若 Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若 Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）. 二、直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离 例题讲解 4 例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 例题讲解 5 例６ 如图，已知定点B(a,h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求P点的轨迹方程. 解：设点P(x,y）,M(x,m),其中(０≤x≤a）,则点E(a,m) 由题意，直线OB的方程为．① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得，② 所以点P的横坐标x满足②． 直线OE的方程为，③ 因为点P在OE上，所以点P的坐标满足③． 将②代入③，消去m，得(０≤x≤a）， 即点P的轨迹方程. 例题讲解 6 例６中，设点B关于y轴的对称点为A，则方程(-a≤x≤a） 对应的轨迹是常见的抛物拱AOB．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱 ）、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 巩固练习 7 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （１）焦点F关于准线的对称点为M（０，－９）； （２）关于y轴对称，与直线y＝-１２相交所得线段的长为１２； （３）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 练习1（课本P138上面练习T1) 巩固练习 8 练习2（课本P138上面练习T5) 5．已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（０，５），且与x轴、y轴分别交于B（x，０），C（０，y）两个动点，求点M（x，y）的轨迹方程. 例题讲解 9 例7 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值. 思路分析: (1)由抛物线的定义,E的轨迹为以D为焦点,以x=-1为准线的抛物线; (2) 联立方程组消元解出A,B的坐标 代入斜率公式计算kAB 设l1,l2的方程 例题讲解 10 (1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切, ∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离, ∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线. ∴曲线C的方程为y2=4x. (2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1)+2. ∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补, ∴l2的方程为y=-k(x-1)+2. 方法小结 11 1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值. 2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法: (1)通过方程判断; (2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上; (3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值; (4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等. 一、定值与定点问题的求解策略 巩固练习 12 已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点. 练习3 巩固练习 13 l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). 巩固练习 14 练习4 过抛物线 的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点. (1)求证:A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值； (2)证明：直线AB过定点. 巩固练习 15 巩固练习 16 谢谢聆听 THANKS FOR YOUR WATCHING 3.3.2抛物线的简单几何性质 【思路分析】 设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）． 直线OA的方程为：＝＝， 可得yD＝． 设直线AB的方程为：my＝x﹣， 与抛物线的方程联立化为y2﹣2pm﹣p2＝0， 利用根与系数的关系可得． 可得yD＝y2． 联立得方程组 消元得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0. 设A(x1,y1),则x1=. 解:(1)因为抛物线的方程为y2=4x,则有=4x1,=4x2,因为弦AB的中点为(3,3),所以x1≠x2. 两式相减得=4x1-4x2, 所以, 所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=x+1. (2)当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2==-12,b=-3k, 解：设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0） ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12=2px1， y22=2px2∴ ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴∴ ∴直线AB： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ AB过定点（2p,0）. $$