精品解析：河北省石家庄市栾城区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期中教学质量检测九年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. 如图，在网格中，和位似，则位似中心为（　　） A. 点O B. 点P C. 点Q D. 点R 6. 已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 14. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 15. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 16. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 19. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 23. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点B离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 24. 如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． （1）求证：直线直线； （2）若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中教学质量检测九年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象经过，故A符合要求； 当时，，图象不经过，故B不符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：A． 2. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 4. 如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入值求出即可． 【详解】解：∵直线， ， ， ， 又∵， ，即， 故选：D． 5. 如图，在网格中，和位似，则位似中心为（　　） A. 点O B. 点P C. 点Q D. 点R 【答案】B 【解析】 【分析】利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图，和'位似，位似中心为点P． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了找位似图形的位似中心，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 6. 已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． 7. 嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：B． 8. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第二、四象限，这与图形符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形不符合，故D符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴点，在第四象限，，在第二象限， ，， 故选：D． 12. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 15. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据平行四边形的面积列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的纵坐标相同， ∴的纵坐标是4， ∵点在反比例函数图象上， ∴将代入函数表达式中，得到， ， 即，解得． 故答案为：． 16. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过作于，根据矩形的性质得到，再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ∴， ∴． 选择“平面镜”方案： 由题意得，，． ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 19. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 20. 如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围． 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2） 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为，点D的横坐标为， ∴，， ∴，， ∴，点A到直线的距离是， ∴． 23. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点B离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）电线塔的高度 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由坡度得，再结合，故，所以； （2）先证明四边形是矩形，，，再根据在中，，所以，运用勾股定理得，则，列式，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：电线塔的高度． 24. 如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． （1）求证：直线直线； （2）若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 【答案】（1） 证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2） ①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ② 【解析】 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $