2.6应用一元二次方程同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.6应用一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则参加比赛的球队的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（    ） A．x（x+1）=1056 B．x（x-1）=1056 C．x（x+1）=1056×2 D．x（x-1）=1056×2 3．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为 (  ) A．x(x+1)=45 B．x(x-1)=45 C．x(x+1)=45 D．x(x-1)=45 4．某农场2016年蔬菜产量为50吨，2018年蔬菜产量为60.5吨，该农场蔬菜产量的年平均增长率相同．设该农场蔬菜产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 5．有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 7．某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，设有支球队，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长?若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（    ）个班． A．9 B．10 C．5 D．8 10．在宽为30m，长为80m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成六块作试验田，要使试验田总面积为1998平方米，问道路应为多宽？若设道路宽为，则根据题意可列方程来求解（  ） A． B． C． D． 11．书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．6 12．某超市1月份的营业额是400万元，第一季度的营业额共2000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（    ） A．400(1＋x)2=2000 B．400(1＋2x)=2000 C．400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2=2000 D．400(1＋3x)=2000 二、填空题 13．某小组有若干人， 新年大家互相发一条微信祝福， 已知全组共发微信56条，则这个小组的人数为 人． 14．某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有 人． 15．在一块面积为的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的2倍，则盒子的高为 . 16．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则 ． 17．某种产品原来售价为元，经过连续两次大幅度降价处理，现按元的售价销售.设平均每次降价的百分率为，列出方程 . 三、解答题 18．某企业加工一台大型机械设备润滑用油千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克．通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现润滑用油量每减少千克，用油量的重复利用率增加，这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克，问技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 19．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）． （1）①∠QBC= ； ② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q到直线l的距离等于 ； （2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为， ．在图2中画出此时的线段及△ ，并直接写出相应m的值； （3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值． 20．某种商品的进价为元/件，若以元/件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各种费用元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件每降价元，则每天可多售出件，如果要求每天销售该种商品的盈利为元，那么这种商品每件应降价多少元？ 21． 某宾馆有100间标准房，当每间标准房房价为200元时，每天都客满．十一国庆期间，宾馆老板计划进行适当的提价．根据市场调查，当每间标准房房价在元之间(含200元，280元)浮动时，每提高10元，日均入住房间数减少10间．在不考虑其他因素的前提下，设每间标准房价为x元，日入住标准房房间数为y间． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当标准房价定为多少元时，标准房日营业额为10400元． 22．金秋十月，某有机水稻再获丰收，加工成有机大米后成本为每千克12元，销售价格不低于成本，且不超过22元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如下表： 售价x（元/千克） … 14 16 18 … 销售量（千克） … 800 700 600 … (1)求一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若某天销售这种大米获利3250元，那么这天该大米的售价为多少？ 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 24．如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若等边三角形的边长为2，求正方形的周长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B B B D B D 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】设参加比赛的球队个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为，由题意可得： 化简得： 解得：，（舍去） 故答案为D 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键． 2．B 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 3．B 【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x-1)份合同，签订合同共有x(x-1)份． 【详解】解∶ 设有x家公司参加，依题意，得 x(x-1)=45． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数． 4．C 【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从50吨增加到60.5吨”，即可得出方程． 【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x， 根据2016年蔬菜产量为50吨，则2017年蔬菜产量为50(1+x)吨，2018年蔬菜产量为50(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到60.5吨， 即：50(1+x)2=60.5． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，在解决实际问题时，要全面、系统地分析问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，根据题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 故选：． 6．B 【分析】阴影部分面积可看做4个矩形面积之和，根据花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米即可列出方程． 【详解】根据题意，得， 即：． 故选：B 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用矩形的面积公式列出方程是解题的关键． 7．B 【分析】设有支球队，根据题意每两队之间都赛2场（双循环）,每支球队比赛场，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设有支球队，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．D 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，列方程解应用题关键是寻找合适相等关系．该校八年级共有x个班，利用比赛的总场数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：该校八年级共有x个班，根据题意得∶ ，整理得∶ 解得∶， (不符合题意，舍去)． 故选：B． 10．D 【分析】将道路平移到到两边后，耕地为一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：设道路宽为，则耕地长为m，耕地宽为m， 根据题意可列方程：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用一元二次方程解决几何面积问题，熟练掌握矩形面积公式和平移的性质是解题的关键． 11．C 【分析】设该小组共有个人，若人人相互送一个月饼，则每个人都应送出个月饼，从而得到总的数量表示为，由此列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该小组共有个人，则每个人都应送出个月饼， 由题意，， 解得：或（舍去）， ∴该小组共有9人， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键． 12．C 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=2000，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的月营业额为，三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为，则列出的方程是 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b,平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为. 13．8 【分析】设这个小组有x人，由题意得，求解即可． 【详解】解：设这个小组有x人，由题意得 ， 解得（不合题意，舍去）， ∴这个小组的人数为8人， 故答案为：8． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． 14． 【分析】设该小组有个人，根据互送照片的方法，每个人要送出张，由此列式解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设该小组有个人， ∴，整理得，， ∴， ∴（不符合题意，舍去），， ∴该组有人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的解决实际问题的方法是解题的关键． 15．5 【分析】可将盒子的高设为x，根据题意，列出关于x的方程，解方程即可. 【详解】设盒子的高为，则宽为， 解得：，（舍）， ∴盒子的高为. 故答案为5 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键. 16． 【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值． 【详解】解：依题得：， 设， 则正方形中，，， 是的中点， ， 又， ， 在直角中，， 即 ，， ，即， ， 舍去， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程． 17． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设降价的百分率为x，根据“原售价200元，按98元的售价销售”，即可得出方程. 【详解】解：设降价的百分率为， 则第一次降价后的价格为：， 第二次降价后的价格为：； 所以，可列方程：. 故答案为. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用-增长率问题.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为. 18．用油量是千克，用油的重复利用率是 【分析】设加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由“实际耗油量下降到12千克”列方程得x×[1－(90－x)×1.6％－60％]＝12，解方程求解即可. 【详解】解：设加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由题意得：x×[1－(90－x)×1.6％－60％]＝12， 整理得：x2－65x－750＝0， 因式分解得：(x－75)(x＋10)＝0， 解得x1＝75，x2＝－10（舍去）， ∴用油的重复利用率：（90－75）×1.6％＋60％＝84％ ， 答：技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84％. 【点睛】此题考查了列一元二次方程在实际中的应用；同时考查了学生分析问题、解决问题的能力，分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键. 19．（1）①90°；②；（2）作图见试题解析，；（3）或或． 【详解】试题分析：（1）由旋转的性质，得到∠QBC=∠PAC=90°； ②过Q作QM⊥l于点M，延长AB交MQ于点N，过点N作NO⊥BQ于点O，可以得到∠NBQ=∠NQB=30°，得到NB=NQ，解直角三角形BNO得到NB=NQ=，得到AN=，在△AMN中，得到MN的值，从而得到MQ的长； （2）所画图形如图．由∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，得到∠Q0AB=30°，同理有∠Q0BA=30°，得到Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，由于 Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，故△Q0BC≌△Q0AC，得到∠Q0CB=∠Q0CA=30°，从而计算出Q0B的长； （3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F，可以求出 QF=，要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况： ①如图2，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的下方．得到 DQ=DF-QF=．根据三角形面积公式有： ．解方程可以得到m的值； ②如图3，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的上方．此时DQ="QF-DF=" ．根据三角形面积公式有：． ．解方程可以得到m的值． 试题解析：解：（1）①由旋转的性质，得到△QBC≌△PAC，∠QBC=∠PAC=90°； ②过Q作QM⊥l于点M，延长AB交MQ于点N，过点N作NO⊥BQ于点O，如图，∵∠BAC=60°，∠CAP=90°，∴∠PAB=30°，∠ANM=60°，∵∠CBQ=90°，，∠ABC=60°，∴∠NBQ=30°，∴∠NQB=30°，∴NB=NQ，∵BQ=AM=3，∴BO=，∴NO=，∴NB=NQ=，∵AB=4，∴AN=，∴MN=AN=，∴MQ=MN+NQ=．故当 m=3时，点Q到直线l的距离等于； （2）所画图形如图．∵∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，∴∠Q0AB=30°，同理可得：∠Q0BA=30°，∴Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，∵Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，∴△Q0BC≌△Q0AC，∴∠Q0CB=∠Q0CA=30°，∵BC=4，∴Q0B= ； （3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F，∵CA⊥直线l，∴∠CAP=90，易证四边形ADFG为矩形，∵ 等边三角形ABC的边长为4，∴∠ACB=60，DF=AG=CG=AC=2，∠CBG=∠CBA=30°，∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，∴△ACP≌△BCQ．∴AP =" BQ" = m，∠PAC=∠QBC=90．∴∠QBF=60．在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m，∴QF= ， 要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况： ①如图2，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的下方．∴DQ=DF-QF=．∵ ，∴ ．整理，得 ．解得或 ．经检验， 或在 的范围内，均符合题意； ②如图3，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的上方．∴DQ="QF-DF=" ．∵ ，∴ ．整理，得 ．解得 （舍负）．经检验，在的范围内，符合题意． 综上所述，或 或时，△PAQ的面积等于． 考点：1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．旋转的性质． 20．这种商品每件应降价元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这种商品每件应降价元，根据题意列出一元二次方程求解即可．根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设这种商品每件应降价元， 根据题意得：， 解方程得，， 在降价幅度不超过元的情况下， 不合题意舍去． 答：这种商品每件应降价元． 21．(1) (2)260元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用： （1）根据，每提高10元，日均入住房间数减少10间列出对应的函数关系式即可； （2）根据营业额等于房间数乘以房价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：当标准房价定为260元时，标准房日营业额为10400元． 22．(1) (2)17元/千克． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用等知识点， （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据“利润=售价-成本，获利=利润×销量”列方程求解即可． 【详解】（1）设一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为 由题意得：，解得：， 所以一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为； （2）设这天该大米的售价为元， 由题意可得： ， 解得或（与不符，舍去）． ∴这天该大米的售价为17元/千克． 23．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）对式子进行分解，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解； （2）由根与系数的关系可得，则分类进行讨论，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，解得， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是定值，且． （2）令方程的两根为：，则有：，， 若斜边为3，则另两直角边分别为2和k． ∴， ∴， 解得或， ∵． ∴舍去； 故； 若斜边为k， ∴， ∴， 解得或， ∵． ∴舍去； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，勾股定理，分类思想，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，等边对等角和平角的定义进行求解即可； （3）勾股定理求出的长，设，根据，得到的长，再利用勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； （2）由（1）知， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）∵的边长为， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴正方形的周长． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程和二次根式的混合运算．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$